2024届上海市闵行区信宏中学九年级上册数学期末联考试题含解析

2024届上海市闵行区信宏中学九上数学期末联考试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题3分,共30分）

1.下列事件中，是必然事件的是（）

A.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯B.明天太阳从西方升起

C.三角形内角和是18（）D.购买一张彩票,中奖

2.已知二次函数y=χ2+mχ+"的图像经过点（一1,一3）,则代数式”?〃+1有（）

A.最小值一3B.最小值3C.最大值一3D,最大值3

3.现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相

同从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是（）

1245

A.一B.-C.-D.一

3399

4.如图，菱形ABCD与等边△AEF的边长相等，且E、F分别在BC、CD,则NBAD的度数是（）

5.一个圆锥的侧面积是底面积的4倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是

A.60oB.90oC.120oD.180°

6.下列关于X的方程中，一定是一元二次方程的为（）

A.6rx2+⅛x+c=0B.X2-2=（X+3）2

3

C.X2+--5=0D.X2=O

X

7.如图，点。、E分别在ABC的边A3、AC上，且。石与BC不平行.下列条件中，能判定AD石与4AC3相

似的是（）

D

tE

R

AD_AEAD_ABDE_AEDE_AD

c

A，花=茄B-茄=就∙京=K0-而=左

8.如图，点D,E分别在AABC的边AB,AC±,且DE//BC,若AD=2,DB=I,AC=6,则AE等于（）

BC

A.2B.3

9.分式方程至a=O的根是（

A.x=2B.χ=0D.无实根

10.在圆，平行四边形、函数y=f的图象、），=一_1的图象中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数有（）

二、填空题（每小题3分,共24分）

11.如图，ABC是等腰直角三角形，∕ACB=9O,以BC为边向外作等边三角形BCD,CE±AB,连接AD交CE

于点F,交BC于点G,过点C作CHLAD交AB于点H.下列结论：①CF=CG；②-CFGS-DBG；

③CF=（√3-l）EF;④tan/CDA=2-√i则正确的结论是.（填序号）

EHB

12.如图，点3（-1,。）、。他,-4）在OA上,点A在X轴的正半轴上,点。是A上第一象限内的一点,若NO=45。,

则圆心A的坐标为一.

13.如图，∆AO8三个顶点的坐标分别为A（8,0）,。（0,0）,3（8,-6）,点加为。8的中点.以点。为位似中心,

把或AAOB缩小为原来的L,得到ΔA'OB',点为08'的中点，则'的长为.

2

14.若XV2,化简J(X_2)2=

15.如图，一段抛物线：y=-x(x-2)(0≤x<2)记为Ci,它与X轴交于两点0,Ai将Cl绕点A旋转180。得到Cz,交X

轴于Ai；将C2绕点Ai旋转180。得到C3,交X轴于点A2..............如此进行下去，直至得到C20i8,若点P(4035,

m)在第2018段抛物线上，则m的值为.

16.如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m,已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为X轴,

建立平面直角坐标系，求选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是.

17.河北省赵县的赵州桥的拱桥是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=-^X2,

当水面离桥拱顶的高度Do为4m时，这时水面宽度AB为.

18.一个圆锥的底面圆的半径为3CW,母线长为9C机，则该圆锥的侧面积为Cm2.

三、解答题(共66分)

19.(10分)。。直径A8=12c∕n,AM和8N是。。的切线，OC切。。于点E且交AM于点O,交8N于点C,设

AD=x,BC=y.

(1)求y与X之间的关系式；

(2)X,y是关于f的一元二次方程2i-30f+wι=0的两个根，求x,y的值；

(3)在(2)的条件下，求aCQD的面积.

20.(6分)已知：AABC内接于。O,过点A作直线EF.

(1)如图甲，AB为直径，要使EF为。O的切线，还需添加的条件是(写出两种情况，不需要证明)：①或

②;

(2)如图乙，AB是非直径的弦，若NCAF=NB,求证：EF是。O的切线.

(3)如图乙，若EF是。O的切线，CA平分NBAF,求证：OCJ_AB.

21.(6分)在平面直角坐标系XO)，中，直线丁=依+伙&Ho)与双曲线y=%Q"≠0)相交于A，B两点，点A坐标

X

为(一3,2),点8坐标为(n,—3).

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)如果点P是X轴上一点，且ZxABF的面积是5,求点P的坐标.

JTJ

(3)利用函数图象直接写出关于X的不等式依+〃<—的解集.

22.(8分)解方程：2x2+x-6=l.

23.(8分)在一个不透明的布袋里装有4个标有1、2、3、4的小球，它们的形状、大小完全相同，李强从布袋中随

机取出一个小球，记下数字为X,王芳在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y,这样确定了点M的坐

标(χ,y)

(1)画树状图列表，写出点M所有可能的坐标；

（2）求点M（x,y）在函数y=X+1的图象上的概率.

24.（8分）用适当的方法解方程（1）3x（x+2）=5（x+2）

（2）25（x-3）2=IOO

25.（10分）如图，30是菱形ABCr）的对角线，NCBD=75。,（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，

垂足为E,交AO于尸；（不要求写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）条件下，连接8尸，求NOBE的度数.

26.（10分）近日，国产航母山东舰成为了新晋网红，作为我国本世纪建造的第一艘真正意义上的国产航母，承载了

我们太多期盼，促使我国在伟大复兴路上加速前行如图，山东舰在一次测试中，巡航到海岛A北偏东60°方向P处，

发现在海岛A正东方向有一可疑船只B正沿BA方向行驶。山东舰经测量得出：可疑船只在P处南偏东45°方向，距

P处50五海里。山东舰立即从P沿南偏西30°方向驶出，刚好在C处成功拦截可疑船只。求被拦截时，可疑船只距

海岛A还有多少海里？（逝”1.414,√3≈1.732,结果精确到（）.1海里）

北

参考答案

一、选择题（每小题3分,共30分）

1、C

【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可判断

【详解】解：A.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件;

B.明天太阳从西方升起是不可能事件;

C.任意画一个三角形,其内角和是180是必然事件；

D.购买一张彩票，中奖是随机事件；

故选：C

【点睛】

本题考查的是必然事件，必然事件是一定发生的事件.

2、A

【解析】把点（-1,-3）代入y=χ2+∕nχ+"得n=-4+m,再代入川“+1进行配方即可.

【详解】V二次函数y=χ2+%χ+”的图像经过点（,ɪ,-3）,

.∙.-3=l-m+n,

.∙.n=-4+m,

代入mn+l,⅛mn+l=m2-4m+l=（m-2）2-3.

ʌ代数式，""+1有最小值-3.

故选A.

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，把函数mn+1的解析式化成顶点式是解题的关键.

3、C

【分析】根据列表法列出所有的可能情况，从中找出两个球颜色相同的结果数，再利用概率的公式计算即可得到答案.

【详解】解：列表如图所示：

黄红红

红（黄，红）（红，红）（红，红）

红（黄，红）（红，红）（红，红）

白（黄，白）（红，白）（红，白）

由表可知，共有9种等可能结果，其中摸出的两个球颜色相同的有4种结果

4

所以摸出两个球颜色相同的概率是X

故选：C.

【点睛】

本题考查的是列表法与树状图的知识，解题的关键是能够用列表或者树状图将所有等可能结果列举出来.

4、C

【解析】试题分析：根据菱形的性质推出NB=ND,AD〃BC,根据平行线的性质得出NDAB+NB=180。，根据等边三

角形的性质得出NAEF=NAFE=60。，AF=AD,根据等边对等角得出NB=NAEB,ZD=ZAFD,设/BAE=NFAD=X,

根据三角形的内角和定理得出方程x+2(180o-60o-2x)=180。，求出方程的解即可求出答案.

解：V四边形ABCD是菱形，

二NB=ND,AD〃BC,

ΛZDAB+ZB=180o,

AEF是等边三角形，AE=AB,

ΛZAEF=ZAFE=60o,AF=AD,

NB=NAEB,ND=NAFD,

由三角形的内角和定理得：NBAE=NFAD,

设NBAE=NFAD=x,

则ND=NAFD=I80°-ZEAF-(NBAE+NFAD)=180o-60°-2x,

•：ZFAD+ZD+ZAFD=180o,

Λx+2(180o-60o-2x)=180°,

解得：x=20o,

二NBAD=2x20°+60°=100°,

考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质.

5、B

【解析】试题分析：设母线长为R,底面半径为r,

，底面周长=2τrr,底面面积=πr2,侧面面积=πrR,

V侧面积是底面积的4倍，.∙.4nr2=πrR..∙.R=4r..∙.底面周长=∙^πR.

2

∙.∙圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长，

.∙.设圆心角为n。，有"旦=L乃R,.∙.n=l.

1802

故选B.

6、D

【解析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分

母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是L逐一判断即可.

【详解】解：4、当Q=O时，OrI+⅛r+c=0,不是一元二次方程；

B、X1-1=(x+3)I整理得，6x+ll=0,不是一元二次方程；

ɔ3

C、√+--5=0,不是整式方程，不是一元二次方程；

X

D、xl=(),是一元二次方程；

故选：D.

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的定义，正确把握一元二次方程的定义是解题关键.

7、A

【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可求解.

【详解】解:在ADE与.ACB中，

.ADAE

,•-----=-----，且πNA=NA，

ACAB

，.ADEs-ACB.

故选:A.

【点睛】

此题考查了相似三角形的判定：

(1)平行线法:平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似;

(2)三边法:三组对应边的比相等的两个三角形相似；

(3)两边及其夹角法:两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；

(4)两角法:有两组角对应相等的两个三角形相似.

8、C

【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解，即可得到AE的长.

【详解】解：∙.'DE∕∕BC

ΛAE:AC=AD:AB,

∙.∙AD=2,DB=I,AC=6,

.AE2

62+1

ΛAE=4,

故选：C.

【点睛】

本题考查了平行线分线段成比例定理，注意线段之间的对应关系.

9、A

【分析】观察可得分式方程的最简公分母为2+x,去分母，转化为整式方程求解.

【详解】方程去分母得：2x—4=0,

解得：X=2,

检验：将X=2代入2+2+4+0=≠,

所以X=2是原方程的根.

故选：A.

【点睛】

本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定

注意要验根.

10、C

【分析】根据轴对称图形又是中心对称图形的定义和函数图象，可得答案.

【详解】解：圆是轴对称图形又是中心对称图形；

平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；

函数y=χ2的图象是轴对称图形，不是中心对称图形；y=-L的图象是中心对称图形，是轴对称图形；

X

故选：C.

【点睛】

本题考查了反比例函数和二次函数的图象，利用了轴对称，中心对称的定义.

二、填空题（每小题3分,共24分）

11、

【分析】根据题意证明NCAE=NACE=45°,NBCD=60°,AC=CD=BD=BC即可证明②正确，①错误,在AAEF中利用特殊三

OC

角函数即可证明③正确,在RtΔAOC中,利用tanNCD4=—即可证明④正确.

OA

【详解】解：由题可知，NCAE=NACE=45°,NBCD=60°,AC=CD=BD=BC,

.∙.NACD=150°,

二NCDA=NCAD=15°,

ΛZFCG=ZBDG=45o,

：."CFGS-DBG,②正确，①错误,

∙.∙易证NFAE=30°,设EF=x,则AE=CE=√3χ,

.∙.CF=(√3-l)fF,③正确，

设CH与AD交点为0,易证NFCO=30°,

设0F=y,则CF=2y,由③可知，

EF=(ʌ/ɜ+1)y,

.∙.AF=(2√3+2)y,

在Rt∆AOC中，tanNCZJA——-----=2—∙∖∕3.

OA

本题考查了相似三角形的判定,特殊的直角三角形,三角函数的简单应用,难度较大,熟知特殊三角函数值是解题关键.

12、(3,0)

【分析】分别过点B,C作X轴的垂线,垂足分别为E,F,先通过圆周角定理可得出NBAC=90°,再证明ABEAgAAFC,

得出AE=CF=4,再根据AO=AE-OE可得出结果.

【详解】解：分别过点B,C作X轴的垂线，垂足分别为E,F,

VZD=45°,：.ZBAC=90o.

ΛZBAE+ZABE=90o,ZBAE+ZCAF=90o,

：.NABE=NCAF,

XAB=AC,NAEB=NAFC=90°,

Λ∆BEA^∆AFC(AAS),

.∙.AE=CF,

XVB,C的坐标为8(T,α)、C[b,-4),

ΛOE=1,CF=4,

ΛOA=AE-OE=CF-OE=I.

二点A的坐标为(1,0).

故答案为：(1,0).

本题主要考查圆周角定理，以及全等三角形的判定与性质，根据已知条件作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.

【分析】分两种情形画出图形，即可解决问题.

【详解】解：如图，在RtaAOB中，OB=J62+82=10,

①当AA'OIΓ在第四象限时，OM=5,0IV「=』,二MMT=2.

22

②当AA"OB”在第二象限时，OM=5,0M"=-^-,ΛMM"=—

22

故答案为!■或

22

【点睛】

本题考查位似变换，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型.

14、2-x.

【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案.

【详解】解：∙.∙XV2,

Λx-2<0,

J(X-2)2—2—X

故答案是：2-x.

【点睛】

此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确把握二次根式的性质是解题关键.

15、-1

【解析】每次变化时，开口方向变化但形状不变，则_:，故开口向上时a=l,开口向下时a=-l;与X轴的交点在

变化，可发现规律抛物线Cn与X轴交点的规律是(2n-2,0)和(2n,0),由两点式」=GL、,χ,,求得解析

式，把x=4035代入解析式，即可求得m的值.

【详解】由抛物线Ci：y=-x(x-2),

令y=0,.*.-x(x-2)=0,解得_Qt_2

二与X轴的交点为O(0,0),A(2,0).

抛物线C2的开口向上，且与X轴的交点为二A(2,0)和Al(4,0),

则抛物线C2：y=(x-2)(x-4)；

抛物线C3的开口向下，且与X轴的交点为...Ai(4,0)和A2(6,()),

则抛物线C3：y=-(x-4)(x-6)；

抛物线C4的开口向上，且与X轴的交点为.∙.A2(6,0)和A3(8,0),

则抛物线y=(x-6)(x-8)；

同理：

抛物线C2018的开口向上，且与X轴的交点为.∙.A2O16(4034,0)和A2OW(4036,0),

则抛物线C2oι8:y=(x-4034)(x-4036)；

当x=4035时，y=1×(-1)-1.

故答案为：」.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，解题的关键是求出第2018段抛物线的解析式.

1,

16、y---(x-6)+4

【分析】以A为坐标原点建立坐标系，求出其它两点的坐标，用待定系数法求解析式即可.

【详解】解：以A为原点建立坐标系，则A(O,0),B(12,0),C(6,4)

设y=a(x-h)2+k,

∙.∙c为顶点，

.∖y=a(x-6)2+4,

把A(O,0)代入上式，

36a+4=0,

解得：a=-",

9

∙'∙y=-^(χ-6)2+4；

故答案为：y=--(x-6)2+4.

【点睛】

本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，恰当的选取坐标原点，求出各点的坐标是解决问题的关键.

17、20

【详解】根据题意B的纵坐标为-4,把y=-4代入y=-5χ2,

得x=±10,

ΛA(-10,-4),B(10,-4),

ΛAB=20m.即水面宽度AB为20m.

18、27万

【分析】先求出底面圆的周长，然后根据扇形的面积公式：S=!"即可求出该圆锥的侧面积.

2

【详解】解：底面圆的周长为2x3»=6»C加，即圆锥的侧面展开后的弧长为6万s,

T母线长为9cm,

.∙.圆锥的侧面展开后的半径为9cm,

.∙.圆锥的侧面积S=！X6万X9=27)cm2

2

故答案为：27万

【点睛】

此题考查的是求圆锥的侧面积，掌握扇形的面积公式：S='∕r是解决此题的关键.

2

三、解答题(共66分)

36[x=3[x=12

19、(1)j=­；(2)〈C或4C；(3)1.

XIy=I2[y=3

【分析】(1)如图，作OF∙L8N交BC于F,根据切线长定理得5尸=A。=x,CE=CB=y,则OC=OE+CE=x+y,

在RtOnC中根据勾股定理，就可以求出y与X之间的关系式.

(2)由(1)求得Xy=36,由根与系数的关系求得”的值，通过解一元二次方程即可求得X,y的值.

(3)如图，连接OZ),OE,OG由AM和3N是。。的切线,OC切。。于点E,得到。ELCO,AD=DE9BC=CE9

推出S^AOD=SdODE,SAOBC=SACoE,即可得出答案.

【详解】(1)如图，作BN交BC于匕

••,AM、BN与。。切于点定A、B9

：.ABLAM9ABLBN.

又YDFLBN,

：.ZBAD=NABC=NBED=90。，

，四边形AHbD是矩形，

：.BF=AD=X9DF=AB=12,

VBC=yf

：.FC=BC-BF=y-xi

YOE切G)O于E,

：•DE=DA=XCE=CB=y9

贝UDC=DE+CE=x+y9

在Rt△£)FC中，

由勾股定理得：(x+j)2=(J-X)2+122,

整理为：J=—,

X

.∙.y与X的函数关系式是y=型.

X

(2)由(1)知孙=36,

X,y是方程2x2-30x+α=0的两个根，

.∙.根据韦达定理知，孙=∙∣,即α=72;

，原方程为X2-15x+36=0,

%=3X=12

解得或V

y=12y=3

(3)如图，连接0。，OE,OC,

,.,AD,BC,B是。。的切线，

LOELCD,AD=DE,BC=CE,

:∙SAAOD=SAODE,

SAoBC=SACOE,

【点睛】

本题考查了圆切线的综合问题，掌握切线长定理、勾股定理、一元二次方程的解法是解题的关键.

20、(1)①OALEF；②NFAC=NB；(2)见解析；(3)见解析.

【分析】(1)添加条件是:①OALEF或NFAC=NB根据切线的判定和圆周角定理推出即可.

⑵作直径AM,连接CM,推出NM=NB=NEAC,求出NFAC+NCAM=90°,根据切线的判定推出即可.

⑶由同圆的半径相等得到OA=OB,所以点O在AB的垂直平分线上，根据NFAC=NB,Z

BAC=ZFAC,等量代换得到NBAC=NB,所以点C在AB的垂直平分线上，得到OC垂直平分AB.

【详解】(1)①OALEF②NFAC=NB,

理由是：①∙.∙OALEF,OA是半径，

.∙.EF是。O切线，

②YAB是。O直径，

ΛZC=90o,

ΛZB+ZBAC=90o,

VZFAC=ZB,

：.ZBAC+ZFAC=90o,

ΛOA±EF,

•；OA是半径，

.∙.EF是。O切线，

故答案为：OA_LEF或NFAC=NB,

(2)作直径AM,连接CM,

即NB=NM(在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等),

VZFAC=ZB,

二NFAC=NM,

VAM是。O的直径，

二NACM=90。，

ΛZCAM+ZM=90o,

ΛZFAC+ZCAM=90o,

二EFJLAM,

：OA是半径，

二EF是。O的切线.

(3)VOA=OB,

.∙.点O在AB的垂直平分线上，

VZFAC=ZB,ZBAC=ZFAC,

ΛZBAC=ZB,

.∙.点C在AB的垂直平分线上，

.∙.OC垂直平分AB,

ΛOC±AB.

【点睛】

本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点，注意:经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆

的切线，直径所对的圆周角是直角.

21、(1)一次函数表达式为y=-χ-l;反比例函数表达式为y=——；(2)点P的坐标是(一3,())或(1,0)；(3)

X

-3VXVO或x>0

【分析】(1)将A坐标代入双曲线解析式中求出m的值，确定出双曲线的解析式，再将A与B坐标代入一次函数解析

式中求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；

(2)求得直线与X轴的交点是(-1,0),设点P的坐标是(a,0),则AWP的底为∣a+l∣,利用三角形面积公式即

可求得点P的坐标；

(3)根据一次函数与反比例函数的两交点A与B的横坐标以及0,将X轴分为四个范围，找出反比例图象在一次函数图

象上方时X的范围即可.

【详解】(1)∙.∙双曲线y=-(m≠0)过点A(—3,2),

X

二反比例函数表达式为y=-9.

X

∙.∙点B(n,—3)在反比例函数y=—9的图象上,

X

—3)在直线y=kx+b上,

-3k+b=2k=—l

c,,C解得

2k+b=-3b=-∖

.∙.一次函数表达式为y=-χ-l;

(2)如解图，在X轴上任取一点P,连接AP,BP,由(1)知点B的坐标是(2,-3).

在y=-x—1中令y=0,解得x=—l,则直线与X轴的交点是(-1,0).

设点P的坐标是(a,0).

V∆ABP的面积是5,

：.ɪ∙∣a+l∣∙(2+3)=5,

2

则∣a+lI=2,

解得a=-3或L

则点P的坐标是(一3,0)或(1,0).

(3)根据图象得：-3<x<0或x>0

【点睛】

此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用了待定系数法及数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题

的关键.

22、xι=1.5,Xi--2.

【分析】利用因式分解法进行解方程即可.

【详解】解：因式分解得：(2x-3)(x+2)=0,

可得2工一3=0或工+2=0,

解得：xl=1.5,x2=-2

【点睛】

本题主要考察因式分解法解方程，熟练运用因式分解是关键.

23、⑴见解析；（2）；.

【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果;

⑵找出点（x,y）在函数y=χ+l的图象上的情况，利用概率公式即可求得答案.

【详解】（1）画树状图得：

共有12种等可能的结果

（1,2）、（1,3）、（1,4）、（2,1）、（2,3）、（2,4）、（3,1）、（3,2）、（3,4）、（4,1）、（4,2）、（4,3）；

（2）在所有12种等可能结果中，在函数y=χ+l的图象上的有（1,2）、