第34讲　平面向量基本定理及坐标表示（解析版）

第34讲平面向量基本定理及坐标表示基础知识1.共线向量基本定理如果a≠0且b∥a,则存在唯一的实数λ,使得.

2.平面向量基本定理如果平面内两个向量a与b不共线,则对该平面内任意一个向量c,存在唯一的实数对(x,y),使得.其中,平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a,b},常称为该平面上向量的一组基底,此时,如果c=xa+yb,则称xa+yb为c在{a,b}下的.

3.平面向量的坐标运算(1)平面向量的坐标运算向量aba+ba-bλa坐标(x1,y1)(x2,y2)

(2)向量的坐标求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=,|AB|=.

4.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b⇔a=λb(λ∈R)⇔.

1.b=λa2.c=xa+yb基底分解式3.(1)(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(λx1,λy1)(2)(x2-x1,y2-y1)(4.x1y2-x2y1=0常用结论1.若a与b不共线,且λa+μb=0,则λ=μ=0.2.三点共线相关结论:(1)一般地,如果存在实数λ,使得AB=λAC,则AB与AC平行且有公共点A,从而A,B,C三点一定共线.(2)如果A,B,C是三个不同的点,则它们共线的充要条件是:存在实数λ,使得AB=λAC.(3)若OA=λOB+μOC(λ,μ为常数),则A,B,C三点共线⇔λ+μ=1.3.已知P为线段AB的中点,若A(x1,y1),B(x2,y2),则点P的坐标为（x1+x22,y1+y22）;已知△ABC的顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△分类探究探究点一共线向量、平面向量基本定理及其应用角度1共线向量基本定理例1(多选题)已知向量a,b是两个非零向量,在下列四个条件中,一定能使a,b共线的是 ()A.2a-3b=4e且a+2b=-2eB.存在相异实数λ,μ,使λa-μb=0C.当x+y=0时,xa+yb=0D.在梯形ABCD中,AB=a,CD=b例1[思路点拨]选项A,根据2a-3b=4e,a+2b=-2e得出b=-4a,从而得出a,b共线;选项B,由已知可得出λ,μ都不等于0,且a=μλb,从而得出a,b共线;选项C,当x=y=0时,满足选项的条件,显然a,b不一定共线;对于选项D,显然a,b不一定共线AB[解析]对于A,由2a-3b=4e和a+2b=-2e,消去向量e可得4a+b=0,∴b=-4a,又a≠0,∴a,b共线;对于B,∵a,b都是非零向量,且λ≠μ,λa-μb=0,∴λ,μ都不为0,∴a=μλb,∴a,b共线;对于C,当x=y=0时,满足x+y=0,此时对任意的向量a,b都有xa+yb=∴a,b不一定共线;对于D,∵AB与CD不一定平行,∴a,b不一定共线.故选AB.[总结反思]两个向量共线是指两个向量的方向相同或相反,因此共线包含两种情况:同向共线或反向共线.一般地,若a=λb(b≠0),则a与b共线,且:(1)当λ>0时,a与b同向;(2)当λ<0时,a与b反向.变式题已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图6-34-1所示,若向量λa+b与c共线,则实数λ= ()图6-34-1A.-2 B.-1 C.1 D.2变式题D[解析]根据图形可看出2a+b=c,∵2a+b与c共线,∴λ=2.故选D.角度2平面向量基本定理例2如图6-34-2,已知OC=2OP,AB=2AC,OM=mOB,ON=nOA,若m=38,则n= (图6-34-2A.34 B.2C.45 D.例2[思路点拨]利用共线向量基本定理及平面向量基本定理根据已知可求得n.A[解析]方法一:由OC=2OP,AB=2AC,知C是AB的中点,P是OC的中点,所以OC=12(OA+OB),则OP=14(OA+OB),又OM=38OB,ON=nOA,所以MN=ON-OM=nOA-38OB,MP=OP-OM=14OA-18OB,又M,P,N三点共线,所以存在实数λ,使MN=λMP成立,即nOA-38OB=λ（14OA-18方法二:设MP=λMN,因为OM=38OB,ON=nOA,所以OP=OM+MP=38OB+λ(ON-OM)=38OB+λ（nOA-38OB）=38(1-λ)·OB+nλOA,又OC=2OP,所以OP=12OC=[总结反思](1)应用平面向量基本定理表示向量,实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决问题.变式题在△ABC中,AC=5AD,E是直线BD上一点,且BE=2BD,若AE=mAB+nAC,则m+n= ()A.25 B.-2C.35 D.-变式题D[解析]如图所示,AE=AB+BE=AB+2BD=AB+2(AD-AB)=AB+215AC-AB=-AB+25AC.∵AE=mAB+n∴m=-1,n=25,故m+n=-35.故选角度3共线向量基本定理、平面向量基本定理的综合应用例3(1)设a,b不共线,AB=a+3b,BC=a+2b,CD=3a+mb,若A,C,D三点共线,则实数m的值是 ()A.23 B.15 C.72 (2)如图6-34-3,在平行四边形ABCD中,DE=12EC,F为BC的中点,G为EF上的一点,且AG=79AB+mAD,则实数m的值为图6-34-3A.23 B.13 C.-13 例3[思路点拨](1)由A,C,D三点共线,得到AC=λCD,根据平面向量基本定理列方程组求解即可得到m的值;(2)可根据条件得出DE=13AB,BF=12AD,并可设AG=λAE+(1-λ)AF,然后根据向量加法的几何意义和向量的数乘运算可得AG=（1-2λ3）AB+（λ2(1)D(2)A[解析](1)∵AB=a+3b,BC=a+2b,∴AC=AB+BC=2a+5b.∵A,C,D三点共线,∴AC=λCD,即2a+5b=λ(3a+mb),∴2=3λ,故选D.(2)∵DE=12EC,F为BC的中点,∴DE=13AB,BF=12AD.∵G,E,F三点共线,∴可设AG=λAE+(1-λ)AF=λ(AD+DE)+(1-λ)(AB+BF)=λ（AD+13AB）+(1-λ)（AB+12AD）=（1-2λ3）AB+（λ2+12[总结反思]三点共线问题可转化为向量共线问题来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.根据A,B,C三点共线求参数问题,只需将问题转化为AC=λAB,或OA=λOB+(1-λ)OC(λ为常数),再根据平面向量基本定理列出方程(组),解出参数即可.变式题在△ABC中,D在线段BC上,且BD=2DC,AM=λAC,AN=μAB,λ,μ均为非零常数,若N,D,M三点共线,则2λ+1μ= (A.1 B.2 C.3 D.4变式题C[解析]∵BD=2DC,∴BD=23BC,∴AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC-AB)=13AB+23AC,∵AM=λAC,AN=μAB,∴AC=1λAM,AB=1μAN,∴AD∴13μ+23λ=1,∴2λ+1μ探究点二平面向量的坐标运算例4(1)已知a=(5,-2),b=(-4,-3),若a-2b+3c=0,则c= ()A.（133,83） B.（-133,C.（133,43） D.（-133,(2)在Rt△ABC中,A=90°,AB=6,AC=8,D是△ABC的内心,则BD= ()A.-23AB+B.23ABC.-23AB+D.23AB例4[思路点拨](1)由a-2b+3c=0,可得c=-13(a-2b),然后代入向量a和b的坐标进行运算即可;(2)以A为原点,分别以AB,AC所在直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,求得内切圆的半径r=2,设BD=mAB+nAC,用坐标表示BD,AB,AC,再利用平面向量基本定理求得m,n的值即可(1)D(2)A[解析](1)∵a-2b+3c=0,∴c=-13(a-2b)=-13×(13,4)=（-133,-43）(2)如图所示,以A为原点,分别以AB,AC所在直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系.由已知可得|BC|=62+82=10.过点D作DE⊥x轴,DF⊥y轴,垂足分别为E,F,则四边形AEDF为正方形,∴内切圆的半径r=6+8-102=2,∴D(2,2),B(6,0),C(0,8).设BD=mAB+nAC,则(-4,2)=m(6,0)+n(0,8),∴-4=6m,2=8n,解得m=-∴BD=-23AB+14AC[总结反思](1)利用向量的坐标运算解题时,首先利用加、减、数乘运算法则进行运算,然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则,转化为方程(组)进行求解.(2)向量的坐标表示把点与数联系起来,引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化,成为数与形结合的载体,使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.变式题(1)(多选题)已知向量e1=(-1,2),e2=(2,1),若向量a=λ1e1+λ2e2,则使λ1λ2<0成立的a可能是 ()A.(1,0) B.(0,1)C.(-1,0) D.(0,-1)(2)已知向量a=(2,1),b=(x,-2),若|a+b|=|2a-b|,则实数x的值为 ()A.49 B.12 C.94 变式题(1)AC(2)C[解析](1)∵e1=(-1,2),e2=(2,1),∴向量a=λ1e1+λ2e2=(-λ1,2λ1)+(2λ2,λ2)=(2λ2-λ1,2λ1+λ2).当a=(1,0)时,2λ1+λ2=0,满足题意;当a=(0,1)时,2λ2-λ1=0,不满足题意;当a=(-1,0)时,2λ1+λ2=0,满足题意;当a=(0,-1)时,2λ2-λ1=0,不满足题意.故选AC.(2)∵向量a=(2,1),b=(x,-2),∴a+b=(2+x,-1),2a-b=(4-x,4).∵|a+b|=|2a-b|,∴(2+x)2+(-1解得x=94.故选C探究点三平面向量共线的坐标表示例5(1)已知a=(1,2+sinx),b=(2,cosx),c=(-1,2),若(a-b)∥c,则锐角x等于 ()A.15° B.30° C.45° D.60°(2)已知向量a=(1,k),b=(k,2),若a与b方向相同,则k等于 ()A.1 B.±2 C.-2 D.2例5[思路点拨](1)先求出a-b的坐标,再由(a-b)∥c求得tanx=1,由此求得锐角x的值;(2)根据平面向量的共线定理与坐标表示,列方程求出k的值即可.(1)C(2)D[解析](1)由题意可得a-b=(-1,2+sinx-cosx),∵(a-b)∥c,∴-2-(-1)(2+sinx-cosx)=0,化简可得sinx=cosx,∴tanx=1,∴锐角x等于45°.故选C.(2)∵向量a=(1,k),b=(k,2),且a与b方向相同,∴k>0,k2-1×2=0,解得k=2[总结反思](1)注意两平面向量共线的充要条件.(2)利用向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由向量平行求参数,当两向量的坐标均为非零实数时,也可以利用坐标对应成比例来求解.变式题(1)已知向量OA=(-1,k),OB=(1,2),OC=(k+2,0),且实数k>0.若A,B,C三点共线,则k= ()A.0 B.1 C.2 D.3在梯形ABCD中,AB∥CD,且DC=2AB,若点A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为.

变式题(1)D(2)(2,4)[解析](1)∵向量OA=(-1,k),OB=(1,2),OC=(k+2,0),∴AB=OB-OA=(2,2-k),BC=OC-OB=(k+1,-2).∵A,B,C三点共线,∴AB∥BC,∴k+12=-22-k,又k>0,∴k=3(2)因为在梯形ABCD中,DC=2AB,AB∥CD,所以DC=2AB.设点D的坐标为(x,y),则DC=(4-x,2-y),又AB=(1,-1),所以(4-x,2-y)=2(1,-1),即(4-x,2-y)=(2,-2),所以4-x=2,2-y=-2,解得x同步作业1.设a是任一向量,e是单位向量,且a∥e,则下列表示形式中正确的是 ()A.e=a|a| C.a=-|a|e D.a=±|a|e1.D[解析]对于A,当a=0时,a|a|没有意义,故A错误.对于B,C,D,当a=0时,选项B,C,D都正确,当a≠0时,由a∥e可知,a与e同向或反向,故B,C错误,D正确.2.在下列各组向量中,可以作为一组基底的是 ()A.e1=(0,0),e2=(1,1)B.e1=(-1,2),e2=(5,-10)C.e1=(3,5),e2=(-3,-5)D.e1=(2,-3),e2=2,-342.D[解析]选项A,0×1-0×1=0,所以e1,e2共线,不能作为基底;选项B,-1×(-10)-2×5=0,所以e1,e2共线,不能作为基底;选项C,3×(-5)-(-3)×5=0,所以e1,e2共线,不能作为基底;选项D,2×（-34）-(-3)×2≠0,所以e1,e2不共线,可以作为基底.故选D3.平面向量a=(1,2),b=(3,4),则a+2b= ()A.(5,8) B.(5,10)C.(7,8) D.(7,10)3.D[解析]∵向量a=(1,2),b=(3,4),∴a+2b=(1,2)+(6,8)=(7,10).故选D.4.已知向量a=(m,2),b=(3,-6),若|a+b|=|a-b|,则实数m的值是 ()A.-4 B.-1 C.1 D.4∴(m+3)2+16=(m-3)2+64,化简得5.如图K34-1,在△ABC中,AD=3DB,P为CD上一点,且AP=mAC+12AB,则m的值为 (图K34-1A.12 B.1C.14 D.5.B[解析]∵AD=3DB,∴AB=43AD,又AP=mAC+12AB,∴AP=mAC+23AD,又C∴m+23=1,解得m=13.故选6.已知O,A,B,C为平面α内的四点,其中A,B,C三点共线,点O在直线AB外,且满足OA=1xOB+2yOC,其中x>0,y>0,则x+8yA.21 B.25 C.27 D.346.B[解析]∵A,B,C三点共线,点O在直线AB外,OA=1xOB+2yOC,∴1x+2y=1,∴x+8y=(x+8y)×（1x+2y）=1+2xy+8yx+16≥17+22xy·87.已知向量a=(3,1),b=(x,-2),且a,b共线,则a-b=.

7.(9,3)[解析]因为a,b共线,所以3×(-2)-1×x=0,解得x=-6,所以b=(-6,-2),则a-b=(9,3).8.在△ABC中,D为边AB上一点,且BD=3AD,若CD=λCA+μCB,则λμ= (A.13 B.3C.14 D.8.B[解析]因为BD=3AD,所以CD=CB+BD=CB+34BA=CB+34(CA-CB)=34CA+14CB,由CD=λCA+μCB可得λ=34,μ=149.已知向量a=(2,1),b=(x,-2),若|a+b|=|2a-b|,则实数x的值为 ()A.49 B.1C.94 D.9.C[解析]∵向量a=(2,1),b=(x,-2),∴a+b=(2+x,-1),2a-b=(4-x,4),∵|a+b|=|2a-b|,∴(2+x)2+(-1)2=(4-x)10.在△ABC中,D为BC上一点,且BD=2DC,AE=ED,若EB=xAB+yAC,则 ()A.x=13,y=2B.x=56,y=C.x=56,y=-1D.x=23,y=10.C[解析]因为BD=2DC,AE=ED,所以DB=-23BC,ED=12AD,所以EB=ED+DB=12AD-23BC=12(AB+BD)-23(AC-AB)=12（AB+23BC）-23(AC-AB)=12AB+13BC-23AC+23AB=711.(多选题)已知向量OA=(1,-3),OB=(-2,1),OC=(t+3,t-8),若点A,B,C能构成三角形,则实数t可以为 ()A.-2 B.12C.1 D.-111.ABD[解析]∵向量OA=(1,-3),OB=(-2,1),OC=(t+3,t-8),∴AB=(-2,1)-(1,-3)=(-3,4),AC=(t+3,t-8)-(1,-3)=(t+2,t-5).∵点A,B,C能构成三角形,∴AB≠λAC,∴(-3,4)≠(λ(t+2),λ(t-5)),解得t≠1.结合选项可知,应选ABD.12.(多选题)如图K34-2所示,点A,B,C是圆O上的三点,线段OC与线段AB交于圆内一点P,若AP=λAB,OC=μOA+3μOB,则 ()图K34-2A.当P为线段OC的中点时,μ=1B.当P为线段OC的中点时,μ=1C.无论μ取何值,恒有λ=3D.存在μ∈R,λ=112.AC[解析]由已知得OP=OA+AP=OA+λAB=OA+λ(OB-OA)=(1-λ)OA+λOB,因为OP与OC共线,所以1-λμ=λ3μ,解得λ=34,故C正确,D错误;当P为OC中点时,有OP=12OC,则1-λ=12μ,λ=12×3μ,解得μ=1213.在△ABC中,已知D是边AB上一点,若AD=2DB,CD=13CA+λCB,则λ=13.23[解析]由已知得,CD=CA+AD=CA+2DB①,∵CD=CB+BD,∴2CD=2CB+2BD=2CB-2DB②,①+②得3CD=CA+2CB,∴CD=13CA+2314.在△ABC中,CD=-35BC,EC=12AC,AF=13AB,若点P为四边形AEDF内一点(不含边界)且DP=-13DC14.（12,43）[解析]在线段BD上取一点G,使得DG=-13DC,设DC=3a,则DG=a,BC=5a,BG=a.过点G作GH∥DE,分别交DF,AE于K,H,连接FH,则HE=13EC,AH=23EC,HG=43DE,则AHHC=12=AFFB,所以FH∥BC,所以FH=13BC