泰勒公式的教学设计研究

泰勒公式的教学设计研究泰勒中值定理是高等数学微分学的教学重点和难点，由泰勒公式进行描述，其教学方法始终吸引着宽阔数学教学工作者进行争论，可谓百花齐放、百家争鸣。究其根本缘由，首先是由于泰勒公式及其相关理论是进行数学理论争论和计算的重要工具，它在级数、解析函数和函数的近似计算等理论方面有着举足轻重的地位。因此，每一个理工科的同学必需把握其数学思想、理解其本质及基本应用；其次，同样作为导数应用的基础，罗尔中值定理等具有几何意义鲜亮的结论，而泰勒中值定理及泰勒公式却抽象浅显，会让大多数同学不知所云、莫名其妙，虽经充分预习、认真听课，仍感觉一头雾水、疑问重重，看不到学习目的，学习信念大受打击，造成这一现象的根本缘由在于大部分同学的思维方式还停留在中学阶段，无法理解泰勒公式这种“人为”将简洁问题“抽象”、“简洁”化的表述方式；最终，泰勒公式在函数性态的争论、中值问题、不等式的证明、极限的计算、函数的近似计算等内容的教学中具有基础作用，只有理解好才能用好用活。

作者在长期教学实践中，始终重视对泰勒公式的教学法进行探究，旨在使同学能较主动、轻松地学好、用好泰勒公式。以下分别从课前预备、问题引入、证明方法及例题选讲等环节介绍我们的教学设计方法及教学过程，希望起到抛砖引玉之作用。

1泰勒公式及其教学难点

我们把泰勒中值定理叙述为如下形式：若函数在含有的某一个区间内具有直至阶导数，则它可以表示为的次多项式与一个余项之和，即

，（1）

其中在与之间，称为拉格朗日型余项。

同学的困惑之处在于：具有如此“好”条件的“特殊光滑”的函数，为何要用右边的不知为何物的式子表达？右边是多项式吗？为何要用的多项式？为何还有“特别的”一项，它毕竟有何作用？公式毕竟想表达什么？

泰勒公式让同学疑问重重，它的证明更加费事。比证明公式更加重要的是，如何将证明中抽象、简洁的规律思维“变”得具体、简洁，从而关怀他们主动、轻松地接受其数学思想。

我们认为，一个好的教学设计，至少应当基本解决同学的上述怀疑，细心设计课前预备、问题导入、证法选择及例题选讲等教学环节，通过各环节的亲热协作、有机整合，使教学过程深化浅出、一气呵成！带领他们不断深化、逐步领悟泰勒公式蕴含的数学思想，达到学以致用。否则，硬性强记泰勒公式，不去领悟其本质，公式就会沦为“依葫芦画瓢”的机器。

2泰勒公式的教学设计

（1）课前预备。

课前教员要关怀同学“有的放矢”地进行学习预备，即进行预习。

我们将同学分成几个小组，每组由组长负责。给他们细心设置了两个任务：①将多项式写成为的多项式的形式，选择一个“初等”的方法完成这一任务。再试一试，分别用两个多项式去计算时的值，难度有差别吗？假如考虑对一个的20次多项式，做同样的工作，用“初等”的方法，简洁做得到吗？假如要达到较高的精度，“需要”计算的项数会有什么不同吗？计算量的差别大吗？为什么？②如何计算的值？除了查表，有无其它好的方法？

同学大多能够理解这两个任务，可以动手尝试并得到初步结论，但还不能完满回答。目的就是让他们有回味但不满足，提前做好打硬仗的预备。“有意思地”留下悬念，通过“任务驱动”，使他们产生学习的动力。实践证明，这样有针对性的预习，能收到更好的效果。

（2）问题导入。

有了较充分的课前预备，首先教员直接出示上边的两个问题，激发同学们的争辩，并请组长作代表发言，然后关怀同学进行问题抽象，导出第一个学问点。

（3）多项式的泰勒公式。

第一个问题，本质上就是要将的多项式开放为的多项式，这个问题同学大多做过思考，对于及，已经有了初步的想法和结论。可让组长介绍其课前预备的成果，通过相互评价、激发思考。再给同学讲解如何运用求导的方法确定多项式的系数，揭示只需分别求出及各阶导数，就可得到，于是

（2）

部分同学可能根本不明白为什么要这么做，但事实是通过式（2）计算系数，的确简洁多了。多项式是最简洁的函数，通过两种不同方式计算，可能还感觉不到差别，甚至有后者“更麻烦”的感觉。要化解这一“冲突”，教员再直接呈现下述例子及其结论：

现在要把次数较高的多项式开放成的多项式，并用两个表达式分别计算，用初等的方法就办不到了。首先，由式（2）可得

。（3）

很明显，用计算，可得

，

其计算量很大。但用式（3），计算前4项，有

，

就可得到相当精确的值。其计算简繁差别之大，比较之下就可见一斑了。

这时，同学可能看出了问题所在。原来，当我们争论一个函数（比如最简洁的多项式）在某点（比如1）四周的性态时（比如计算函数值、求切线的斜率、曲率等），将函数在该点“开放”，可能带来很大的便利。这或许正是教员不厌其烦对函数进行“开放”的缘由之一！

同学初步明白了“开放”可能带来更多的“好处”，教员就可以适时导入另一个问题了。

②如何计算的值？除了查表，有没有其他方法？

不是多项式，是不是也可以通过在“开放”成的多项式来近似计算即呢？这时的“开放式”还是像式（2）一样也是等式呢？

（3）证明方法。同学的疑问在于，尽管一个多项式完全可以像式（2）那样开放成为另外一种多项式的形式，但对于像这样的函数，为什么也要这样做呢？莫非也是为了争论其性态吗？尽管它在任意点有任意阶导数，它能与一个多项式按如下的方式画上等号吗？

。（4）

这时教员可马上启发学员，很明显，就在而言，式（4）右端的阶导数已经恒为0，但左边在任意点的各阶导数均大于0，可见（4）不能成立。

但是，教员也应提示同学，依据式（2）的推导过程，要将开放成一个多项式形式，其系数也必需是（4）右端的形式！同时，可请同学们观看右端多项式在处的函数值、导数值、二阶导数的值，让他们明白用右端的多项式来近似其实特别自然！

教员再启发学员：其实，与争论多项式的开放一样，开放的主要目的也是为了争论其性态！能否将用一个多项式来近似呢？再提示微分是常用的近似计算的基本方法，进而呈现学习微分时常用的近似式，即

，（5）

这样很小时，就有，即。

因此，。虽然供应了在近旁计算指数函数值的一个方法，但直观上同学会感到有些无望，首先其精确度不高，其次没有估量计算的误差。但是式（5）也给同学启发，就是式（4）的动身点可能没错，只不过，（4）的等号要保留，右边必需加上刻画误差的项，但这个项是什么形式？与什么有关？同学还不得而知。

教员这时可直接从较为简洁的式（5）入手，设想，现在要确定。我们很自然想到将与进行比较（为什么？可留给同学思考并争辩）。这时，二者可能不会直接相等，会是什么关系呢？这时，教员可鼓舞同学思考，二者在处的函数值、导数值关系如何？二阶导数的值呢？然后直接出示下述结果：

，

很明显，能考虑的就是与之比了。因此，教员呈现以下推导，每一个“关键”等号的推理依据、的范围等，则提问同学作答：

，

因此，得到，从而

，（6）

其中，在与之间。这样，误差就被精确地刻画出来！式（6）就是一阶泰勒公式，上述推导是本课的重点。此时，教员就可以点拨同学：有没有所谓的“零阶”泰勒公式呢？再呈现拉格朗日公式，再问：“零阶”到“一阶”作了什么改进呢？有了“一阶”，能否受此启发，也改进到“二阶”？再揭示答案：零阶到一阶，多项式次数升一阶，即将零阶的换为，再加上即可！因此，“一阶”到“二阶”，只需将式（6）的换为，再加上即可！也就是

，（7）

理解了确定的思想，确定的过程也就水到渠成，这时，可先由学习较好的同学猜想其形式，然后适时出示以及二阶泰勒公式

。（8）

争辩到此处，有了的零阶、一阶和二阶泰勒公式的启发，同学大都已经渐渐明白，原来也可以像多项式一样，在形式上开放为的多项式，只不过点以及开放的次数均应依据条件和需要进行选择，而且余项形式特殊明确。

最终，教员还应启发同学思考和猜想：在上述过程中，要求满足一些什么样的条件呢？是的，只要“函数在含有的某一个区间内具有直至阶导数”，阶泰勒公式是什么形式呢？是否也可表为的次多项式与一个余项之和呢，即

。

更进一步，如何证明上式呢？接受什么方法好？其实，上边从（6）到（8）的过程已经给出了归纳递推的关键思路。只要接受数学归纳法，就可以完满地证明泰勒公式。这个过程比之教材中不厌其烦地多次运用柯西中值定理，更贴近同学的实际，简洁为他们接受。

泰勒公式的导出过程由浅入深、逐层递进，其规律思维连贯性强、一气呵成。经过课前预备、问题导入后，同学大多能轻松参与、自主学习。教学实践证明，能获得很好的效果。

在此基础上，教员再给同学揭示泰勒公式的几何意义、物理意义，介绍与泰勒公式相关的麦克劳林公式等基本概念，并介绍误差估量方法，加深同学对泰勒公式意义的理解。

（4）例题选讲。

为关怀同学加深对泰勒公式的理解，回应导入课程的其次个问题，我们设计了以下例题：

例1求函数的麦克劳林公式，并近似计算，要求误差小于10-4。

解：由，其中。考虑区间

[-0.1，0.1]，当，此时

易见，只需取，即可确保误差小于，此时可取。

例1的分析和求解过程的