北京市海淀区2022-2023学年高一年级上册期末数学试题（含解析）

海淀区高一年级练习

数学

2023.01

学校班级姓名

1.本试卷共6页，共三道大题，19道小题.满分100分.考试时间90分钟.

考

2.在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名.

生

须3.答案一律填涂或书写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答.

知

4.考试结束，请将本试卷交回.

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1已知集合A={引x>0},8={x[—1<x<2},若AB=()

A.{x\x<2}B.{x[0<x<2}

C.{x|l<x<2}D.{x|-l<%<2}

【答案】B

【解析】

【分析】利用交集的定义运算即得.

【详解】因为A={x\x>0],B={x\-l<x<2},

则AB={x|0<%<2}.

故选：B.

2.下列函数中，是奇函数且在区间(0,+")上单调递增的是()

A.B./(%)=%

C./(x)=-D.f(x)=x3

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数奇偶性的定义，结合募函数的图象与性质，逐项分析即得.

【详解】对于A,函数/(耳=尤5的定义域为［0,+8)不关于原点对称，所以函数/(%)为非奇非偶函数，

不符合题意；

对于B,函数=f定义域为R,X/(-x)=(-x)2=%2=/(%),所以函数/(%)为偶函数，不符合

题意；

对于c,函数/■(力=工在(。,+“)为单调递减函数，不符合题意；

X

对于D,函数/(九)=兀3,if(-X)=(-X)3=-x3=-f(x),所以函数/(%)为奇函数，

根据基函数的性质，可得函数/(%)=九3在区间(0,+8)上为单调递增函数，符合题意.

故选：D.

3.某学校想了解高一学生社会实践项目的选择意向，采用分层抽样的方式抽取100人进行问卷调查.已知高

一年级有270名男生，从男生中抽取了60名，则该校高一年级共有学生()

A.445人B.450人C.520人D.540人

【答案】B

【解析】

【分析】由题可得啰=幽，进而即得.

n270

【详解】设该校高一年级共有学生〃人，

皿一八10060

由题可知——=——，

n270

解得n=450(人).

故选：B.

4.下列结论正确的是()

A.若a>b,c<。，则a+c<)+c

B.若则a<6

C.若a>b,贝1］分>灰?2

D.若储〉62,则。>方

【答案】B

【解析】

【分析】根据不等式的性质确定正确答案.

【详解】A选项，若a>b,c<。，则a+c>Z?+c,所以A选项错误.

B选项，若C<JF，两边平方得。<A，所以B选项正确.

C选项，若a>"c=。，则4°2=人,2,所以c选项错误.

D选项，若/>〃，如“=—1]=。，则所以D选项错误.

故选：B

5.某班分成了A、B、C、D四个学习小组学习二十大报告,现从中随机抽取两个小组在班会课上进行学习成果

展示，则A组和2组恰有一个组被抽到的概率为()

1125

A.-B.-C.-D.一

3236

【答案】C

【解析】

【分析】利用列举法结合古典概型概率公式即得.

【详解】从A、B、C、D四个学习小组中随机抽取两个小组有AB,AC,AD,BC,BD,CD共6种结果，

其中A组和B组恰有一个组被抽到的结果有AC,AD,BC,BD共4种结果，

42

所以A组和8组恰有一个组被抽到的概率为一=

63

故选：C.

6.已知。=4°//=2a6,c=log40.6,则a,4c的大小关系为()

A.c<a<bB.c<b<a

Ca<b<cD.b<a<c

【答案】A

【解析】

【分析】化简a,通过讨论函数=2,和g(x)=log/的单调性和取值范围即可得出a,4c的大小关系

【详解】解：由题意，

a=4°」=2°2,

在"X)=2,中，函数单调递增,且〃力>0,

•••0<。=2。2<b=2。6,

在g(x)=log4X中，函数单调递增，且当0<x<l时，g(x)<0,

1.c=log40.6<0,

c<a<b，

故选：A.

7.甲、乙两名学生，六次数学测验成绩（百分制）如图所示:

甲茎乙

16

277

98257

530923

①甲同学成绩的中位数和极差都比乙同学大;

②甲同学的平均分比乙同学高；

③甲同学成绩比乙同学稳定；

④甲同学成绩的方差大于乙同学成绩的方差.

上面说法正确的是（）

A①③B.①④C.②④D.②③

【答案】B

【解析】

【分析】计算中位数，平均数，极差，估计方差，进而即得.

89+90

【详解】根据茎叶图数据知，甲同学成绩的中位数是------=89.5,极差为34,

2

QCI

乙同学成绩的中位数是三^=86,极差为16,

2

所以甲同学成绩的中位数和极差都比乙同学大，故①正确;

„61+72+89+90+93+95500_

甲同学的平均分是海=------------------------=——-83.3,乙同学的平均分是

66

—77+82+85+87+92+93516“

X,=------------------------------------=------=86,

所以乙同学的平均分高，故②错误;

由茎叶图可知乙同学成绩数据比较集中，方差小，甲同学成绩数据比较分散，方差大，故③错误，④正确.

所以说法正确的是①④.

故选：B.

8.已知〃x）=logj,则不等式—的解集为（）

43

B.1-co,：U1,+co

*31,+S)

D.

【答案】D

【解析】

4

【分析】化简不等式;'(x)N-1),结合解方程组以及函数的图象确定正确答案.

【详解】/(X)的定义域是(0,+"),AB选项错误.

44

f(x)=log1x=-log4x>--(x-l),log4x<-(x-l)@,

4DD

y=logx1

4%=1

由<4/八解得＜4或v

%=0

J=一1

画出y=log4x,y—的图象如下图所示,

由图可知，不等式①的解集为［o,；。［1,+力).

9.函数/(%)在区间［1,2］上的图像是连续不断的，贝I“/⑴/(2)20”是，函数外力在区间(1,2)上没有零

点”的()

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】由零点存在性定理，及充分必要条件的判定即可得解.

【详解】因为函数/(%)在区间[1,2]上图像是连续不断的，

由零点存在性定理，可知由/⑴"2)<0可得函数/(九)在区间(1,2)上有零点，

即由函数/(九)在区间(1,2)上没有零点，可得/⑴/(2)2,

而由/。)/(2)»0推不出函数/(%)在区间(1,2)上没有零点，如/(x)=(x—号，/(1)/(2)>0,函

数“X)在区间(1,2)上有零点5，

所以“/⑴/⑵20"是“函数/(%)在区间(1,2)上没有零点”的必要不充分条件.

故选：B.

10.已知/(九)=*一2尤若对于,均有/(七+1”/(9)成立，则实数用的取值范围

是()

A.(^»,0]B.C.[,+]D,[1，H

【答案】C

【解析】

【分析】将/(%+1)»/(%)成立转化成/(X+1)皿之/■(X).恒成立的问题，构造函数=/(X+1)，

然后分类讨论，即可求出加的取值范围.

【详解】解：由题意

在/(%)=%2—2%中,对称轴x=----=1

2x1

函数在(-8,1)上单调减，在(1,内)上单调增

/(X+1)=(X+1)2-2(X+1)=X2-1,

・.,对于V%,马+均有/(七+1)之/(々)成立

即对于+均有/(X+l)min=(f_l%»/a)3x=(%2")max怛成

在/z(x)=/(x+l)=x2-l中，对称轴x=-——=0,

函数在(-8,0)上单调减，在(0,+。)上单调增

当772+1<0即mW—1时,

函数/z(x)在［加，加+1］上单调减

函数/(%)在［狐加+1］上单调减

'(Hmin=(加+1)2一1=加2+2加

f(x)=m2—2m

J\/max

“m2+2m>m2-2m

m<-1

解得m=0

m+1>0

当《，即一IvmvO时，

m<0

函数/z(x)在［m,O)上单调减，在(0,m+1］上单调增

函数/(%)在［m,加+1］上单调减

h(x\.=02—1=—1

X/min

f(x}=m2—2m

J\/max

"2

-\>m-2m

-1<m<0

解得加=0

m>Qr「r

当〈，即根=0时，r［m,m+ll=［0,11

m+l<lL」L」

函数/z(x)在［0』上单调增

函数/(九)在［0』上单调减

h(x).=02—1=—1

V/min

(ON-。=0

h(x］.=-1<f(x)=0

故不符题意，舍去.

m+m+1,

--------<11

当{2即0<相〈一时

m>0

函数人⑴在［仅加+1］上单调增，无⑺神=病一1

函数/(%)在［加,1)上单调减，在(L根+1］上单调增，/(x)^=/(m)=m2-2m

，m2—\>m2—2m

，\1

0<m<—

解得m=0

m<1一

函数/z(x)在［加，冽+1］上单调增，九(x)1nhi=病-1

函数/(X)在［冽,1)上单调减，在(1,m+1］上单调增，了(%)皿、=/(切+1)=加2—1

此时，h(x).=m2-l=f(x］

\/rmn〃X/max

・・・一符合题意

2

当加2/时,

函数/i(x)在［私加+1］上单调增

函数/(%)在［加，冽+1］上单调增

h(x\.=m2—

\/rmn1

/(九)1mx=/(m+1)=('"+1)2—2(m+1)=相—21

此时

根2/符合题意

综上，实数加的取值范围是

故选：C.

【点睛】本题考查恒成立问题，二次函数不同区间的单调性，以及分类讨论的思想，具有很强的综合性.

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.

11.函数/(x)=ln。—力的定义域是.

【答案】{x|x<l}

【解析】

【分析】直接令真数大于0可得定义域.

【详解】函数/(x)=ln(l—x),由i-x>0,得尤<1,

所以定义域为{x|x<l}.

故答案为：{X|x<l}.

【点睛】本题主要考查了对数型函数的定义域，属于基础题.

12.30+£=，lg6-lg^+lne2=.

【答案】①.5②.3

【解析】

【分析】根据指数募的运算法则和对数的运算法则即得.

22

【详解】3。+8§=1+03尸=1+4=5，

Ig6—lg1||+lne2=lg6+lg[g]+2=lg[6x；1+2=3.

故答案为：5；3.

11

13.己知百,马是关于*的方程％2-如+m2-6=0的两个实根，且一+一=-1,则

【答案】2

【解析】

【分析】根据根与系数的关系结合条件即得.

【详解】因为占,多是关于X的方程f一如+m2一6=0的两个实根,

%1+x2=m]]

2

则x,x2=m-6,又—।---=-1,

x1x2

A=m2-4（m2-6）＞0

XXm

l+2_=T,

2

xxx2m-6

解得=-3或加=2,

经判别式检验知加=2.

故答案为：2.

14.己知,当。=2时，〃尤）的单调减区间为；若〃尤）存在最小值，

则实数〃的取值范围是.

【答案】（0,1）②.[2,+8）

【解析】

an

【分析】空一：分开求解单调性；空二：分一W0和一〉0两种情况讨论.

22

“、2Tx<0

【详解】当a=2时，=\,

''[X2-2X,X>0

当x<0时函数/（%）=2,—1单调递增，

当时函数/（X）=X2-2X=（X-1）2-1,所以函数/（九）在（0』）上单调递减，在（1,内）单调递增,

所以函数八%）的单调减区间为（0,1）

2x-l,x<0

、2x-l,x<0

因为函数/(x)=19八

x-ax,x>0--,x>Q

4

曰40=。<0并且/（0）=0,所以函数/（九）在R上单调递增，没有最小值;

2

|>0=。>0,要想函数/（九）有最小值则满足—彳<—1即

故答案为：（0,1）,[2,+8）

15.请阅读以下材料，并回答后面的问题：

材料1：人体成分主要由骨骼、肌肉、脂肪等组织及内脏组成，肌肉是最大的组织，且肌肉的密度相比脂肪而

言要大很多.肌肉和脂肪在体重中占比个体差异较大，脂肪占体重的百分比（称为体脂率，记为F%）经常

作为反映肥胖程度的一个重要指标，但是不易于测量.

材料2：体重指数BMI（BodyMassIndex的缩写）计算公式为：体重指数BMI=b（6为体重，单位：千克；

为身高，单位：米），是衡量人体整体胖瘦程度的一个简单易得的重要指标.1997年，世界卫生组织经过大

范围的调查研究后公布：BMI值在18.5〜24.9为正常；BMI225为超重；BMI230为肥胖.由于亚洲人

与欧美人的体质有较大差异，国际肥胖特别工作组经调查研究后，于2000年提出了亚洲成年人BMI值在

18.5-22.9为正常.中国肥胖问题工作组基于中国人体质特征，于2003年提出中国成年人BMI值在

18.5〜23.9为正常；BMI224为超重；BMI228为肥胖.30岁的小智在今年的体检报告中，发现体质指

数BMI值为24.8,依照标准属于超重.因为小智平时还是很注意体育锻炼的，正常作息，且每周去健身房有

大约2小时的健身运动，周末还经常会和朋友去打篮球，所以小智对自己超重感觉很困惑.

请你结合上述材料，从数学模型的视角，帮小智做一下分析（包括：是否需要担心？为什么？）：.

【答案】答案见解析

【解析】

【分析】根据材料结合条件分析即得.

【详解】因为小智平时注意锻炼，肌肉占比相对高，意味着身体密度大，相同体型和身高情况下，BMI值

与密度成正比（或者说，体重更大），

所以他的BMI值就会偏高，如果小智体型基本正常（或者说身高远高于中国人平均值），就不必担心.

故答案为：如果小智体型基本正常（或者说身高远高于中国人平均值），他的BMI值就会偏高，就不必担心，

因为小智平时注意锻炼，肌肉占比相对高，意味着身体密度大，相同体型和身高情况下，BMI值与密度成

正比（或者说，体重更大）.

三、解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.已知集合A={x||x-l|<2},3={x[m<x<2m+3}

（1）求集合A中的所有整数；

（2）若（aA）lB=0,求实数加的取值范围.

【答案】（1）0,1,2

（2）（―oo,—3

【解析】

【分析】（1）解绝对值不等式求得集合A,从而确定正确答案.

（2）对集合8是否为空集进行分类讨论，结合（\A）I5=0求得加的取值范围.

【小问1详解】

|x-1|<2,—2<x—1<2,—1<x<3,所以A={%|—1<x<31,

所以集合A中的所有整数为0,1,2.

【小问2详解】

由（1）得：A={x|-1<%<3},所以aA={x[x<-1或x>3}

①j?=0时，即加之2根+3,

所以mW—3,符合（4人）门5=0；

②JBW0时，即m<2加+3,

所以加>-3,

由于（年A）cB=0,

m>-l

所以《

2m+3<3

所以一1Wm<0.

综上，实数〃2的取值范围是（―8,—3]u[—1,0].

17.高考英语考试分为两部分，一部分为听说考试，满分50分，一部分为英语笔试，满分100分.英语听说

考试共进行两次，若两次都参加，则取两次考试的最高成绩作为听说考试的最终得分，如果第一次考试取

得满分，就不再参加第二次考试.为备考英语听说考试，李明每周都进行英语听说模拟考试训练，下表是他

在第一次听说考试前的20次英语听说模拟考试成绩.

假设：①模拟考试和高考难度相当；②高考的两次听说考试难度相当；③若李明在第一次考试未取得满分

后能持续保持听说训练，到第二次考试时，听说考试取得满分的概率可以达到

46504748495050474847

48495049505048504950

（1）设事件A为“李明第一次英语听说考试取得满分”，用频率估计事件A的概率；

（2）基于题干中假设，估计李明英语高考听说成绩为满分的概率的最大值.

【答案】（1）y;

⑵—.

10

【解析】

【分析】（1）根据古典概型公式计算，即可求解；（2）计算出李明第二次英语听说考试取得满分的概率,

然后根据题意，由独立事件的乘法公式计算李明英语高考听说成绩为满分的概率的最大值.

小问1详解】

依题意，李明在20次英语听说模拟考试中有8次取得满分，

Q2

取得满分的频率为一=—,

205

所以用频率估计事件A的概率为P（A）=|.

【小问2详解】

设事件B为“李明第二次英语听说考试取得满分”，

事件C为“李明高考英语听说考试取得满分”.

依题意，

所以如果李明在第一次未取得满分时，坚持训练参加第二次考试，

7

那么他英语高考听说考试最终成绩为满分的概率的最大值可以达到一.

10

x--x

18.已知〃>0且QW1,函数~乙n+n人在R上是单调减函数，且满足下列三个条件中的两个.

ax+a~x

33

①函数/（九）为奇函数；②/⑴=—/③/（T）=—；

（1）从中选择的两个条件的序号为,依所选择的条件求得6=—,a=—；

2

（2）利用单调性定义证明函数g:/在（o,+”）上单调递减；

（3）在（1）的情况下，若方程/（x）=m+4、在［0,1］上有且只有一个实根，求实数冽的取值范围.

【答案】（1）①②；0；1

-23'

（2）证明见解析（3）-y,-l

【解析】

【分析】（1）通过分析可知一定满足①②，从而列出方程组，求出A=0,a=-

2；

（2）定义法判断函数的单调性步骤：取值，作差，变形，判号；

o2

闭参变分离得到根=不石-（4工+1）,工目0,1］,换元后转化为m=77在［2,5］上有唯一解，结合（2）

中函数单调性，求出=f的值域，从而得到加的取值范围.

【小问1详解】

xx

n-n-

因为函数/(X)=；+T+'在R上是单调减函数，

33

故②/(1)=—w;③/(—1)=—M不会同时成立，两者选一个,

故函数一定满足①函数/(X)为奇函数,

由于函数定义域为R,所以有/(。)=0,则/。)＜0,/(-1)＞0,

故一定满足②,

^^十人0,

选择①②;/(-%)+/(%)=_x+b+

ax+axax+a~x

〃i)=也+T，

解得：b=0,a=—

2

【小问2详解】

任取%,%e(O,+8),且凡＜々，

/2、(2、(2、

X

则g(%)一g(石)=~~2----x\+1,

7Ui)7

2

由于0＜再＜%2，所以玉一九2＜°，---+1＞。，

玉九2

所以g(苍)_g(%)<0，即g(x2)<g(%)，

9

所以函数g”)=：—/在(0,+“)上单调递减.

【小问3详解】

1-4"

由⑴可得/(%)=

1+4”

i-4x1-41

所以方程为」匚=加+4工，即加=-4X=——-⑷+1),

1+4"1+4X41+11)

令/=4*+1,由于xe[0,l],所以/e[2,5],

2

则问题转化为根=7T在［2,5］上有唯一解.

2

由(2)知，函数8«)=7-/在［2,5］上单调递减，

2232

所以g«)min=g⑸=W_5=—《,g«)max=g⑵=万一2=,

'23-

所以，实数〃2的取值范围是一歹，一1.

19.设函数y=/(x)的定义域为V,且区间/0/,对任意占,々e/且石＜々，记、=%-占，

与=/(*2)-/(尤1)•若Ay+'＞。,则称/(%)在/上具有性质A；若Ay—Ar＞。，则称/(%)在/上

具有性质8；若Ay-Ax＞0,则称/(%)在/上具有性质C；若?〉0,则称“力在/上具有性质。.

(1)记：①充分而不必要条件；

②必要而不充分条件；

③充要条件；

④既不充分也不必要条件

则“X)在/上具有性质A是“X)在/上单调递增的(填正确选项的序号)；

/(%)在/上具有性质B是f(x)在I上单调递增的(填正确选项的序号)；

/(X)在/上具有性质C是/(X)在/上单调递增的(填正确选项的序号)；

(2)若/(%)=加+1在［1,+8)满足性质8,求实数。的取值范围；

(3)若函数g(%)=百在区间［m,上恰满足性质A、性质B、性质C、性质。中的一个,直接写出实数m的

最小值.

【答案】(1)②；①；③

(2)-,+℃I

［2)

(3)1

【解析】

【分析】(1)结合函数的单调性、充分、必要条件的知识确定正确答案.

(2)根据性质3,利用分离常数法，结合不等式的性质求得。的取值范围.

(3)将问题转化为-1〈包＜0恒成立，对W的范围进行分类讨论，由此求得的最小值.

Ax

【小问1详解】

由于石<々，所以AX=A：2-XI>0.

对于性质A,当Ay+Ax>0时，无法判断Ay的符号，故无法判断单调性；

当/(%)在/上单调递增时，Ay>0=>Ay+Ar>0,

所