2023-2024学年吉林省长春市净月高新区九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

2023-2024学年吉林省长春市净月高新区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.若式子，7^1在实数范围内有意义，则X的取值范围是（）

A.%<1B.%>1C.x<1D.%>1

2.下列计算正确的是（）

A.+<3=B.2/3-/3=2C./2x/3=/6D.71^+3=2

3.如图，AD//BE//CF,直线4、,6与这三条平行线分别交于点A、B、C和ab

EF=9,则8c的长是（）------甲一

点、D、E、F,AB=8,DE=6,

B/\E

A.8

B.10

C.12

D.9

4.已知关于工的一元二次方程一一2%-b=0的一个解是％=-1,则方程的另一个解为（）

A.-2B.2C.-3D.3

5.如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为即高为7米.则扶梯A3的长为（）

A.7sina米

B.工米

sinaA

C.7tana米

D.4米

tana

6.如图，在RtAABC中，乙4CB=90。，乙4=30。，点。是A5边上一动点，连结C

CD,将△BCD沿CD折叠,当点8落在边B'点时，若AC=2jZ,则AB'的长是上，

()AB'D"B

A.2B.3C./5D.

7.如图，RtAABC^,a=90。，利用尺规在8C,上分别截取BE,BD,使C

BE=BD；分别以。，E为圆心、以大于2DE的长为半径作弧，两弧在NCB4内交

于点尸；作射线8尸交AC于点G.若4C=3,BC=4,AB=5,P为48上一动

点，则G尸的最小值为()

455

C

3-3-4-

8.如图，在平面直角坐标系中，点4、B都在反比例函数y=((%>0)的

%C

图象上，延长A8交y轴于点C,作8。轴于点D连接CD、AD,并

延长A。交y轴于点E.若4B=28C,ADCE的面积是4.5,则%的值为

()

A.2

C.6

D.9

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

9.计算：y/-3-y/-6=-

10.关于x的一元二次方程/+x+m=0有两个不相等实数根，则机的取值范围是.

11.在一个不透明的箱子里放有7个红球和3个黑球，它们除颜色外其余都相同.从这个箱子里随机摸出一

个球，摸出的球是红球的概率是

12.如图，在平面直角坐标中，AABC与△£>£•/是位似图形，且它们的顶

点都在格点上，则位似中心的坐标为.

13.如图，已知点。、E分别是A3、AC边上的点，且△ADESA/IBC,相似

比为1：3,AGLBC交DE于点、F,则ARAG=.

14.雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①），可以发现数学的研究对象一

一抛物线.在如图②所示的平面直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点。为伞骨04的交点.点C为

抛物线的顶点，点A、2在抛物线上，关于y轴对称,0C=1分米，点A到无轴的距离是0.6分米，

A、8两点之间的距离是4分米.分别延长40、2。交抛物线于点AE,则雨伞撑开时的最大直径跖的长

为分米.

图①图②

三、计算题：本大题共1小题，共6分。

15.解方程：x2+2x—1=0.

四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本小题6分）

计算：|，^—l|—2cos30。.

17.（本小题6分）

在一次试验中，每个电子元件E-------1

的状态有通电、断开两种可能，并且这两种状态的可能性相等.用列表或画树状图的方法，求图中A,B

之间电流能够通过的概率.

A------------1-------1-«-------1----------B

元件1元件2

18.（本小题7分）

2023年杭州亚运会吉祥物是由琮琮、莲莲、宸宸共同组成“江南忆”组合.三个吉祥物造型形象生动，深

受大家的喜爱.经统计，某商店7月份“江南忆”钥匙扣的销售量为256件，9月份的销售量为400件.求该

款钥匙扣7月份到9月份销售量的月平均增长率.

19.（本小题7分）

如图，在5X5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,△4BC的顶点均在格点上，请按下列要求计

算并用无刻度的直尺画出图形.（保留作图痕迹）

（1）如图1,在AABC中，tanB=______；

（2）如图2,在AC边上取一点，使得tak®=/

（3）如图3,在AC边上找一点E,使得S-BE：5AB£C-3.

WHffl

BBS

（图1）（图2）（图3）

20.（本小题7分）

如图，在平行四边形ABC。中，连接。2,点尸在BC边上，连接。尸并延长,交AB的延长线于点E,且

Z.EDB=ZX.

（1）求证：ABDFSRBCD；

（2）如果BC=7,BF=4,求BD的长.

21.(本小题8分)

在综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度.如图，塔A3前有一座高为3根的观景台DE,已知

ADCE=30。，点E、C、A在同一条水平直线上.某学习小组在观景台C处测得塔顶部8的仰角为45。，在

观景台。处测得塔顶部2的仰角为27。.求塔的高度.【参考数据：tan27o=0.5,门=1.7].

22.(本小题9分)

【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容.

猜想：如图，在A4BC中，点。、E分别是与AC的中点.

根据画出的图形，可以猜想：

DE//BC,S.DE=^BC.

对此，我们可以用演绎推理给出证明.

A

(1)【定理证明】请根据教材内容，结合图①，写出证明过程.

(2)【定理应用】如图②，已知矩形A8C。中，力。=6,CD=4,点P在8C上从8向C移动，R、E、F

分别是QC、AP、RP的中点，贝。EF=.

(3)【拓展提升】在平行四边形ABC。中，4B=14,点E是的中点，过点A作乙48c平分线的垂线，

垂足为点孔连结EF,若EF=3,则8C=

23.(本小题10分)

如图，在平行四边形ABCD中，M为BC中点，AB=6,BC=10,tanB=g.动点尸从点M出发，沿M-

B—4以每秒1个单位的速度向终点A运动.连结过点尸作PQ1PM,且PQ=2PM,连结QM,点A

和点。始终在直线3C的同侧.设运动的时间为/秒.(t>0)

(1)当点尸沿M-B-4运动时，求BP的长(用含t的代数式表示).

(2)当点。落在A8边上时，求才的值.

(3)连结A。，当A。与平行四边形ABC。的边平行时，直接写出r的值.

24.(本小题12分)

已知抛物线y=a/+bx+c(a、b、c是常数，aKO),自变量尤与函数值y的部分对应值如表:

…

X0123

・・・

y-2m-21

(1)根据以上信息，可知抛物线开口向,对称轴为直线.

(2)求抛物线的解析式和m的值.

(3)将抛物线丫=(1/+6:+0(>>0)的图象记为内，将G1绕点。旋转180。后的图象记为G2，G］、G2合起

来得到的图象记为G,完成以下问题：

①若直线y=k与函数G有且只有两个交点，直接写出左的取值范围.

②若对于函数G上的两点P（%i，yD、（2（%2，丫2），当七+犯之2时，总有yi<了2，直接写出/的

取值范围.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：式子在实数范围内有意义，贝卜-120,

解得：%>1.

故选：D.

直接利用二次根式的有意义，被开方数不小于0,进而得出答案.

此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式有意义的条件是解题关键.

2.【答案】C

【解析】解：与，I无法合并，则A不符合题意；

273-<3=<3,则2不符合题意；

V-2x—V2x3=则C符合题意；

厅+3=手=孚，则。不符合题意；

故选：C.

根据二次根式的运算法则将各式计算后进行判断即可.

本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.

3.【答案】C

【解析】解：■­-AD//BE//CF,

■■.AB：BC=DE：FE,

•••AB=8,DE=6,EF=9,

.­-8：BC=6：9,

BC=12.

故选：C.

由平行线分线段成比例定理得到AbBC=DE：FE,代入有关数据即可求出8C长.

本题考查平行线分线段成比例，关键是由平行线分线段成比例定理得到AB：BC=DE：FE.

4.【答案】D

【解析】解：设方程的另一个解为

根据题意得—1+1=2,

解得力=3.

故选：D.

设方程的另一个解为f,根据根与系数的关系得到-l+t=2,然后解一次方程即可.

本题考查了根与系数的关系：若修，%2是一元二次方程a/+bx+c=O(a^0)的两根方程的另一个解

b

时，+%=—x-

2a7a

5.【答案】B

【解析】解：设扶梯的长度为尤米,

根据题意,sina=%

解得"=W

所以扶梯的长度为高米.

故选：B.

设扶梯"的长度为x米，利用正弦的定义得到sina0然后求出x即可.

本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角：坡度是坡面的铅直高度/I和水平宽度/的比，又叫做坡比，它

是一个比值,把坡面与水平面的夹角a叫做坡角.

6.【答案】A

【解析】解:在Rt△48c中，N4CB=90°,AA=30°,AC=2<3>

AC

2/3=2，AB=2,BC=4,NB=90°一乙4=60°,

.­.BC=kF

由折叠得：BD=B'D,Z.CDB=/.CDB'=90",

•••乙BCD=90°一4B=30°,

1

.­.BD=加C=1,

BD=B'D=1,

AB'=AB-BD-B'D=2,

故选：A.

在RtAABC中，利用含30。角的直角三角形的性质可得BC=2,AB=4,ZB=60°,然后再利用折叠的性

质可得BD=B'D,^CDB=^CDB'=90°,从而可得/BCD=90。-NB=30。，再在RtABCD中，利用含

30。角的直角三角形的性质可得BD=1,从而可得BD=B'D=1,最后利用线段的和差关系进行计算即可

解答.

本题考查了翻折变化（折叠问题），含30。角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题

的关键.

7.【答案】B

【解析】解：如图，过点G作G”1AB于点”.

•••/.ACB=90°,AC=3,BC=4,AB=5,

由作图过程可知：BG平分NABC,GC1BC,GH1AB,

・•・GH=GC,

111

有

贝.

HX5X+X4%-X4X3

设G”=GC=x,J2-2-2-

4

.•・%=5

4

・•.GH=

・••尸为A5上一动点,

则GP的最小值为土

故选：B.

过点G作GH128于点儿证明GH=GC,利用面积法求出G8即可.

本题考查了作图-基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把

复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了角平分线的性质.

8.【答案】C

【解析】解：过点B作轴点G,轴于点X,

设点B（7n,几），k=mn,

则BG〃4F/,则

Ijlll毁_CG_BC即7n_1

即=3m,

则/c=mn=3m•yA,则为=

则点4（3小湛①，则点。（私0）,

由点A、8的坐标得，直线A8的表达式为：y=—筹-m）+?1,

则点C（0,专），

由点A、。的坐标得，直线A8的表达式为：y=^x-l，

o?no

则点E（0,—》，贝i]CE=|n,

DCE的面积=-CE-xD=-x-nxm=4.5,

贝Urrm=6=fc,

故选：C.

过点8作BGly轴点G,轴于点反，证明△CGBSAC/M,得到先=1即4H=3m，求出点

AnD

X（3m,n）,则C（0,专），点石（0,-勺，利用由△DCE的面积即可求解.

本题为反比例函数综合题，考查了三角形相似、用字母表示坐标等基本数学知识，利用了数形结合的数学

思想.

9.【答案]3AA2

【解析】解：/3x<6

=V3x6

=3y/~2.

故答案为：3，"^.

直接利用二次根式乘法运算法则求出答案.

此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键.

10.【答案】m<7

4

【解析】解：•••方程有两个不相等的实数根，

21=I2—4m>0,

解得，mV；.

故答案为：m<i

根据一元二次方程根的判别式知识求解，方程有两个不相等实根，/>。即可求解.

本题考查一元二次方程根的判别式知识.由根的判别式构建关于参数的不等式是解题的关键.

11.【答案】1

【解析】解：从这个箱子里随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是£=磊，

故答案为：看.

直接由概率公式求解即可.

本题考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比.熟记概率公式是解题的关键.

12.【答案】(2,2)

【解析】解：如图所示：位似中心点尸的坐标为(2,2).

故答案为:(2,2).

直接利用位似图形的性质：对应点的连线都经过同一点，连接对应点,

进而得出位似中心的位置.

此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键.

13.【答案】1：3

【解析】解：・•・△ADESAABC,

Z-B=乙ADE,

/.DE〃BC,

vAG1BC,

•••AF1DE,

•・,△ADEs〉ABC,

AF：AG=AD：AB,

•••△ADE和AABC的相似比为1：3,

AD：AB=1：3,

AF：AG=1：3.

故答案为：1：3.

由相似三角形的性质推出NB=NADE,因此DE〃BC,由力G1BC,得到AF1DE,由相似三角形的性质

推出AF：AG=AD：AB,而A。：AB=1：3,即可得到AF：AG=1：3.

本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形对应高的比等于相似比.

14.【答案】10

【解析】解：由题意题意，设抛物线解析式为：y=ax2+l,将4(2,0.6)坐标代入解析式得：4a+1=

0.6,

解得：a=-0,1,

抛物线解析式为：y=-0.1%2+1.

又设直线。4解析式为丫=依，将力(2,0.6)坐标代入得，0.6=2k,解得k=0.3,

直线。4解析式为：y=0.3x.

联立函数解析式：2上一

解得：二]：5或二：6(不符合题意舍去)，

•••点尸坐标为(—5.—1.5).

又抛物线的对称轴是y轴，

.••点E的坐标为(5,-1.5).

EF=5-(-5)=10.

故答案为：10.

依据题意，设抛物线解析式为：y=a/+i,,力(2,0.6),求出抛物线解析式，然后求出直线OA解析

式，可得与抛物线的交点坐标R根据抛物线的对称性计算出点E坐标，利用横坐标之差计算线段跖

长.

本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键.

15.【答案】解:方程变形得：x2+2x=l,

配方得：%2+2%+1=2,即(X+1)2=2,

开方得：x+1=±V-2>

解得：X[=—1+x2——1—

【解析】方程常数项移到右边，两边加上1变形后，开方即可求出解.

此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

16.【答案】解：原式=—1—2cos30。

LV3

=A^-1-2X^-

=-1

【解析】先计算绝对值，三角函数的值，再计算加减.

本题考查实数的运算，特殊角的三角函数等知识，解题的关键是掌握实数的混合运算法则，记住特殊角的

三角函数值.

17.【答案】解：画树状图如下：

/开X始

第一个通电断开

AA

第二个通电断开通电断开

由树状图知，共有4种等可能的结果，A、B之间电流能够正常通过的结果有1种，

4、B之间电流能够正常通过的概率为.

【解析】画树状图，共有4种等可能的结果，A、2之间电流能够正常通过的结果有1种，再由概率公式求

解即可.

此题考查了树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完

成的事件；正确画出树状图是解题的关键，注意概率=所求情况数与总情况数之比.

18.【答案】解：设该款钥匙扣7月份到9月份销售量的月平均增长率为尤，

由题意得：256(1+x)2=400,

解得：%!=0.25=25%,%2=一2.25(不符合题意，舍去)，

答:该款钥匙扣7月份到9月份销售量的月平均增长率为25%.

【解析】设该款钥匙扣7月份到9月份销售量的月平均增长率为尤，根据某商店7月份“江南忆”钥匙扣

的销售量为256件，9月份的销售量为400件.列出一元二次方程，解之取其正值即可.

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

19.【答案】1

【解析】解：(1)由勾股定理得，4C=48=,32+12=710,BC=,22+42=275,

AB2+AC2=BC2,

•••Z.BAC=90°,

AC

tan》=丽=L

故答案为：1.

(2)由(1)可知，AC=AB,/.BAC=90°,

如图2,取AC的中点。，连接3。，

则tanzABD=喘=岑=

ADADL

则点。即为所求.

(3)如图3,取格点N,使CM=1,AN=3,CM//AN,连接MN交AC于点E,

则4CMEs^ANE,

AEANc

CE—CM3,

11

S^ABE=,AB,S^BEC=aEC,AB,

，•^LABE:S^BEC=3，

则点E即为所求.

(图1)(图2)(图3)

(1)利用勾股定理可得ac=AB,^BAC=90°,则tanB=铝=1.

AD

(2)取AC的中点。，结合三角函数的定义可知，点。即为所求.

(3)取格点M,N,使CM=1,AN=3,CM//AN,连接A/N交AC于点E,可得ACME-AANE,则悼=

器=3,进而可得SMBE：S&BEC=3,即点E为所求.

本题考查作图-应用与设计作图、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握解直角三角

形、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.

20.【答案】⑴证明：•••四边形A8CQ是平行四边形，

•••Z-A=",

•・•乙EDB=Z.A,

Z.EDB=Z-C,

Z.DBF=Z.CBD,

•••△BDFs^BCD；

(2)解：MBDFSABCD,

.BC_BD

,•丽—丽‘

・•.BD2=BC,BF=7x4=28,

BD=277.

【解析】(1)利用平行四边形的性质和相似三角形的判定定理解答即可；

(2)利用相似三角形的性质解答即可.

本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题

的关键.

21.【答案】解:由题意得：DE1EC,

在出△£)£1(*ADCE=30",/.DEC=90°,

DE=3m,

CE=y/~3DE=3yT3mf

BA1EA,

在中，Z-BCA=45°,AB=hm,

ACAB,

•*,AC—_o—turn,

tan45

AE=EC+AC—(3y/~3+/i)m,

过点。作DF14B于点E

由题意得：DE=FA=3m,DF=EA=(3A<3+

h)m,

vAB=hm,

.・.BF=AB-AF=(/i—3)m,

在RtABDF中，Z-BDF=27°,

BF=DF•tan27°=0,5(33+h)m,

・,.h—3=0.5(3/3+/i)，

•••h=3V-3+6=11.1,

AB=11.1m,

・•・塔AB的高度约为ll.lm.

【解析】根据题意可得：DE1EC,然后在RtADEC中，利用含30度角的直角三角形的性质得CE=

6DE=36m,过点。作。尸128,垂足为尸，设ZB=/mi,根据题意得：。尸=£71=(3门+无)机，

DE=FA=3m,则BF=(h-3)a,然后在RtABDF中，利用锐角三角函数的定义求出8尸的长，从而列

出关于九的方程，进行计算即可解答.

本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键.

22.【答案】^^104或10

【解析】(1)证明：如图①，在△ZBC中,

①

,:点D、E分别是与AC的中点,

.竺_竺_工

••屈―尼-Q

vZ-A-Zi4,

汕ADEs^ABC,

1

DE//BC,DE=^BC.

②

••・四边形A5CD是矩形，

•••乙D=90°,

•・•点R是C。的中点，CD=4,

1

DR=^CD=2,

AD=6,

AR=<AD2+DR2=V62+22=2/10>

•・•£、b分别是AP、R尸的中点，

EF=^AR=710,

故答案为：AATO.

(3)解：延长A。交N4BC平分线于点G,延长FE交AB于点H,如图③,

•・•BG平分乙4BC,

Z-ABG=Z-CBG9

,•・四边形ABCD是平行四边形,

AD//BC,AB=CD=14,

**-Z-G=Z-CBG,

Z.G=Z.ABG,

AG=AB=14,

vAF1BG,

BF=FG,

•・•点£是。。的中点，

.・.CE=DE,

CEBF

——41,

DEFG

・••EFI/BC”AG,

.画_肚_!

"AG~BG~2f

1

・•.FH=^AG=7,

•・•EF=3,

•••EH=FH-EF=7—3=4,

vEF//BC,AB//CD,

・•・四边形BC即是平行四边形，

/.BC=EH=4；

如图④，

同理可得：FH=^AG=7,

•・•EF=3,

EH=FH+EF=7+3=10,

•:EH〃BC,AB//CD,

••・四边形8CEH是平行四边形,

BC=EH=10；

综上所述，BC=4或10,

故答案为：4或10.

(1)利用两边对应成比例和一个公共角证明△ADESAABC,即可证明结论；

(2)连接AR,利用勾股定理求得AR,再根据三角形中位线定理即可求解；

(3)分点尸在平行四边形A8CD内部和外部两种情况，延长交N&BC平分线于点G,延长EE交A8于点

H,由平行四边形的性质和角平分线的性质易得NG=N48G,于是4G=48=14,根据等腰三角形三线合

一可知4F1BG,BF=FG,于是由三角形中位线定理FH==7,进而求出EH,即可得到BC的

值.

本题主要考查平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、等腰三角形的

性质、勾股定理，灵活运用所学知识解决问题是解题关键.

23.【答案】解：(1)•••BC^10,M是3C中点，

1

・•.BM=^BC=5,

,••点尸的运动速度为每秒1个单位，运动时间为t,

当点尸在上运动时，PM=t,

BP=5—t,

当点尸在8A上运动时，BM+BP=t,

BP=t—5,

5—t(0<t<5)

综上，BP=

t-5(5<t<ll);

(2)如图1,当。在AB边上时,

在RtAQPM中,

MP=t,PQ=2t,

在RtZkQPB中，tanB=

,•BP3?

3

・•.BP=沙

•・•BM=MP+BP=5,

t+5t=5,

t=2；

(3)由题意可知，当点。在直线A3或直线AO上时，A。与平行四边形ABC。的边平行,

分三种情况：①