2024年高考第一次模拟考试数学试题（天津卷02）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE12024年高考第一次模拟考试（天津卷02）数学第I卷参考公式：•如果事件A、B互斥，那么．•如果事件A、B相互独立，那么．•球的体积公式，其中R表示球的半径．•圆锥的体积公式，其中S表示圆锥的底面面积，h表示圆锥的高。选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗，，故故选：B2．已知条件，条件，则p是q的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件〖答案〗D〖解析〗由题意或，或，若，则条件成立，但条件不成立，若，则条件成立，但条件不成立，因此p是q的既不充分也不必要条件.故选：D.3．已知函数的部分图象如图所示，则的〖解析〗式可能为（

）

A． B．C． D．〖答案〗C〖解析〗因为的图象关于原点对称，所以为奇函数，而为偶函数，为奇函数，为奇函数，为偶函数，应该为一个奇函数与一个偶函数的积，排除B与D.又因为，不满足，排除A，满足，C正确.故选：C4．（

）A． B． C．15 D．12〖答案〗A〖解析〗故选：A5．已知数列满足，，则（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗由题意，数列满足，，可得，所以数列构成以3项为周期的周期数列，则.故选：A.6．的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为：日均值在以下，空气质量为一级；日均值在，空气质量为二级；日均值超过为超标.如图是某地8月1日至日的日均值（单位：）变化的折线图，下列关于日均值说法正确的是（

）

A．这天日均值的百分位数为B．前4天的日均值的极差小于后4天的日均值的极差C．前4天的日均值的方差大于后4天的日均值的方差D．这天的日均值的中位数为〖答案〗B〖解析〗解：对于A，将天中的日均值按从小到大排列为，，，，，，，，，，根据百分位数的定义可得，这天中日均值的百分位数是，故选A错误；对于B，前4天的日均值的极差为，后4天的日均值的极差为，故选项B正确；对于C，由折线图和方差的定义可知，前4天的日均值波动性小，所以前4天的日均值的方差小于后4天日均值的方差，故选项C错误；对于D，这天中日均值的中位数为，故选项D错误.故选：B.7．半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，棱长为的正方体截去八个一样的四面体，则下列说法错误的是（

）

A．该几何体外接球的表面积为B．该几何体外接球的体积为C．该几何体的体积与原正方体的体积比为D．该几何体的表面积与原正方体的表面积之比为〖答案〗D〖解析〗由题意得该几何体外接球的球心为原正方体的中心，故外接球半径为1，外接球的表面积为，体积为，故A，B正确；对于C，该几何体的体积，正方体体积为，故该几何体的体积与原正方体的体积比为；对于D，该几何体有6个面为正方形，其余的面为边长为1的正三角形，，，所以该几何体的表面积与原正方体的表面积之比为，故D错误.故选：D.8．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左､右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支相交于点，过点作，垂足分别为，且为线段的中点，，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．〖答案〗D〖解析〗因为，为双曲线的左､右焦点，所以，因为所以，又为线段的中点，所以为线段的中点，且，又为线段的中点，所以，在中，，，所以，所以，因为点在双曲线的右支上，所以，故，在中，，，，由勾股定理可得：，所以，即，所以，又，故，所以，故选：D.9．设函数有个不同的零点，则正实数的取值范围为（

）A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗由题，当时，，显然单调递增，且，，所有此时有且只有一个零点，所有当时，有4个零点，令，即，解得，由题可得区间内的4个零点分别是，所以即在之间，即，解得故选：A第II卷二、填空题10．已知复数满足（其中为虚数单位），则．〖答案〗〖解析〗由，得，所以，故〖答案〗为：.11．二项式展开式的常数项为．〖答案〗60〖解析〗展开式的通项为，取，解得，常数项为.故〖答案〗为：.12．已知圆心为的圆与直线：相切于点，则圆的方程为.〖答案〗〖解析〗解：因为圆心为的圆与直线：相切于点，所以，解得，所以圆心为，半径为，所以圆的方程为，故〖答案〗为：13．已知，，则的最小值是.〖答案〗8〖解析〗因为，，所以，因为，所以，，当时取“=”.故〖答案〗为：8.14．某同学从家中骑自行车去学校，途中共经过5个红绿灯路口．如果他恰好遇见2次红灯，则这2次红灯的不同的分布情形共有种；如果他在每个路口遇见红灯的概率均为，用表示他遇到红灯的次数，则.（用数字作答）〖答案〗10〖解析〗经过5个红绿灯路口，恰好遇见2次红灯的分布情形有种；因为随机变量，所以故〖答案〗为：10；15．如图，在平行四边形中，，，，若，分别是边，上的点，且满足，其中，则的取值范围是．〖答案〗〖解析〗作，，，，，同理可得：，..故的取值范围是.三、解答题16．在中,分别是角的对边，且.(1)求的值；(2)若，,求的面积.解：(1)由得：，又

(2)由余弦定理得：.又，，17．如图，在长方体中，，，点E在棱AB上移动．(1)求证：；(2)当点E为棱AB的中点时，求点E到平面的距离；(3)当AE为何值时，平面与平面所成的角为？(1)证明：为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则因为所以所以.(2)解：因为为的中点，则，从而，设平面的法向量为，则即，得，从而，所以点到平面的距离为(3)解：由(1)，时，平面与平面所成角为．则，，，设平面的法向量，，，则，取，得，1，，平面的法向量，0，，，由，解得或（舍去）．时，平面与平面所成角为．18．设椭圆的左、右焦点分别为，.点满足.(1)求椭圆的离心率；(2)设直线与椭圆相交于，两点，若直线与圆相交于，两点，且，求椭圆的方程.解：(1)设，，因为，所以，整理得，得（舍），或，所以；(2)由(1)知，，可得椭圆方程为，直线的方程为，A，B两点的坐标满足方程组为，消去y并整理，得，解得：，，得方程组的解和,不妨设：，，所以，于是，圆心到直线的距离为，因为，所以，整理得：，得（舍），或，所以椭圆方程为：.19．已知和均为给定的大于1的自然数，设集合，集合，(1)当时，用列举法表示集合A；(2)设其中证明：若则.(1)解：本题实质是具体理解新定义，当时，，，再分别对取得到(2)证明：大小不等式，一般利用作差法.,根据新定义：，所以，即.20．设函数．(1)证明，其中k为整数；(2)设为的一个极值点，证明；(3)设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，证明．证明：(1)因为函数，所以；(2)因为函数，所以，令，则，对满足方程的有，所以，由函数与