新教材高中数学人教B版学案7-1-1角的推广

第七章三角函数7．1任意角的概念与弧度制7．1.1角的推广[课程目标]1.理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角．2．掌握象限角、终边相同的角、终边在坐标轴上的角及区间角的表示方法．3．了解角的概念的推广是为了满足解决现实生活和生产中实际问题的需要，学会用数学的观点分析、解决实际问题，通过训练各种角的表示法提高分析、抽象、概括的能力．[填一填]1．任意角的概念(1)角的概念：角可以看成一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形，这两条射线分别称为角的始边和终边．旋转生成的角，又常叫做转角．(2)角的分类：按旋转方向，角可以分为三类：(3)角的加减法的几何意义：角的减法运算可以转化为角的加法运算即α－β可化为α＋(－β)，这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的和．2．象限角(1)使角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上，角的终边在第几象限，把这个角称为第几象限角．如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．(2)①象限角的集合第一象限角的集合{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝β＋k·360°，0°<β<90°，k∈Z}．第二象限角的集合{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝β＋k·360°，90°<β<180°，k∈Z}．第三象限角的集合{α|180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝β＋k·360°，180°<β<270°，k∈Z}．第四象限角的集合{α|270°＋k·360°<α<360°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝β＋k·360°，270°<β<360°，k∈Z}．②终边落在坐标轴上的角的集合终边落在x轴正半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Z}．终边落在x轴负半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}．终边落在x轴上的角的集合为{α|α＝k·180°，k∈Z}．终边落在y轴正半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}．终边落在y轴负半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}．终边落在y轴上的角的集合为{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}．终边落在坐标轴上的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}．3．终边相同的角(1)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，集合表示：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．(2)特殊角的集合(表示不唯一)．①终边在一条射线上时，其角的集合为：{α|α＝θ＋k·360°，k∈Z}②终边在一条直线上时，其角的集合为：{α|α＝θ＋k·180°，k∈Z}③终边在两条相互垂直的直线上时，其角的集合为：{α|α＝θ＋k·90°，k∈Z}其中θ表示终边落在该直线(射线)上的任意角．(3)区域角的集合．如第一象限角：{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}．[答一答]1．如何理解终边相同的角？提示：(1)α为任意角．(2)集合S的每一个元素与α的终边相同，当k＝0时，对应元素为α.(3)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)．(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同．(5)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．(6)k∈Z这一条件不可少．2．具备对称性的两角有怎样的数量关系？提示：角的终边是一条射线，在平面直角坐标系中若两个角具有对称性，这两个角就有一定的关系，一般地：(1)α与β的终边关于x轴对称，则α＋β＝k·360°，k∈Z；(2)α与β的终边关于y轴对称，则α＋β＝(2k＋1)·180°，k∈Z；(3)α与β的终边关于原点对称，则α－β＝(2k＋1)·180°，k∈Z；(4)α与β的终边在一条直线上，则α－β＝k·180°，k∈Z.3．怎样由α所在象限，求2α，eq\f(α,2)，eq\f(α,3)……eq\f(α,n)所在象限？提示：(1)利用已知条件写出α的范围，由此确定2α，eq\f(α,2)，eq\f(α,3)的范围，再根据范围确定象限．下面通过探求α为第一象限角时2α，eq\f(α,2)，eq\f(α,3)所在象限的情况，总结出规律．因为α为第一象限角，则(1)k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z.所以2k·360°<2α<2k·360°＋180°，k∈Z.则2α是第一或第二象限角，以及终边在y轴非负半轴上的角．(2)k·180°<eq\f(α,2)<k·180°＋45°，k∈Z.当k为偶数时，eq\f(α,2)为第一象限角；当k为奇数时，eq\f(α,2)为第三象限角．所以eq\f(α,2)为第一或第三象限角．(3)k·120°<eq\f(α,3)<k·120°＋30°，k∈Z.当k＝3n(n∈Z)时，eq\f(α,3)在第一象限；当k＝3n＋1(n∈Z)时，eq\f(α,3)在第二象限；当k＝3n＋2(n∈Z)时，eq\f(α,3)在第三象限．所以eq\f(α,3)为第一、第二或第三象限角．对于eq\f(α,2)、eq\f(α,3)的判定还有另一种方法——八卦图法．①eq\f(α,2)所在象限的判断方法：第一步：画出平面直角坐标系．如图，将每一象限两等分；第二步：标号．从靠近x轴正半轴的第一象限内区域开始，按逆时针方向，在图中依次标上1、2、3、4、1、2、3、4；第三步：选号．因为α为第一象限角，在图中将数字1的范围画出．可用阴影表示；第四步：定象限．阴影部分在哪一象限，则eq\f(α,2)的终边就落在哪一象限．由以上步骤可知，若α为第一象限角，则eq\f(α,2)为第一、三象限角．②eq\f(α,3)所在象限的判断方法：第一步：画出平面直角坐标系．如图，将每一象限三等分；第二步：标号．从靠近x轴正半轴的第一象限内区域开始，按逆时针方向，在图中依次标上1、2、3、4、1、2、3、4、1、2、3、4；第三步：选号．因为α为第一象限角，在图中将数字1所在的区域用阴影画出；第四步：定象限．阴影部分在哪一象限，则eq\f(α,3)的终边就落在哪一象限．由以上步骤可知，当α为第一象限角时，则eq\f(α,3)为第一、二、三象限角．一般地，要确定eq\f(α,n)所在的象限，可以作出n等分各个象限的从原点出发的射线，它们与坐标轴把周角等分成4n个区域，从x轴的正半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上号码1、2、3、4，则标号是几的区域，就是α为第几象限的角时，eq\f(α,n)终边落在的区域，eq\f(α,n)所在的象限就可直观地看出．类型一角的概念的理解[例1]有下列说法：①相差360°的整数倍的两个角，其终边不一定相同；②{α|α是锐角}{β|0°≤β<90°}；③第二象限角都是钝角；④小于90°的角不一定都是锐角；⑤钝角都是第二象限角．其中，正确的说法是________(填上所有正确的序号)．[解析]题号正误原因分析①×终边相同的两个角一定相差360°的整数倍，反之也成立②√α是锐角，即0°<α<90°，故{α|0°<α<90°}{β|0°≤β<90°}(续表)题号正误原因分析③×第二象限角不一定都是钝角，如－300°是第二象限角，但它不是钝角④√负角和零角都小于90°，但它们不是锐角⑤√钝角α满足90°<α<180°，显然是第二象限角[答案]②④⑤解决此类问题的关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，另外需要掌握判断命题真假的技巧，判断命题为真，需要证明，而判断命题为假，只要举出反例即可.[变式训练1]下列说法正确的是(D)A．三角形的内角必是第一、二象限的角B．第一象限的角一定是正角C．第二象限的角一定比第一象限的角大D．与30°终边相同的角有无数多个解析：90°可以是三角形的内角，但它既不是第一象限的角，又不是第二象限的角，故A错；－330°是第一象限的角，但不是正角，故B错；120°是第二象限的角，390°是第一象限的角，但390°>120°，故C错．D正确．类型二旋转角与角的求和[例2]求和并作图表示：(1)60°＋90°；(2)90°－30°；(3)－60°－45°.[分析]只需严格按照各角和的旋转量等于各角旋转量的和来进行解题即可．[解](1)60°＋90°＝150°；(2)90°－30°＝60°；(3)－60°－45°＝－105°.作图，如图所示．[变式训练2]如图所示，射线OA绕端点O逆时针旋转15°到OB位置，接着顺时针旋转75°到OC位置，然后逆时针旋转100°到OD位置，最后顺时针旋转85°到OE位置，求∠AOE.解析：由题意知∠AOB＝15°，∠BOC＝－75°，∠COD＝100°，∠DOE＝－85°，因此∠AOE＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD＋∠DOE＝15°－75°＋100°－85°＝－45°.类型三象限角[例3]已知角的顶点与坐标系的原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，判断它们在第几象限，并指出在0°～360°范围内与其终边相同的角．(1)420°；(2)－75°；(3)855°；(4)－510°.[分析]判断一个角在第几象限，只要找出与它终边相同的在0°～360°范围内的角即可．这个0°～360°范围内的角所在的象限即为所求．[解]如图所示，由图可知：(1)420°角在第一象限，在0°～360°范围内与60°角终边相同．(2)－75°角在第四象限，在0°～360°范围内与285°角终边相同．(3)855°角在第二象限，在0°～360°范围内与135°角终边相同．(4)－510°角在第三象限，在0°～360°范围内与210°角终边相同．利用图像判断角所在的象限时，依据的是终边相同的角的关系.将正角或负角利用公式转化到0°～360°范围内.因为在0°～360°之间，没有两个角的终边是相同的.[变式训练3]已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角：(1)225°；(2)－300°；(3)－450°.解：以原点为顶点，x轴的非负半轴为始边分别作出225°，－300°，－450°，如图．观察角的终边所在位置，知225°，－300°分别是第三象限角和第一象限角，－450°的终边在y轴负半轴上，不属于任何象限．类型四终边相同的角[例4]在与角10030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)360°～720°内的角．[分析]本题可获取以下主要信息：①终边相同的角的一般形式；②正角、负角的概念．解答本题可先写出终边相同的角的一般形式，再求满足条件的整数k即可，其中最大的负角在－360°～0°之间，最小的正角在0°～360°之间．[解]与10030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10030°(k∈Z)，(1)由－360°<k·360°＋10030°<0°，得－10390°<k·360°<－10030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.(2)由0°<k·360°＋10030°<360°，得－10030°<k·360°<－9670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.(3)由360°<k·360°＋10030°<720°，得－9670°<k·360°<－9310°，解得k＝－26.故所求的角为β＝670°.1把任意角化为α＋k·360°k∈Z且0°≤α<360°的形式，关键是确定k.可以用观察法α的绝对值较小也可用竖式除法.要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，其绝对值比被除数为其相反数时的商大1，使余数为正值.2其他范围内符合条件的角必与0°～360°范围内满足条件的角终边相同.[变式训练4]写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β<360°的元素β写出来．解：由终边相同的角的表示知：与角α＝－1910°终边相同的角的集合为：{β|β＝k·360°－1910°，k∈Z}．∵－720°≤β<360°.由－720°≤k·360°－1910°<360°，3eq\f(11,36)≤k<6eq\f(11,36).故取k＝4,5,6，k＝4时，β＝4×360°－1910°＝－470°.k＝5时，β＝5×360°－1910°＝－110°.k＝6时，β＝6×360°－1910°＝250°.类型五角的对称问题[例5]若角α，β的终边互为反向延长线，则α与β之间的关系一定是()A．α＝－βB．α＝180°＋βC．α＝k·360°＋β(k∈Z)D．α＝k·360°＋180°＋β(k∈Z)[分析]解答本题可根据角的定义，借助坐标系作出相关图形来求解．[解析]如图所示，以角β的终边的反向延长线为终边的角有一个为180°＋β，所以α＝k·360°＋180°＋β(k∈Z)．[答案]D本题所涉及的问题是终边与终边关于原点的对称问题，充分理解题意借助图形解答能起到事半功倍的效果.[变式训练5]已知角α的终边与－120°角的终边关于y轴对称，求α.解：因为角[180°－(－120°)]与－120°角的终边关于y轴对称，所以角α的终边与300°角的终边重合．故角α的集合是S＝{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．类型六区域角的表示[例6]如图，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OM上；(2)终边落在直线OM上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．[解](1)终边落在射线OM上的角的集合为A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}．(2)终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为B＝{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}，则终边落在直线OM上的角的集合为A∪B＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}．(3)同理，终边落在直线ON上的角的集合为{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}，故终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为{α|45°＋n·180°≤α≤60°＋n·180°，n∈Z}．区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角．其写法可分为三步．(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的0°到360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}；(3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．[变式训练6]如图所示，(1)写出终边在射线OA，OB上的角的集合；(2)写出终边在阴影部分(包括边界)的角的集合．解：(1)终边在射线OA上的角的集合是{α|α＝210°＋k×360°，k∈Z}；终边在射线OB上的角的集合是{α|α＝300°＋k×360°，k∈Z}．(2)终边在阴影部分(含边界)角的集合是{α|210°＋k×360°≤α≤300°＋k×360°，k∈Z}．类型七角α与2α、eq\f(α,2)、eq\f(α,3)所在象限关系问题[例7]若θ为第三象限角，求eq\f(θ,2)，eq\f(θ,3)角所在象限，并在该象限表示出来．[分析]由题目可获取以下主要信息：①θ是第三象限角；②所求为eq\f(θ,2)，eq\f(θ,3)所在象限．解答本题先写出θ所在象限的表达式，然后化为eq\f(θ,2)，eq\f(θ,3)，再分类讨论k的取值情况．[解]由已知得，k·360°＋180°<θ<k·360°＋270°，k∈Z，∴k·180°＋90°<eq\f(θ,2)<k·180°＋135°，k∈Z，当k为偶数时，eq\f(θ,2)在第二象限；当k为奇数时，eq\f(θ,2)在第四象限；如图(1)，eq\f(θ,2)在第二、四象限的阴影区域内(不含边界)．又k·120°＋60°<eq\f(θ,3)<k·120°＋90°，k∈Z，当k＝3n(n∈Z)时，eq\f(θ,3)在第一象限；当k＝3n＋1(n∈Z)时，eq\f(θ,3)在第三象限，当k＝3n＋2(n∈Z)时，eq\f(θ,3)在第四象限．如图(2)，eq\f(θ,3)在第一、三、四象限的阴影区域内(不含边界)．已知角α所在的象限或它的终边位置，判断eq\a\vs4\al(\f(α,2))的终边所在的位置常用八卦图法.,作出各个象限的角平分线，它们与坐标轴把周角等分成8个区域，从x轴的正半轴起，按逆时针方向把这8个区域依次循环标上号码1、2、3、4，则标号是几的两个区域，就是α为第几象限角时，eq\a\vs4\al(\f(α,2))终边落在的区域，eq\a\vs4\al(\f(α,2))所在的象限就可以直观地看出了.[变式训练7]已知α为第二象限角，问2α，eq\f(α,2)分别是第几象限角？解：∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z.∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°，k∈Z.∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴上的角．又45°＋eq\f(k,2)·360°<eq\f(α,2)