侧位停车数学建模

一.问题重述侧位停车是指驾驶员在停车位时利用自身的倒车技巧，使车辆按照一定的行驶轨迹，安全的，在不触碰到两边车辆的前提下，让自己的车停到规定好的停车位上。侧位停车常常会出现许多两车碰擦的情况，通常时由于驾驶员技术的生疏或者不熟练，亦或是停车位长宽大小建造的不科学。正确的科学的停车位建设，能在给驾驶员提供充足的停车空间的条件下，尽可能的节约场地，对于当今停车位紧缺的问题具有相当大积极意义。现在我们根据题中所给的条件，研究停车位宽度一定时，车位长度最小的情况，以及保证车辆正常停车时，停车位长度与车辆可供行驶的道路宽度的关系，建立数学模型解决以下问题：问题（1），在可供行驶的道路宽度足够大时，求车位长度的最小值。汽车如果可供行驶宽度y足够大，车辆要能够停进这个车位（车辆只能倒车，不能前进），车位长度x最小为多少？假设车辆的初始位置与车位平行，求出车辆的初始位置、倒车入库过程中方向盘位置a的取值变化和车前轮的轨迹。（2）如果y不是足够大（当然y肯定大于车宽），那么x和y满足什么条件的情况下，车辆只通过倒车就能停进车位（车辆只能倒车不能前进）？（3）设y=2000mm，求出倒车过程中方向盘调整次数最少时x的最小值，以及此时倒车过程中a的取值变化。二．问题分析城市中建立起愈来愈多住房区，超市，商场，同时又由于人民收入水平的增加，越来越多的人加入到了“有车一族”的行列。城市建设和有车一族的人们对停车位的需求越来越大。而城市里的土地资源的紧张，则对我们如何规划一个提高停车位利用率停车位提出了一定的要求。在此同时，由于一个个新手驾驶员的技术不熟练和内在的不自信，建设的停车位又要能容许他们的操控误差。针对问题（1），我们考虑到了在停车位宽度一定的情况下，汽车恰好切入停车位的情况（忽略了汽车倒车时速度的大小）。此时利用一定的几何知识，我们可以求得所求的停车位最小长度。同时结合汽车的最小转弯半径，我们确定了汽车转弯的圆心，并建立了直角坐标系，求得汽车停车时前轮的运动轨迹。针对问题（2）我们根据问题中讨论情况，我们选取汽车恰好能停入停车位的情况，继而求得道路宽度与车位长度之间的关系。针对问题（3）我们在问题（1）的基础上，选取圆弧轨迹最少的一次，起轨迹变化的次数既是所要求方向盘改变的最小次数。模型建立2.1车辆初始位置的初步探讨初始位置的确定有几个较重要的条件，分别为：(1)泊车时须保证车身不能和前一车位发生空间碰撞，需确定极限转弯最远点的值；(2)把路旁停车位假想为一个停车库，泊车过程中车身不能和车库的库底发生碰撞，车轮不能和库边发生碰撞。(3)采用极限转弯半径，即最小转弯半径，来确定最小停车位长度从而约束泊车初始位置。极限转弯最远点值的确定如图示=4\*ROMANIV—1所示，F代表泊车初始位置，MNPQ代表车位趋势，把方向盘打到极限位置后，以低速稳定车速转弯。图示=4\*ROMANIV—1极限转弯最远点值的计算示意图试验车最小转弯半径r=5500mm，车宽w=1778mm，EF=500ram，车辆中心点距车位角Ⅳ点距离为NE，可计算得出极限转弯最远点NE的值。NE的确定对泊车初始位置的确定有着实际的意义。2.2最短停车位长度的确定如果停车位长度较长，车辆泊车的初始位置较合理，泊车“二个步骤"即可完成泊车。一般来说，停车位空间较长时，两平行车辆间存在着一最佳水平距离，车辆“两次泊车”即可完成泊入停车位。图示=4\*ROMANIV—2所示的最小停车位空间示意图中，车辆“两次泊车"可泊入车位。显然，车辆初始位置不同，“两次泊车”泊入停车位空间时，所必需的停车位长度是不同的。当泊车转向角最小时，停车位有一个极限值，称为最小停车位。泊车入位过程中，当方向盘打死到极限转弯的状态，车辆“两次泊车"完成泊入停车位空间时，所占用的停车位长度最小。图示=4\*ROMANIV—2平行泊车最小停车空间示意图泊车准备时车辆放于F点，逐渐行驶到N点，此时恰好为泊车时内侧车头恰好与前方车辆不碰撞的位置状态。当车辆到达S点位置时，车身方向角大约为45°左右，此时反打方向盘直至方向盘打死。当到达T点时，为防止车尾与后方车辆、右车轮与右侧路边相碰撞，取车尾与后车头部、车身与右侧路边最短距离为100mm，最小停车位的约束值为：其中，NE的计算见本条中“泊车初始位置的初步探讨，r、l与w分别为车辆最小转弯半径，车辆长度与宽度，500表示在泊车预备时泊车距离车道实线的最小安全距离，单位为mm。代入试验车相关参数，可得：NP的最小值=2321mm，QP的最小值=5855mm。经过多次轨迹的仿真，最小停车位的几何参数定为长度5．8m，宽度2．2m。对于试验车来说，停车位空间不小于5．8m掌2．2m时，车辆可完成泊入停车位。停车位的长度对于泊车成功与否起着重要的作用，上述的最小停车位长度是一个相对宽松的极限值。车辆“两次泊车’’可泊入停车位，所需车位长必须大于或等于最小停车位。在平行泊车过程中，判断泊车能否成功，首先应检测停车位空间大小，使其不小于最小停车位的大小。2.3普通停车位空间大小的确定停车位空间大小对平行泊车难度系数影响很大，停车位空间由车位长度和车位宽度确定。车位空间越大，泊车困难程度相对较小；车位空间越小，泊车困难系数就越大。图示=4\*ROMANIV—3平行泊车普通车位空间坐标图如图示=4\*ROMANIV—3，普通车位大小标记为*，代表车位长，代表车位宽，矩形abcd表示试验车，o’代表车辆的几何中心点。环绕车位的三面标记为BK、FT和SE，为车身方向角，即车身与水平方向的夹角，定义逆时针为正。泊车时，驾驶员反打方向盘的时刻为，当车身方向角接近于45°时，极少会达到45°。在实际泊车过程中，大多数驾驶员会潜意识地躲避车位顶点N点(见图示=4\*ROMANIV—2)，很少一开始就把方向盘打死的，基本都是逐渐加大方向盘转角，直到打死；在接近45°至最大车身方向角时，一般维持方向角不变一段时间，保证反打方向盘时车头不会碰撞到N点，才开始反打方向盘；反打方向盘时，逐渐加大角度，直至反向打死。通过多次平行泊车轨迹计算与仿真，确定停车位长度为7．5m比较理想。这样，任意车辆长度不大于5．5m，最小转弯半径不大于6m的小轿车“两次泊车"即可泊入停车位。其中，停车位宽度采用标准的路旁停车位宽度2．2所，和NP的最小值=2．2m吻合。这样，确定普通车位大小为：=7．5m，=2．2m若有停车位空间满足长度不小于7．5m，宽度不小于2．2m，则可认为找到了适合的泊车空间，车辆很容易就能完成泊车。2.4车辆的运动学模型即运动轨迹建立车辆侧位停车的运动学模型，上文中建立了侧位停车系统中质点的运动学模型。在此需要求车辆侧位停车时车轮的运动轨迹。需要建立车辆侧位停车的运动学模型，以推导出车辆侧位停车的运动轨迹方程式，作为后续研究侧位停车系统的理论基础。下面是侧位停车运动轨迹方程：图示=4\*ROMANIV—4为车辆泊车的运动学模型，其中（xf，yf)位前轴中心点坐标，()为后轴中心点坐标，v为前轴中心点速度，为轴距，为后轮距，为前轴中心点转向角，为车辆中心轴与水平方向的夹角。正常情况下泊车速度很低(约≤5km／h)，由此假定无滑轮现象产生，后轮轨迹的垂直方向速度为0，其方程式表示如下：……=1\*GB3①而图示=4\*ROMANIV—4可知，前后轴中心点坐标关系为：……=2\*GB3②对=2\*GB3②式进行积分得速度关系式：……=3\*GB3③把=3\*GB3③式代入=1\*GB3①式，得……=4\*GB3④前后中心点的x，y方向速度为：……=5\*GB3⑤将=5\*GB3⑤式代入=4\*GB3④式，即可求得车辆回转圆角速度为：……=6\*GB3⑥将=5\*GB3⑤和=6\*GB3⑥同时代入式=3\*GB3③，即可求得后轮中心点x，y方向速度分别……=7\*GB3⑦最后对=6\*GB3⑥式求时间积分，并代入=7\*GB3⑦式后，在对时间积分即可求得后轴中心点的轨迹方程式：……=8\*GB3⑧根据图示=4\*ROMANIV—4中坐标位置的关系，可进一步求出左右轮中心点的运动轨迹方程式：左轮：……=9\*GB3⑨右轮：……=10\*GB3⑩由式=9\*GB3⑨和式=10\*GB3⑩知，当低速泊车，且不考虑轮胎侧滑时，后轮的行径轨迹与轮距，轴距及前轴中心点转向角有关，而与泊车速度无关。以试验车(轴距2548mm，后轮距1422mm)之相关尺寸参数为例，代入所推导之轨迹方程式中，前轴中心点左转向角为10°，泊车速度为5km/h，后轮的预测行进轨迹如图示=4\*ROMANIV—5示：图示=4\*ROMANIV—5转向角为10°时后轮倒车轨迹之回转圆三．模型求解对整个泊车过程成功与否影响较大的两点为：1．选准泊车起始位置2．泊车入车位时的切入点。如图示=4\*ROMANV—1和图示=4\*ROMANV—2所示。图示=4\*ROMANV—1准备泊车图示=4\*ROMANV—2调整方向盘I．平行泊车系统模型图示=4\*ROMANIV—3、图示=4\*ROMANIV—4、图示=4\*ROMANIV—5和图示=4\*ROMANIV—6为平行泊车步骤示意图，其中停车位长度为，停车位宽度为，车长为l，车宽为w，平行车辆车a与车b问水平距离为d。从图示=4\*ROMANIV—5可看出，泊车过程是后车轮改变方向反复画圆弧的过程，但圆弧半径与弧度要受到停车位空间和车辆参数的约束。图示=4\*ROMANV—3泊车步骤一图示=4\*ROMANV—4泊车步骤二图示=4\*ROMANV—5泊车步骤三图示=4\*ROMANV—6泊车步骤四在车辆平行泊车过程中，令步骤厅结束时后车轮泊车轨迹的转角弧度为车轴与水平方向的夹角为nt，如图示=4\*ROMANIV—8和图示=4\*ROMANIV—9所示。那么有：，其中n=1,2,3……，当车辆完全泊车入位时，即，n为泊车步骤，n=1,2，3…泊车n个步骤后，后右轮中心点记为n(,)，车头右端点记为()，后左轮中心点记为（)，车尾左端点记为()，n=a，b，c，d…。如图示=4\*ROMANV—3所示，首先右打方向盘，使车身沿后车轴以半径r1旋转。泊车“一个步骤’’后，后右轮中心点记为a()，车头右端点记为（），后左轮中心点记为（），车尾左端点记为()。容易得出：再左打方向盘，使车身沿后车轴以半径旋转，如图示=4\*ROMANV—4所示。泊车“两个步骤"后，后右轮中心点记为b(，)，车头右端点记为()，后左轮中心点记为（），车尾左端点记为()。容易得出：接着右打方向盘，同理可推得：依次往下推，可得到类似的结论：有了上述各点的坐标值，在泊车过程中可对车辆车身进行精确的定位，在自动寻轨算法中对泊车轨迹进行精确计算。设车辆右车轮中心点横坐标值为，左下角纵坐标值为，车辆自身参数中，车长、车宽、前悬够、最小转弯半径r，已知；道路参数中，平行车辆车与车b间水平距离d已知，车位宽CW按道路标准设为定值2．2m。当车辆停在停车位正中央时，车辆与停车位右侧水平最小距离为，车辆右后轮中心点与停车位右侧水平距离为。由图示=4\*ROMANIV—可知：车辆泊车时车轮运动轨迹为圆，车a要泊入停车位，泊车轨迹由参数…与n决定。因此，对于一泊车任务，如何泊车就转化为如何求未知参与n的值，可以用以下方程式来表示：丄式等价与其中，建立好平行泊车系统模型后，就可以根据泊车模型计算未知参数的值，从而确定如何泊车。下面论述如何根据车长，、车宽、前悬、最小转弯半径、平行车辆水平距离、车位宽这些已知参数，来确定未知参数…及的值。总体来说，计算…与的步骤可分为如下三个步骤：步骤一．假设已知，求以(…)的值。步骤二．优化，求出新的(…)值。步骤三．确认及（…)的值。其中步骤一可细化为以下4个分步骤：3.1首先令=，（…)(1)车辆不可能“一次泊车"就泊入停车位。首先假设车辆“两次泊车”可泊入车位，此时包括，则有：由可以求出的值，求出，此时两平行车辆间距离为时的最小停车位，车辆恰好泊入停车位正中央。(2)假设车辆“三次泊车"可泊入车位，此时，则有：可求出，的值。其中为已知。…………以此类推，可依次求得的值。3.2步骤二可细化为以下4个分步骤：泊车过程中，车辆转弯半径和转向角要受到车位长度和车位宽度的约束，必须对步骤一中假设的和(…)进行检验并修正。(1)假设车辆两下可泊入给定停车位，那么停车位长度一定大于等于最小停车位的值。,在步骤一中(1)已求出，仅与两平行车辆间水平距离有关。此时，车辆恰好恰好泊入停车位的正中央，无需修正。(2)假设军辆二卜司泊入给定停车位，则。将步骤一中(2)所求之代入，若，则增大代入中，求出新，重新代入，直到。如此循环，最终可求得和值。若，减小代入，以减小的值，从而求得和的值，再计算的值。（3）假设车辆四下可泊入给定停车位，则。将步骤一中（3）所求值代入，若，则增大代入，求出新的重新代入，直到，如此循环往复，最终可求得和的值。已知，令=，则可求得。若，则增大重新计算，直到，如此重复循环，最终可求得；若，增大代入以增大的值。从而求得和的值，在回头计算的值，直到满足。（5）假设车辆五下可停入定停车位，则=.将步骤一（4）中所求之代入，若增大代入以增大的值，从而求得和的值，再回头计算的值，直到满足。(6)假设车辆五下可泊入给定停车位，则。将步骤一中（4）中所求值代入，若，增大的值代入中，求出心的重新代入，直到，如此循环，最终可求得和的值。已知，令，则可求得。若，减小的值代入以减小的值，从而求得的值，再计算的值。以此类推，可求得调整后的，，…及，，…。3.3步骤三：及的修正步骤二计算出的及有时并不符合实际情况，例如会出现或。为车辆的最小转弯半径，即极限转弯半径，计算出的不能小于极限转弯半径，当计算出的时，必须修正为。步骤一中的的计算是以停车位的空间未约束条件的，若修正的值变小，这就意味着车辆必定超出停车位空间，在实际生活中肯定碰擦到其他车辆或者超出原来的停车位。必须按照步骤二重新计算及，直到所有的参数，，…及，，…都符合实际为止。平行泊车轨迹的计算及初始位置的确定泊车过程中，车身不能和前后车位发生空间干涉，车轮与不能跨越路边，需说明一下符号代表含义：轴距设为，前悬;轴距加前悬设为，；泊车一次后车辆的右上角到前方车辆的距离设为，；泊车一次后车辆的左下角到后方车辆的距离设为，一次泊车后车辆与路边，后方车辆的距离分别为，，二次泊车后车辆与路边，前方车辆与后方车辆的距离分别为，，图示=5\*ROMANV—7泊车过程车身定位图0

步骤一本文反向思考先分析并计算汽车已经进入停车场时的过程，如图Fig.4可以得到车右下角端点即点A的坐标为： 通过分析可知，汽车中心的轨迹的方程为： （4-1那么，汽车的右侧的相对应的点的轨迹方程为（4-2）下面以A点为基准点，计算A点到达远的部分的切点。设这个切点为B点，B的具体坐标为另外通过对几何图形Fig.4的分析延长AB交横轴于一点他与横轴正方向所形成的角为θ4，由于此处为切线，那么有到，可以得到步骤二车场的过程如图Fig.5所示以车右后轮为原点建立直角坐标，得到车的右侧中心点C点的坐标和车的轨迹的圆心点D的坐标。五、模型检验上一小节中建立了泊车入位的模型，本节将带入相关数据，求解模型，验证模型的合理性。（1）Matlab编程以及计算结果如下：[a,b]=solve('(a+5060)^2+b^2=6170^2','b*(b+3750)=-(a+1100)*(a+5060)')b=275220/33049+(33935000*43^(1/2)*i)/99147275220/33049-(33935000*43^(1/2)*i)/99147a=-475861250/99147+(11945120*43^(1/2)*i)/330