中考数学二轮提升真题练习 格点图问题（解析版）

专题10格点图问题

【题型一：格点中的作图问题】

【例1】（2021•宁波）如图是由边长为1的小正方形构成的6×4的网格，点A,B均在格

点上.

aaasssaasaasaaa

y••••••••(•V∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙v∙∙∙∙∣∙∙V**********:************^∙**∙∙∙∙∙∙*∙^∙∙*∙∙∙∙M*∙«∙*∙∙∙∙∙**∙^*∙∙M∙∙∙*∙^∙∙∙∙∙∙∙<∙a*∙***M∙l

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∖A∖I∖∖\IAlI≡I∖B

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图1图2

（I）在图1中画出以AB为边且周长为无理数的DABCD,且点C和点D均在格点上（画

出—个即可）.

（2）在图2中画出以AB为对角线的正方形AEBF,且点E和点F均在格点上.

【答案】（1）解：如图四边形ABCD即为所作，答案不唯一.

（2）解：如图，四边形AEBF即为所求作的正方形.

【解析】（1）根据两边对边相等的四边形是平行四边形作图，注意根据勾股定理，结合无理

数的定义作出AD和BC；

（2）以AB为斜边分别作等腰直角I3AFB和等腰宜角EIAEB,即可得出正方形AEBF.

【例2】（2021温州）如图4X4与6X6的方格都是由边长为1的小正方形组成.图1是绘成

的七巧板图案，它由7个图形组成，请按以下要求选择其中一个并在图2、图3中画出相应

的格点图形（顶点均在格点上）.

工

Z

SZ

ZKZ

ZΣZ

图1图2图3

(1)选一个四边形画在图2中，使点P为它的一个顶点，并画出将它向右平移3个单位后

所得的图形.

(2)选一个合适的三角形，将它的各边长扩大到原来的石倍，画在图3中.

【答案】(1)解：画法不唯一，当选四边形为正方形时可以是如图1或图2；当四边形式平

行四边形时可以是图3或图4.

(2)解：画法不唯一，

当直角边长为或时，扩大遍即直角边长为同利用勾股定理画出直角边长为√IU直角三角形

可以是如图5或图6

当直角边长为2加时，扩大√5即直角边长为2√TU利用勾股定理画出直角边长为2√TΠ直角

三角形可以是如图7或图8等.

【解析】(1)任选一个四边形，根据平移的性质分别得出对应点位置，然后将各点顺次连接

起来即可；

(2)先任选一个三角形，然后根据各边长扩大到原来的石倍，得出每边的边长，最后利

用勾股定理在方格图中画出边长扩大后的三角形即可.

【练11如图①,②,③都是3×3的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点∙A,B,C均为格点.

BB

①③

按下列要求画图:

⑴在图①中,画一条不与AB重合的线段MM使MN与AB关于某条直线对称,且M1N为格点

⑵在图②中,画一条不与AC重合的线段PQ,使PQ与AC关于某条直线对称,且P,Q为格点.

⑶在图③也画一个使AOEF与AABC关于某条直线对称,且D,E,F为格点.

【答案】（1）如图①,MN即为所求（答案不唯一）.

（M

①

（2）如图②,PQ即为所求（答案不唯一）.

（尸）

Q

②

（3）如图③,ADEF即为所求（答案不唯一）.

【练2］如图,在所给的方格纸中,每个小正方形的边长都是1,点A,8,C位于格点处,请按要求

画出格点四边形.

⑴在图①中画出格点P,使AC=CP,且以点4,8,C,P为顶点的四边形面积为3;

⑵在图②中画出一个以点A,B,C,P为顶点的格点四边形,使AP2+CP2=15.

,瘾①中…求僭….②

P

【练3】如图，由5个大小完全相同的小正方形摆成如图形状，现移动其中的一个小正方形,

请在图（1）,图（2）,图（3）中分别画出满足以下各要求的图形.（用阴影表示）

(1)使得图形既是轴对称图形，又是中心对称图形.

图⑴图（2）图（3）

图⑴图（2）

【题型二：格点中的计算问题】

【例】如图,在5×5的正方形网格中,每个小正方形的边长为1,点A,B,C都在格点上,则CosZ

BAC的值为.

A

【答案】Y

【解析】如图,找出格点D,E,连接CO,AD,易知AACD是直角三角形,AGE三点共线,连结BE,

A

由勾股定理可知:A82=l+9=10∕E2=ι+ι=2,8E2=4+4=8,

222

.∖AB^AE+BEI

.•.△A8E是直角三角形，

.∕._AEV2V5

•.COSZBdzAC=—=-7==一,

AB√105'

故答案为，.

【练1】如图,将正三角形ABC分割成m个边长为1的小正三角形和1个黑色菱形,这个黑色

菱形可分割成n个边长为1的小正三角形.若%=9则正三角形ABC的边长是.

n25------------------

A

【答案】12

【解析】设正三角形ABC的边长为X,则高为净,

.1√3√3

•∙SrΛABC=-×-×=-γ×2,

•・・所分成的都是边长为1的正三角形，

.∙.结合图形可得黑色菱形的较长的对角线长为小心较短的对角线长为(*H)S=∣x-l,

.∙.黑色菱形的面积=UFX-K)(I-I)=*-2产,

.m_fx衅(*2『_47

•7=]x"=五'

整理得llχ2口44x+144=0,解得Xι*(不符合题意,舍去)次12,

所以,Z∖A8C的边长是12.

【练2】如图,在AABC中,A8,8C,AC三边的长分别为企,旧,旧,求这个三角形的面积.

小辉同学在解答这道题时,先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画

出格点aABC(即AABC的三个顶点都在小正方形的顶点处),如图W5-9①所示.这样不需求△

ABC的高,而借用网格就能计算出它的面积.

⑴请你将44BC的面积直接填写在横线上:.

(2)我们把上述求△A8C面积的方法叫做构图法.若△ABC三边的长分别为

2√^α,√TUα,√^α(α>0),请利用图②的正方形网格(每个小正方形的边长为α)画出相应的△

A8C,并求出它的面积.

⑶若AABC三边的长分别为请运用构图

法在图③指定区域内画出示意图,并求出42BC的面积.

P■.定■—广一■「―・L--L.■]

③

【答案】⑴2.5

（2）图见解析，S=4σ2

（3）图见解析，S=3mn

【解析】（1）5"BC=2X岭IXlTX3x2∙∣χlx4=2.5,

∙.,Λβ=2√2α,βC=√10α,4C=√26α,

∙'∙S∆Λ8c=2a×5σ-∣×2a×2σ-∣×3G×G-∣×a×5a=4G2.

222222

AB=y∕m÷4n,AC=y∕m÷16nz8C=2√τn+n,

/∙S∕∖ABc=2m×4∩-^2m×2n-→<.m×Λn--×m×2n=3mn.

【练3】如图,在5×5的正方形方格纸中,每个小正方形的边长为单位L点AB,C,P都在格点处.

⑴请在图中作ABCD,使ABCD是以CD为底的等腰三角形,且点D为格点.

⑵在（1）的条件下,连结AD,则四边形ABCD的面积为,再连结AC,则tanN

ACD=.

（3）请仅使用无刻度直尺在线段BC上作一点Q,使点Q满足NPQB

=45。.（温馨提示:点Q可以是非格点哦!）

【答案】（1）图见解析

⑵10,-

3

（3）图见解析

【解析】（1）

四边形ABCD的面积=正方形ABMN的面枳-三角形BMC的面积-三角形DNC的面积

=4×4-i×2×4-i×2×2=16-4-2=10

22

由图可得，AC=BC

(3)

A

【题型三：格点中的计数问题】

【例】如图,A,8是4×5网格中的格点,网格中的每个小正方形的边长是1,图中使以A,8,C为顶

点的三角形是等腰三角形的格点C有几个？

是4x5网格中的格点，

.M8=√22+32=√