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数学分析〔2〕期末试题课程名称数学分析〔Ⅱ〕适用时间试卷类别1适用专业、年级、班应用、信息专业一、单项选择题〔每题3分,3×6=18分〕1、以下级数中条件收敛的是〔〕.A.B.C.D.2、假设是内以为周期的按段光滑的函数,那么的傅里叶〔Fourier〕级数在它的间断点处〔〕.A.收敛于B.收敛于C.发散D.可能收敛也可能发散3、函数在上可积的必要条件是〔〕.A.有界B.连续C.单调D.存在原函数4、设的一个原函数为,那么〔〕A.B.C.D.5、反常积分收敛于1,那么〔〕A.B.C.D.6、收敛,那么〔〕A.B.C.为任意实数D.二、填空题〔每题3分,3×6=18分〕1、幂级数在处条件收敛,那么它的收敛半径为.2、假设数项级数的第个局部和,那么其通项,和.3、曲线与直线,及轴所围成的曲边梯形面积为.4、由定积分的换元积分法可得,,那么,.5、数集的聚点为.6、函数的麦克劳林〔Maclaurin〕展开式为.65三、计算题〔每题6分,6×5=30分〕1、.2、.3、.4、.5、.四、解答题〔第1小题6分,第2、3小题各8分,共22分〕1、讨论函数项级数在区间上的一致收敛性.2、求幂级数的收敛域以及收敛区间内的和函数.3、设,将在上展为傅里叶〔Fourier〕级数.五、证明题〔每题6分,6×2=12分〕1、级数与都收敛,且证明:级数也收敛.2、证明:.66试题参考答案与评分标准课程名称数学分析(Ⅱ)适用时间试卷类别1适用专业、年级、班应用、信息专业单项选择题〔每题3分,3×6=18分〕⒈B⒉B⒊A⒋C⒌D⒍D填空题〔每题3分,3×6=18分〕⒈⒉⒊⒋⒌⒍计算题〔每题6分,6×5=30分〕解〔3分〕〔3分〕解由分部积分公式得〔3分〕〔3分〕解令由定积分的换元积分公式,得〔3分〕67〔3分〕解由洛必达(L'Hospital)法那么得〔4分〕〔2分〕解〔2分〕〔2分〕〔2分〕解答题〔第1小题6分,第2、3小题各8分,共22分〕解〔正整数〕〔3分〕而级数收敛,故由M判别法知,在区间上一致收敛.〔3分〕68解幂级数的收敛半径,收敛区间为.〔2分〕易知在处收敛,而在发散,故的收敛域为.〔2分〕〔2分〕逐项求积分可得.即〔2分〕解函数及其周期延拓后的图形如下函数显然是按段光滑的,故由收敛性定理知它可以展开为Fourier级数。〔2分〕由于在为奇函数,故而〔4分〕所以在区间上,〔2分〕69证明题〔每题5分,5×2=10分〕证明由与都收敛知,级数也收敛。〔1分〕又由可知,从而由正项级数的比拟判别法知收敛,〔2分〕于是由知级数收敛.〔2分〕证明令,那么.
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