中考数学几何模型专项复习 模型36 圆-四点共圆模型-（原卷版+解析）

圆模型（三十六）——四点共圆模型四点共圆：如果同一平面内的四个点在同一圆上，则称这四个点共圆知识点一：四点共圆的性质◎结论1：如图A、B、C、D四点共圆①同侧共底的两个三角形顶角相等（同弧所对的圆周角相等）∠ACB＝∠ADB，AB为底；∠BAC＝∠BDC，BC为底；∠CAD＝∠CBD，CD为底；∠ABD＝∠ACD，AD为底；②圆内接四边形的对角互补∠ABC＋∠ADC＝180º；∠BCD＋∠BAD＝180o③圆内接四边形的外角等于内对角∠BCE为圆内接四边形的一个外角，则∠BCE＝∠A知识点二：四点共圆的判定①若四个点到一个点的距离相等，则这四个点在同一圆上（四点共圆）【证明】【共斜边直角三角形】：取斜边中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半AO＝BO＝CO＝DO，∴A、B、C、D四点共圆.②若四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个点共圆.若∠A＋∠C＝180º,则A、B、C、D四点共圆【证明】（反证法）以B、C、D三点作⊙O，现证明A在⊙O上，假设点A不在圆上：①假设点A在⊙O内，在A上方⊙O上取一点P，∵B,C,D,P四点共圆，∴∠P＋∠C＝180°，∵∠A＋∠C＝180°，∴∠A＝∠P而图中∠A＝∠P＋∠PBA＋∠PDA，即∠A＞∠P与∠A＝∠P矛盾∴假设不成立，点A不在圆内②假设点A在⊙O外，在A上方⊙O上取一点P，∵B,C,D,P四点共圆，∴∠P＋∠C＝180°，∵∠A＋∠C＝180°，∴∠A＝∠P而图中∠A＝∠P＋∠PBA＋∠PDA，即∠A＞∠P与∠A＝∠P矛盾∴假设不成立，点A不在圆外。综上：A只能在圆上，即A，B，C，D四点共圆。③若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形四点共圆若∠BCD＝∠A，则A、B、C、D四点共圆【本质：对角互补】④若两个点在一条线段的同旁，且和这条线段的两个端点连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点四点共圆若∠BAC＝∠BDC，则A、B、C、D四点共圆证明：以A.B.C作圆，在弧BC上取点P，则∠BAC＋∠P＝180°，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠P＋∠BDC＝180°，∴D.B.P.C四点共圆∵A.B.P.C四点共圆，B.P.C确定唯一圆∴A.B.C.D四点共圆.1．(2023·全国·九年级专题练习）如图，已知AB=AC=AD，∠CAD=20°，则∠CBD的度数是（）A．10° B．15° C．20° D．25°2．(2023·全国·九年级专题练习）如图，在长方形中，，，垂足为，延长交于，表示面积，则给出的下列命题：①；②；③；④．其中正确命题的代号是________．3．(2023·黑龙江哈尔滨·九年级阶段练习）如图，等边△ABC中，D在BC上，E在AC上，BD＝CE，连BE、AD交于F，T在EF上，且DT＝CE，AF＝50，TE＝16，则FT＝_____．1．(2023·全国·九年级课时练习）如图1，在正方形中，点在边上，过点作，且，连接、，点是的中点，连接．（1）用等式表示线段与的数量关系：______；（2）将图1中的绕点按逆时针旋转，使的顶点恰好在正方形的对角线上，点仍是的中点，连接、．①在图2中，依据题意补全图形；②用等式表示线段与的数量关系并证明．2．(2023·福建·厦门市松柏中学九年级阶段练习）如图，等腰三角形△ABC中，∠BAC=120°，AB=3．（1）求BC的长．（2）如图，点D在CA的延长线上，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，连EF．求EF的最小值．1．(2023·福建·中考真题）如图，四边形内接于，，为中点，，则等于（

）A． B． C． D．圆模型（三十六）——四点共圆模型四点共圆：如果同一平面内的四个点在同一圆上，则称这四个点共圆知识点一：四点共圆的性质◎结论1：如图A、B、C、D四点共圆①同侧共底的两个三角形顶角相等（同弧所对的圆周角相等）∠ACB＝∠ADB，AB为底；∠BAC＝∠BDC，BC为底；∠CAD＝∠CBD，CD为底；∠ABD＝∠ACD，AD为底；②圆内接四边形的对角互补∠ABC＋∠ADC＝180º；∠BCD＋∠BAD＝180o③圆内接四边形的外角等于内对角∠BCE为圆内接四边形的一个外角，则∠BCE＝∠A知识点二：四点共圆的判定①若四个点到一个点的距离相等，则这四个点在同一圆上（四点共圆）【证明】【共斜边直角三角形】：取斜边中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半AO＝BO＝CO＝DO，∴A、B、C、D四点共圆.②若四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个点共圆.若∠A＋∠C＝180º,则A、B、C、D四点共圆【证明】（反证法）以B、C、D三点作⊙O，现证明A在⊙O上，假设点A不在圆上：①假设点A在⊙O内，在A上方⊙O上取一点P，∵B,C,D,P四点共圆，∴∠P＋∠C＝180°，∵∠A＋∠C＝180°，∴∠A＝∠P而图中∠A＝∠P＋∠PBA＋∠PDA，即∠A＞∠P与∠A＝∠P矛盾∴假设不成立，点A不在圆内②假设点A在⊙O外，在A上方⊙O上取一点P，∵B,C,D,P四点共圆，∴∠P＋∠C＝180°，∵∠A＋∠C＝180°，∴∠A＝∠P而图中∠A＝∠P＋∠PBA＋∠PDA，即∠A＞∠P与∠A＝∠P矛盾∴假设不成立，点A不在圆外。综上：A只能在圆上，即A，B，C，D四点共圆。③若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形四点共圆若∠BCD＝∠A，则A、B、C、D四点共圆【本质：对角互补】④若两个点在一条线段的同旁，且和这条线段的两个端点连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点四点共圆若∠BAC＝∠BDC，则A、B、C、D四点共圆证明：以A.B.C作圆，在弧BC上取点P，则∠BAC＋∠P＝180°，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠P＋∠BDC＝180°，∴D.B.P.C四点共圆∵A.B.P.C四点共圆，B.P.C确定唯一圆∴A.B.C.D四点共圆.1．(2023·全国·九年级专题练习）如图，已知AB=AC=AD，∠CAD=20°，则∠CBD的度数是（）A．10° B．15° C．20° D．25°答案:A【详解】如图，AB=AC=AD∵，故选A．2．(2023·全国·九年级专题练习）如图，在长方形中，，，垂足为，延长交于，表示面积，则给出的下列命题：①；②；③；④．其中正确命题的代号是________．答案:①③④分析由矩形的性质得出，，，由证明，①正确；由的面积的面积，得出的面积的面积，②不正确；证明、、、四点共圆，得出，③正确；延长交矩形的外接圆于，连接，由圆周角定理得出，由三角形的外角性质得出，得出，④正确；即可得出结论．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，，在和中，，∴，∴①正确；∵的面积的面积，∴的面积的面积，∴②不正确；∵，∴，∴，∴、、、四点共圆，∴，∴③正确；∵、、、四点共圆，如图所示：延长交矩形的外接圆于，连接，则，∵，∴，∴④正确；正确的代号是①③④；故答案为：①③④．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，以及圆周角的性质，掌握四点共圆的证明方法进行转化是解题关键．3．(2023·黑龙江哈尔滨·九年级阶段练习）如图，等边△ABC中，D在BC上，E在AC上，BD＝CE，连BE、AD交于F，T在EF上，且DT＝CE，AF＝50，TE＝16，则FT＝_____．答案:17分析用“SAS”可判定△ABD≌△BCE，得到∠AFE=60°，延长FE至点G，使得FG=FA，连AG，AT，得到△AFG是等边三角形，证明A、B、D、T四点共圆，设法证明△FAT≌△GAE（ASA），即可求得答案．【详解】∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∠ABD=∠BCE=60°，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD=∠CBE，∵∠ADC=∠CBE+∠BFD=∠BAD+∠B，∴∠BFD=∠B=∠AFE=60°；延长FE至点G，使得FG=FA，连AG，AT，∵∠AFE=60°，∴△AFG是等边三角形，∴AG=AF=FG=50，∠AGF=∠FAG=60°，∵∠BAF+∠EAF=∠CAG+∠EAF=60°，∴∠BAF=∠CAG，∵DT=CE，∴∠DBT=∠BTD，∵∠BAD=∠CBE，∴∠BAD=∠BTD，∴A、B、D、T四点共圆，∴∠BAD=∠DAT，∴∠FAT=∠GAE，在△FAT和△GAE中，，∴△FAT≌△GAE（ASA），∴FT=GE，∵FG=50，TE=16，∴FT=(FG-TE)=17．故答案为：17．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等，作出辅助线，判断出△FAT≌△GAE是解本题的关键．1．(2023·全国·九年级课时练习）如图1，在正方形中，点在边上，过点作，且，连接、，点是的中点，连接．（1）用等式表示线段与的数量关系：______；（2）将图1中的绕点按逆时针旋转，使的顶点恰好在正方形的对角线上，点仍是的中点，连接、．①在图2中，依据题意补全图形；②用等式表示线段与的数量关系并证明．答案:（1）；（2）①画图见解析；②，证明见解析分析（1）先判断出△AGB≌△CGB，得到∠GBF＝45°，再判断出△EFG≌△CFG，得到∠GFB＝45°，从而得到△BGF为等腰直角三角形，即可．（2）①画图2即可；②如图2，连接BF、BG，证明△ADF≌△ABF得DF＝BF，根据直角三角形斜边中线的性质得：AG＝EG＝BG＝FG，由圆的定义可知：点A、F、E、B在以点G为圆心，AG长为半径的圆上，∠BGF＝2∠BAC＝90°，所以△BGF是等腰直角三角形，可得结论．【详解】解：（1）BF＝，理由是：如图1，连接BG，CG，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC，∵EF⊥BC，FE＝FC，∴∠CFE＝90°，∠ECF＝45°，∴∠ACE＝90°，∵点G是AE的中点，∴EG＝CG＝AG，∵BG＝BG，∴△AGB≌△CGB（SSS），∴∠ABG＝∠CBG＝∠ABC＝45°，∵EG＝CG，EF＝CF，FG＝FG，∴△EFG≌△CFG（SSS），∴∠EFG＝∠CFG＝（360°﹣∠BFE）＝（360°﹣90°）＝135°，∵∠BFE＝90°，∴∠BFG＝45°，∴△BGF为等腰直角三角形，∴BF＝FG．故答案为：BF＝FG；（2）①如图2所示，②；理由如下：如图2，连接BF、BG，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠ABC＝∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC＝45°，∵AF＝AF，∴△ADF≌△ABF（SAS），∴DF＝BF，∵EF⊥AC，∠ABC＝90°，点G是AE的中点，∴AG＝EG＝BG＝FG，∴点A、F、E、B在以点G为圆心，AG长为半径的圆上，∵，∠BAC＝45°，∴∠BGF＝2∠BAC＝90°，∴△BGF是等腰直角三角形，∴BF＝FG，∴DF＝FG．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，圆的性质，判断△BGF为等腰直角三角形是解本题的关键，作出辅助线是解本题的难点．2．(2023·福建·厦门市松柏中学九年级阶段练习）如图，等腰三角形△ABC中，∠BAC=120°，AB=3．（1）求BC的长．（2）如图，点D在CA的延长线上，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，连EF．求EF的最小值．答案:（1）BC=；（2）EF的最小值为分析（1）过点A作AM⊥BC于点M，根据等腰三角形的性质得∠B=30°，BM=CM，由直角三角形的性质得BM=，进而即可求解；（2）连接BD，取BD的中点O，连接OE，OF，易得B，D，E，F四点共圆，从而得∆OEF是等边三角形，进而得EF=BD，由BD⊥CD时，BD的值最小，进而即可求解．【详解】（1）过点A作AM⊥BC于点M，∵等腰三角形△ABC中，∠BAC=120°，AB=3，∴∠B=(180°-120°)÷2=30°，BM=CM，∴BM=3÷2×=，∴BC=2BM=2×=3；（2）连接BD，取BD的中点O，连接OE，OF，∵DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∴在Rt∆BDF与Rt∆BDE中，OB=OD=OE=OF=BD，∴B，D，E，F四点共圆，∴∠EOF=2∠EBF=2×30°=60°，∴∆OEF是等边三角形，∴EF=OF=BD，∵∠C=∠EBF=30°，∴当BD⊥CD时，BD=BC=，此时，BD的值最小，∴EF的最小值=BD=×=．【点睛】本题主要考查圆的基本性质以及等腰三角形，直角三角形的性质定理，添