数学期望及其应用

本科毕业论文本科生毕业论文题目:数学期望的计算方法与实际应用专业代码:070101原创性声明本人郑重声明:所提交的学位论文是本人在导师指导下,独立进行研究取得的成果.除文中已经注明引用的内容外,论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果,也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体,均已在文中以明确方式标明.本人承担本声明的相应责任.学位论文作者签名:日期指导教师签名:日期目录1.引言 12.数学期望的定义及其性质 22.1数学期望的定义 22.2数学期望的基本性质 22.3数学期望的计算方法 33数学期望在实际生活中的应用 73.1在医学疾病普查中的应用 73.2数学期望在体育比赛中应用 83.3数学期望在经济问题中的应用 103.3.1免费抽奖问题 103.3.2保险公司获利问题 113.3.3决定生产批量问题 113.3.4机器故障问题 123.3.5最佳进货量问题 133.3.6求职决策问题 144结论 15参考文献 16致谢 17

摘要数学期望简称期望，又称均值，是概率论中一项重要的数字特征，它代表了随机变量总体取值的平均水平。数学期望的涉及面非常之大，广泛应用于实际生活中的各个领域。在实际生活中，有许多问题都可以直接或间接的利用数学期望来解决。其意义是运用对实践中抽象出来的数学模型进行分析的方法，从而达到认识客观世界规律的目的，为进一步的决策分析等提供准确的理论依据。本文从数学期望的内涵出发，介绍了数学期望的定义、性质，介绍了数学期望的几种计算方法并举以实例，通过数学期望在医学疾病普查、体育比赛和经济问题中的应用的探讨。特别是在经济问题方面，本文又详细分为免费抽奖问题、保险公司获利问题、决定生产批量问题、机器故障问题、最佳进货量问题和求职决策问题，试图初步说明数学期望在实际生活中的重要作用，几个例子将数学期望与实际问题结合，用具体实例说明利用数学期望方法解决实际问题的可行性，体现了数学期望在生活中的应用。关键词：概率论与数理统计；数学期望；性质；计算方法；应用AbstractMathematicalexpectationorexpectations,alsoknownasaverage,isveryimportantdigitalfeaturesinthetheoryofprobability,anditrepresentstheoverallaveragevaluerandomvariables.Mathematicalexpectationisverybig,widelyappliedinallfieldsinactuallife.Inreallife,therearealotofproblemscanbedirectlyorindirectlysolvedbyusingthemathematicalexpectation.Itsmeaningistousemathematicalmodeltocarryontheanalysisofpracticeofabstractingmethod,soastoachievethepurposeofunderstandingtheobjectiveworldrule,inordertoprovideaccuratetheoreticalbasissuchasdecisionanalysis.Basedontheconnotationofmathematicalexpectation,thispaperintroducesthedefinitionandpropertiesofmathematicalexpectation,andintroducesseveralcalculationmethodsofmathematicalexpectationandwithexamples,throughthemathematicalexpectationinthemedicaldiseasecensus,sports,anddiscussedtheapplicationofeconomicproblems.Especiallyintermsofeconomy,thispaperisdividedintofreesweepstakesproblem,insurancecompanyprofits,decidedtoproductionbatchproblems,machinefailureproblem,bestcarriedoutandcoverdecisionproblem,andattemptstopreliminarilyillustratetheimportantroleofmathematicalexpectationintheactuallife,andafewexamplescombinemathematicalexpectationandactualproblem,withspecificexampleisgiventoillustratethefeasibilityofsolvingpracticalproblemswithmathematicalexpectationmethod,andembodiestheapplicationofmathematicalexpectationinlife.Keywords：Probabilityandmathematicalstatistics;Mathematicalexpectation;Properties;Calculationmethod;applicationPAGE1数学期望的计算方法与实际应用1.引言知识来源于人类的实践活动，又反过来运用到改造世界的实践活动中去，其价值也就在于此.面对当今信息时代的要求，我们应当思维活跃，富于创新，既要学习数学知识，更应该重视对所学知识的应用.在现实生活中，我们常常需要研究各种各样的随机变量.对于一个随机变量，如果掌握了它的概率分布，当然就可以对它进行全面的分析，但是在实际问题中要求出一个随机变量的概率分布往往不是一件容易事.有时甚至是不可能，而有些实际问题我们也不一定非要掌握一个随机变量的概率分布，而只要知道它的某些数字特征就够了，因此并不需要求出它的分布函数.这些特征就是随机变量的数字特征，是随机变量的分布所决定的常数，刻画了随机变量某一方面的性质。例如比较不同班级的某次统考的成绩，通常就是比较各班的平均分；考察某种大批量生产的元件的寿命往往只需知道元件的平均寿命；评定某地区粮食产量的水平时，经常考虑平均亩产量；对一射手进行技术评定时，经常考察射击命中环数的平均值；检查一批棉花的质量时，关心的是棉花纤维的平均长度等.这个重要的数字特征就是数学期望，它是现实生活中“平均值”概念的推广，在现实生活中有重要的作用.盛骤等人在文献[1]中给我们系统地介绍了数学期望的定义、基本性质等，文献[2——5]中介绍了用特征函数、逐项微分、特殊积分等求解数学期望的方法，解法各具特色，张艳娥等在文献[6]中讨论了数学期望理论在疾病普查中的应用，杨先伟在文献[7]中对数学期望在体育比赛中的应用作了研究，文献[8——12]通过几个例子研究了数学期望在某些经济问题中的应用，内容包括免费抽奖问题、保险公司获利问题、决定生产批量问题、机器故障问题等.本文介绍了数学期望的定义、性质及其计算方法与技巧，并从数学期望的内涵出发，通过几个例子将数学期望与实际问题结合，用具体实例说明利用数学期望方法解决实际问题的可行性，体现了数学期望在生活中的广泛应用.2.数学期望的定义及其性质2.1数学期望的定义掷一枚质地均匀的骰子次，观察每次出现点数.它是一个随机变量，如果用、、、、、表示出现1、2、3、4、5、6点的次数，那么每次投掷骰子出现点数的平均值为表示事件投掷骰子出现点的频率，由于频率具有波动性，因此该平均值也具有波动性，并不能代表每次投掷骰子出现点数的平均值，当很大时，应稳定于，故该平均值也应该稳定于那么，这使得平均值是真正的每次投掷骰子出现点数的平均值，他是随机变量的可能取值与所对应的概率乘积的总和，这是一个常数，可以用来描述随机变量的数学特征，称之为的数学期望，记作.定义1若离散型随机变量可能取值为，其分布列为，则当<时，则称存在数学期望，并且数学期望为，如果，则数学期望不存在.定义2设连续型随机变量的概率密度函数为,若积分是一个有限值，则称积分为的数学期望，记作，即.2.2数学期望的基本性质设C、a、b为常数，为随机变量，则有如下性质：性质1常数的数学期望等于本身：.证明：以离散随机变量为例来证明，对于连续随机变量可类似地证明.下同，把常数视为概率1取本身值的离散随机变量，即得.性质2证明：设随机变量的概率分布为=,（=1,2,…）则.性质3.证明：.性质4.证明：利用前三个性质得.2.3数学期望的计算方法方法一：利用数学期望的定义，即定义法此法是计算数学期望最常用的一种方法.它是先通过数学手段将转化成组合数公式、二项式定理或特殊级数的形式，然后求和获解.该方法思路明确，但有时计算比较麻烦.例1设X~U(a,b),求E(X).解X的概率分布为X的数学期望为方法二：公式法对于实际问题中的随机变量，假如我能够判定它服从某重点性分布特征（如二项分布，泊松分布，超几何分布等），则我们就可以直接利用典型分布的数学期望公式来求此随机变量的期望.二点分布：，则二项分布：，，则几何分布：,则有泊松分布：，有超几何分布：,有方法三：性质法当一个随机变量的分布较为复杂时，若直接求它的数学期望会很困难，我们可以通过将它转化成比较常见的简单的随机变量之和来解决．主要是利用数学期望的性质来使问题简单化．例2将n个球随机地放入M个盒子中去，设每个球放入各个盒子是等可能的，求有球盒子数X的期望．解记，i=1,2,3，…，M,则。，所以因而所以方法四：利用逐项微分法这种方法是对于概率分布中含有参数的随机变量而言的，我们可以通过逐项求微分的方法求解出随机变量的数学期望，关键步骤是对分布列的性质两边关于参数进行求导，从而解出数学期望.例3设随机变量X服从几何分布，求.解两边对p求导数得即方法五：利用条件数学期望公式法条件分布的数学期望称为条件数学期望，它主要应用于二维随机变量.在为二维离散随机变量场合下，其计算公式为：或在连续型随机变量场合下，条件数学期望同样适用，其计算公式为例4设质量与加速度是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为，试求外力F=ma的均值.解例5设~，当时，~，求.解由题意，于是方法六：特殊积分法连续型随机变量的数学期望为，在计算连续型随机变量的数学期望时，常常会用到一些特殊的求积分的性质和方法，如奇函数在对称区间的积分值为，还有第一换元积分等，都会给我们的计算带来简便.例6设随机变量,证明.证在的积分表达式中做变换，即上式右端第一个积分的被积函数为奇函数，故其积分为0，第二个积分恰为.方法七：利用特征函数特征函数的定义：设是一个随机变量，称,，为的特征函数，设连续随机变量有密度函数，则的特征函数为根据上式，我们可以求出随机变量分布的特征函数，然后利用特征函数的性质：求出数学期望，即．例7设随机变量,求.解因为随机变量,则X的特征函数为，其一阶导数为则，由特征函数的性质得3数学期望在实际生活中的应用3.1在医学疾病普查中的应用医疗系统的检验人员在实际工作中经常遇到大量人群中普查某种疾病.如甲肝的普查就需要对某地区大量人进行血检.假设需要检查个人的血，如果逐人验血，则共需要检验次，平均每人一次.若把这个人大致分为组，每组个人，把这个人的血样混合，首先检验混合血样，平均每人次，如果结果呈阳性，则在逐个检验，即共需+1次，平均每人需次，当被普查人数众多时，应用分组检验的方法能大大减少检验的次数.例某地区的群众患有肝炎的概率为0.004左右，假若要对该地区5000人进行肝炎感染的普查，问用分组检验方法是否比逐人检验减少检查次数.解将这5000人分成组，每组个人，每人所需检验的次数为随机变量，则的概率分布为：每人的平均所需检验次数的期望为：（）=+=+1-+-=1+-易见，当=1，2，3，4,…时，，即每人平均所需次数小于1，这比逐人检查的次数要少.并且由数学分析的知识可知当取16时，最小.即将5000人大致分为每组16人检验即可.3.2数学期望在体育比赛中应用随着姚明和易建联在NBA中取得成功，现在NBA比赛越来越多地受到中国人的青睐.而由于体育比赛结果的偶然性，使得大家对比赛结果的预测越来越感兴趣.以2008年爵士队和火箭队在季后赛的第一轮相遇为例.根据规则，比赛是七场四胜制.现在我们就可以提出这样一个问题，假设火箭队爵士每场比赛的获胜率都为50%，那么第一轮比赛结束时两队所需要比赛的场数是多少.很容易想到，两个队比赛结束的前提就是其中一个对已经获得了4场比赛的胜利.所以上述问题可能的结果又4、5、6、7场四种结果.我们下面应用数学期望的知识进行预测.首先，计算四种结果所对应的概率.由于每场比赛双方获胜概率一样，所以只需计算其中一对最后乘以二即可.以两队比赛结束时共赛5场为例，假设火箭最终胜利.即火箭第五场胜利，且前四场恰好胜3场，又火箭每场胜率为50%，应用二项式定律可知，前面四场火箭恰好胜三场的概率为：；应用概率论中的乘法公式，可知赛五场而火箭获胜的概率为：；所以，第一轮比赛恰好赛五场结束的概率为：.类似的方法，我们可以将另外三个结果对应的概率算出.结束时赛四场的概率为=0.125；赛六场的概率为：；赛七场的概率为：.设随机变量为比赛场数，则可建立的分布律：45670.1250.250.31250.3125应用数学期望公式，计算的数学期望：所以，火箭和爵士季后赛第一轮比赛结束估计要赛六场.众所周知，乒乓球是我们得的国球，中国队在这项运动中具有绝对的优势.现就乒乓球比赛的安排提出一个问题：假设韩国队和中国队比赛，赛制有两种，一种是双方各出3人，三场两胜制，一种是双方各出5人，五场三胜制，哪一种赛制对中国队更有利？由于中国队在这项比赛中的优势，我们不妨设中国队每一位队员对韩国队员的胜率都为60%.根据前面的分析，下面我们只需比较两队的数学期望即可.在五场三胜制中，中国队要取得胜利，获胜的场数有3、4、5三种结果.我们计算三种结果所对应的概率、应用二项式定律可知，恰好获得三场胜利对应的概率：；恰好获得四场对应的概率：；五场全胜得概率：.设随机变量X为该赛制下中国队在比赛中获胜的场数，则可建立X的分布律：3450.34650.25920.07776计算随机变量X的数学期望：在三场两胜制中，中国队取得胜利，获胜的场数有2、3两种结果.胜两场对应的概率为；三场全胜的概率为.设随机变量Y为该赛制下中国队在比赛中获胜的场数，则可建立Y的分布律230.4320.216（）=20.432+30.216=1.152比较两个期望值，（）>(),所以我们可以得出结论，五场三胜制对中国队更有利.3.3数学期望在经济问题中的应用3.3.1免费抽奖问题袋中装有大小相同的球20个，10个10分，10个5分，从中摸出10个球，摸出的10个球分数之和即为中奖分数，获奖如下：一等奖：100分，家电一件，价值2500元二等奖：50分，家电一件，价值1000元三等奖：95分，洗发精8瓶，价值176元四等奖：55分，洗发精2瓶，价值88元五等奖：60分，洗发精2瓶，价值44元六等奖：65分，牙膏一盒，价值8元七等奖：70分，洗衣粉一袋，价值5元八等奖：85分，香皂一块，价值3元九等奖：90分，毛巾一条，价值2元十等奖：75分与80分为优惠奖，仅收成本22元，你将得到洗发精一瓶.在解答该问题时，表面上看整个活动对顾客有利，一等奖到9等奖是白得的，只有十等奖收费，但也仅收回成本.事实上，我们用概率只是来分析一下：摸出10个球的分值只有11种情况，用表示摸奖者获得的奖励金额数，一等奖即得分100分，对应事件（=2500），该事件的概率服从超几何分布，，取值分别为2500、1000、176、88、44、8、5、3、2、-22，其概率可以类似求出如下表：用的平均值就可以看出获利者，求出数学期望即可.250010001768844（）0.0000050.0000050.0005410.0005410.010968532-22（=）0.0779410.2386930.0779410.010960.582411，表明商家在平均一次的抽奖中，获得10.098元钱.而平均每个抽奖者将花10.098元钱来享受这种免费抽奖，却没有机会获得大奖.3.3.2保险公司获利问题一年中一个家庭万元被盗的概率是0.01，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者需要缴纳保险费100元，若在一年内，万元以上财产被盗，保险公司赔偿元（<100），试问如何确定，才能使保险公司期望获利？解只考虑保险公司对任意一家参保家庭的获利情况，设表示保险公司对任一参保家庭的收益，则的取值为100或100-，其分布列为：100100-0.990.01根据题意，（）=1000.99+（100-）0.01=100-0.01>0解得<10000，又>100，所以（100，10000）时保险公司才能期望获利.3.3.3决定生产批量问题决定生产批量问题是风险型经济决策问题.这种经济决策问题是物流企业进行生产决策经常遇到的.选择何种方案，多少产量直接关系到企业成本的控制，收益的高低，这些问题都是关系到企业管理和运营的重大问题，同时也困扰很多管理者.简易可行的解决方法就是利用期望收益最大的原则进行方案选择：即进行备选方案的收益(或损失)比较，选择收益(或损失)最大(最小)的方案.例某工厂决定今后5年内生产某电子产品的生产批量，以便及早做好生产前的各项准备工作，根据以往销售统计资料及市场调查和预测知：未来市场出现销路好、销路一般、销路差三种状态的概率分别为0.3、0.5和0.2，若按大、中、小三种不同生产批量投产，今后5年不同销售状态下的益损值如下所示：状状态概率益损方案销路好销路一般销路差0.30.50.2大批量益损2014-2中批量益损121712小批量益损81010试做出分析，以确定最佳生产批量.解比较期望益损法是常用的决策方法之一，下面算出每一方案的期望益损：比和均大，所以认为选择中批量生产方案为优.3.3.4机器故障问题一部机器一天内发生故障的概率是0.2，机器发生故障则全天停工，如果一周5个工作日均无故障，工厂可获利润10万元，发生一次故障可获利5万元，发生三次或三次以上的故障，则要亏损2万元，求这个工厂每周的期望利润.解以表示一周内机器发生故障的天数，则是=5时的二项分布（5，0.2），（=0，1，2，3，4，5），以表示工厂一周内所获得利润，则的概率分布为：1050-20.3280.4100.2050.057故工厂一周的期望利润是5.216万元.3.3.5最佳进货量问题设某一超市经销的某种商品，每周的需求量在10至30范围内等可能取值，该商品的进货量也在10至30范围内等可能取值（每周只在周前进一次货）超市每销售一单位商品可获利500元，若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏损100元；若供不应求，可从外单位调拨，此时一单位商品可获利300元.试测算进货量多少时，超市可获得最佳利润？并求出最大利润的期望值.分析：由于该商品的需求量（销售量）是一个随机变量，它在区间上均匀分布，而销售该商品的利润值也是随机变量，它是的函数，称为随机变量的函数.本问题涉及的最佳利润只能是利润的数学期望即平均利润的最大值.因此，本问题的解算过程是先确定与的函数关系，再求出的期望.最后利用极值法求出的极大值点及最大值.先假设每周的进货量为，则利润的数学期望为：的最大值元由计算结果可知，周最佳进货量为23.33（单位），最大利润的期望值为9333.3元.3.3.6求职决策问题有三家公司为大学毕业生甲提供应聘机会，按面试的时间顺序，这三家公司分别记为、、，每家公司都可提供极好、好和一般三种职位.每家公司根据面试情况决定给求职者何种职位或拒绝提供职位.按规定，双方在面试后要立即做出决定提供，接受或拒绝某种职位，且不许毁约.咨询专家在为甲的学业成绩和综合素质进行评估后，认为甲获得极好、好和一般的可能性依次为0.2、0.3和0.4.三家公司的工资承诺如表：公司极好好一般350030002200390029502500400030002500如果甲把工资作为首选条件，那么甲在各公司面试时，对该公司提供的各种职位应作何种选择？分析：由于面试从公司开始，甲在选择公司三种职位是必须考虑后面、公司提供的工资待遇，同样在公司面试后，也必须考虑公司的待遇.因此我们先从公司开始讨论.由于公司工资期望值为：再考虑公司，由于公司一般职位工资只有2500，低于公司的平均工资，因此甲在面对公司时，只接受极好和好两种职位，否则去公司.如此决策时加工资的期望值为：元最后考虑公司，公司只有极好职位工资超过3015，因此甲只接受公司的极好职位.否则去公司.甲的整体决策应该如此：先去公司应聘，若公司提供极好职位就接受之.否则去公司，若公司提供极好或好的职位就接受之，否则去公司应聘任意一种职位.在这一决策下，甲工资的期望值为：元4结论本文重点讨论了几种简化计算数学期望的方法和技巧，解法各具特色,但不是全部，除了上述一些求期望的方法外，还有“利用重期望公式法”，“利用α函数或β函数法”，“待定系数法”，“利用母函数法”，“利用分布的对称性”等，应该根据具体情况选择相应的方法，应灵活应用.然而，只要对数学期望的基本定义和随机变量分布形式的特点有了透彻的理解，那么，对各种简化计算方法和技巧的应用就会游韧有余了.本文利用数学期望解决了生活中的一些问题，比如疾病普查问题、抽奖问题、经济决策问题、生产