高中数学人教A版选修2-3教案2-3-1离散型随机变量的均值2

2.3离散型随机变量的均值与方差2．3.1离散型随机变量的均值(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)通过实例，理解取有限个值的离散型随机变量均值(数学期望)的概念和意义．(2)能计算简单离散型随机变量的均值(数学期望)，并能解决一些实际问题．(3)会求两点分布和二项分布的均值．2．过程与方法通过实例理解取有限值离散型随机变量均值的含义，通过对比体会随机变量的均值与样本的平均值的联系与区别．3．情感、态度与价值观体验数学的价值，增强学习数学的兴趣．●重点、难点重点：离散型随机变量均值的概念与计算．难点：离散型随机变量均值的性质及应用．引导学生结合分布列的知识，认识均值的概念，通过例题与练习让学生在应用离散型随机变量均值概念的过程中深入地理解其概念及性质．(教师用书独具)●教学建议教学时以形象的混合糖的定价问题的解释为例，引出离散型随机变量的均值的定义，引导学生根据均值的定义推导E(ax＋b)，接着计算两点分布和二项分布的均值，让学生在推导过程中加深理解均值的含义．●教学流程创设问题情境，提出问题．⇒引导学生回答问题，理解离散型随机变量的均值及性质．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握求离散型随机变量的均值．⇒通过例2及互动探究，使学生掌握二项分布的均值的应用．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握均值的实际应用．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正．课标解读1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．2．掌握两点分布、二项分布的均值．3．会利用离散型随机变量的均值，解决一些相关问题.离散型随机变量的均值【问题导思】某城市随机抽样调查了1000户居民的住房情况，发现户型主要集中于160m2、100m2、60m2三种，相应住房的比例为1∶5∶4，能否说该市的人均住房面积为eq\f(160＋100＋60,3)≈106.7m2吗？显然此种计算不合理，忽略了不同住房面积的居民所占的权重，造成了“被平均”现象．如何计算人均住房面更为合理？【提示】户型面积与权数相结合即160×eq\f(1,10)＋100×eq\f(5,10)＋60×eq\f(4,10)＝90(m2)．1．离散型随机变量的均值或数学期望(1)定义：若离散型随机变量X的分布列为：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．(2)意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(3)性质：如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n.E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.2．两点分布和二项分布的均值(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p.(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np.求离散型随机变量的期望在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望．【思路探究】(1)可先求“甲乙两单位的演出序号至少有一个为奇数”的对立事件的概率．(2)先求出ξ的取值及每个取值的概率，然后求其分布列和期望．【自主解答】只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数．(1)设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则eq\x\to(A)表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,6))＝1－eq\f(1,5)＝eq\f(4,5).(2)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4，且P(ξ＝0)＝eq\f(5,C\o\al(2,6))＝eq\f(1,3)，P(ξ＝1)＝eq\f(4,C\o\al(2,6))＝eq\f(4,15)，P(ξ＝2)＝eq\f(3,C\o\al(2,6))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝3)＝eq\f(2,C\o\al(2,6))＝eq\f(2,15)，P(ξ＝4)＝eq\f(1,C\o\al(2,6))＝eq\f(1,15).从而知ξ的分布列为ξ01234Peq\f(1,3)eq\f(4,15)eq\f(1,5)eq\f(2,15)eq\f(1,15)∴E(ξ)＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(4,15)＋2×eq\f(1,5)＋3×eq\f(2,15)＋4×eq\f(1,15)＝eq\f(4,3).1．准确列出分布列是求均值的关键．2．求离散型随机变量ξ的均值的步骤：(1)根据ξ的实际意义，写出ξ的全部取值；(2)求出ξ的每个值的概率；(3)写出ξ的分布列；(4)利用定义求出均值．其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中应注重分析概率的相关知识．甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为eq\f(1,2)与eq\f(2,5)，投中得1分，投不中得0分．甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和X的数学期望．【解】依题意，记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(2,5)，P(eq\x\to(A))＝eq\f(1,2)，P(eq\x\to(B))＝eq\f(3,5).甲、乙两人得分之和X的可能取值为0、1、2，则X的分布列为：X012Peq\f(3,10)eq\f(1,2)eq\f(1,5)E(X)＝0×eq\f(3,10)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,5)＝eq\f(9,10).∴每人在罚球线各投球一次，两人得分之和X的数学期望为eq\f(9,10).二项分布的均值某运动员投篮命中率为p＝0.6.(1)求投篮1次时命中次数X的数学期望；(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望．【思路探究】(1)投篮1次命中次数X服从两点分布，故由两点分布的均值公式可求得；(2)重复5次投篮，命中次数X服从二项分布，代入公式E(X)＝np可得．【自主解答】(1)投篮1次，命中次数X的分布列如下表：X01P0.40.6则E(X)＝p＝0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)．则E(Y)＝np＝5×0.6＝3.1．如果随机变量X服从两点分布，则其期望值E(X)＝p(p为成功概率)．2．如果随机变量X服从二项分布即X～B(n，p)，则E(X)＝np，以上两特例可以作为常用结论，直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程．若本例中命中率为0.8.求重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望．【解】重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5,0.8)，∴E(Y)＝np＝5×0.8＝4.数学期望的实际应用随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X.(1)求X的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X的数学期望)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？【思路探究】根据利润的意义写出ξ的取值→写出ξ的分布列→求出数学期望E(X)→利用期望回答问题【自主解答】(1)X的所有可能取值有6,2,1，－2.P(X＝6)＝eq\f(126,200)＝0.63，P(X＝2)＝eq\f(50,200)＝0.25，P(X＝1)＝eq\f(20,200)＝0.1，P(X＝－2)＝eq\f(4,200)＝0.02.故X的分布列为：X621－2P0.630.250.10.02(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34.(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(x)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)．依题意，E(x)≥4.73，即4.76－x≥4.73.解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.1．本题利用数学期望解决实际问题，运用了方程与不等式的思想，利用已知条件构建不等式，通过解不等式求得三等品率的最大值．2．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，在解决实际问题的过程中，关键是把实际问题模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应的各事件可能性的大小，并列出分布列，最后用数学期望等知识解决问题．学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)(1)求在1次游戏中，(ⅰ)摸出3个白球的概率；(ⅱ)获奖的概率．(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X)．【解】(1)(ⅰ)设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件Ai(i＝0,1,2,3)，则P(A3)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))·eq\f(C\o\al(1,2),C\o\al(2,3))＝eq\f(1,5).(ⅱ)设“在1次游戏中获奖”为事件B，则B＝A2∪A3.又P(A2)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))·eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,3))＋eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))·eq\f(C\o\al(1,2),C\o\al(2,3))＝eq\f(1,2)，且A2，A3互斥，所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,5)＝eq\f(7,10).(2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝(1－eq\f(7,10))2＝eq\f(9,100)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,2)eq\f(7,10)×(1－eq\f(7,10))＝eq\f(21,50)，P(X＝2)＝(eq\f(7,10))2＝eq\f(49,100).所以X的分布列是X012Peq\f(9,100)eq\f(21,50)eq\f(49,100)X的数学期望E(X)＝0×eq\f(9,100)＋1×eq\f(21,50)＋2×eq\f(49,100)＝eq\f(7,5).不能准确理解题意致错根据统计，一年中，一个家庭万元以上财产被窃的概率为0.01，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者交保险费100元，若在一年之内，万元以上财产被窃，保险公司赔偿a元(a＞100)，问a如何确定，可使保险公司获益？【错解】设保险公司获益ξ元，则可得ξ的分布列如表1：表1ξ100－aP0.990.01所以E(ξ)＝100×0.99＋(－a)·0.01＝99－0.01a由E(ξ)＞0，得100＜a＜9900.故当100＜a＜9900时，可使保险公司获益．【错因分析】由于没有理解题意而把随机变量的取值弄错了，因为当该家庭失窃时，保险公司需赔偿a元，但是已收取了100元，故其损失为(－a＋100)元．【防范措施】对于以实际问题为背景的应用题，解题时要准确理解题意，明确各量之间的关系，避免出