2023年安徽省合肥市高考数学第一次质检试卷及答案解析

2023年安徽省合肥市高考数学第一次质检试卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.（5分）己知复数Z满足（1-i）z=2-i,则复数Z的虚部为（）

1133

A.-B.-iC.-D.-i

2222

2.（5分）设集合M={x∣x=g+/,〃eZ},2={小=$n∈Z},则CNM=（）

A.0B.{x∣x="∈Z）C.{x∣X=竽，n∈Z}D.{x∖x=2n,n∈Z}

3.（5分）核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据.经大量病例调查发现，试

剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响.己

知国外某地新冠病毒感染率为0.5%,在感染新冠病毒的条件下，标本检出阳性的概率为

99%.若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为

（）

A.0.495%B.0.9405%C.0.99%D.0.9995%

4.（5分）将函数y=sin（Zr+φ）（∣φ∣<J）图象上各点横坐标缩短到原来的;，再向左平移

B个单位得到曲线C.若曲线C的图象关于），轴对称，则φ的最小值为（）

6

πππTl

λ∙3d-6J123

22

5.（5分）已矢口p：x+y>0,q∙.∕n（√x+1+%）—ln（<y∕y+1-y）>0,贝∣]p是q的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.（5分）已知线段PQ的中点为等边三角形ABC的顶点A,且AB=PQ=2,当PQ绕点A

转动时，而∙C⅛的取值范围是（）

A.[-3,3]B.[-2,2]C.[-3,1]D.[-1,3]

7.（5分）抛物线E：y2=4χ的焦点为凡曲线/：y=4∣x-l∣交抛物线E于A,B两点,

则aABF的面积为（）

A.4B.6C.3√5D.8

8.（5分）已知正方体ABC£）-4BICl£>1的棱长为4,M,N分别是侧面CDl和侧面BCI的

中心，过点M的平面α与直线ND垂直，平面a截正方体ACi所得的截面记为S,则S

的面积为（）

A.5√3B.4√6C.7√6D.9√6

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.在每个小题给出的选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

（多选）9.（5分）已知“>0,函数/（x）=Xfl-〃（x>0）的图象可能是（）

（多选）10.（5分）已知数列3）满足。"=4"+入（-2）"I若对V"WN+,都有。"+1>所成

立，则整数人的值可能是（）

A.-2B.-IC.OD.1

（多选）11.（5分）已知圆锥S。（。是底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为√7,

高为√5.若P,。为底面圆周上任意两点，则下列结论正确的是（）

A.三角形SpQ面积的最大值为2次

B.三棱锥O-S尸。体积的最大值羊

C.四面体SOPQ外接球表面积的最小值为llπ

D.直线SP与平面SoQ所成角的余弦值的最小值为呼

（多选）12.（5分）已知函数f（x+l）是偶函数，且/（2+x）=-∕（x）.当Xe（0,1]时，

f（x）=xcos],则下列说法正确的是（）

A.f（x）是奇函数

B./（x）在区间（耳ɪ,包守）上有且只有一个零点

C.f（x）在（白，1）上单调递增

D./（%）区间（J,1）上有且只有一个极值点

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置.

13.(5分)函数/(x)=x3在点(1,/(1))处的切线与直线2%+y+l=0平行，则实

数a—.

14.(5分)二项式(x+l)2(x+65展开式中，9的系数是.

15.(5分)已知AB为圆C：(χ-2)2+S-m)2=3的一条弦，M为线段48的中点，若

CM2+OM2^3(O为坐标原点)，则实数〃?的取值范围是.

X2y2

16.(5分)已知双曲线氏—=l(α>0,b>0)的左右焦点分别为四，Fι,A为其右

顶点，P为双曲线右支上一点，直线PB与y轴交于。点.若A。〃「放，则双曲线E的

离心率的取值范围为.

四、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知数列｛“"｝为公差不为零的等差数列，其前"项和为S”45=2.2,S3=aj.

(1)求｛“"｝的通项公式如；

1111

(2)求证：-7+-7+-7+---+-7<l(n∈N*).

ɑlgɑɜan

18.(12分)如图，正方体ABC。-AIBICIOI的棱长为4,点M为棱441的中点，P,Q分

别为棱BBi,CCI上的点，且BIP=CQ=1,PQ交BCl于点M

(1)求证：MN〃平面ABC

(2)求多面体BQMPQ的体积.

19.(12分)已知AABC的内角A,B,C所对边的长分别为4,b,c,且廿+2,2-2/=0.

(1)若tαnC=/，求4的大小;

(2)当4-C取得最大值时，试判断AABC的形状.

CC(X=X

20.(12分)已知曲线C/+y2=2,对曲线C上的任意点尸(x、y)做压缩变换M=工得

√2

到点P'(χ',y).

(I)求点P(X',y)所在的曲线E的方程；

(2)设过点尸(-1,0)的直线/交曲线E于A,8两点，试判断以AB为直径的圆与直

线X=-2的位置关系，并写出分析过程.

21.(12分)研究表明，温度的突然变化会引起机体产生呼吸道上皮组织的生理不良反应,

从而导致呼吸系统疾病的发生或恶化.某中学数学建模社团成员欲研究昼夜温差大小与

该校高三学生患感冒人数多少之间的关系，他们记录了某周连续六天的温差，并到校医

务室查阅了这六天中每天高三学生新增患感冒而就诊的人数，得到资料如下：

日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天

昼夜温差X47891412

(℃)

新增就诊人ʃɪ加)丐州

数y(位)

2

参考数据：∑匕y↑=3160,∑f=1(yi-y)=256.

(1)已知第一天新增患感冒而就诊的学生中有7位女生，从第一天新增的患感冒而就诊

17

的学生中随机抽取3位，若抽取的3人中至少有一位男生的概率为广，求yι的值；

24

(2)已知两个变量X与y之间的样本相关系数r=弗，请用最小二乘法求出y关于X的

经验回归方程y=bx+α,据此估计昼夜温差为15℃时，该校新增患感冒的学生数(结

果保留整数).

参考公式：h=∑k(XL吗一刃

22

∑a(XL幻物=1(χi-χ)∙⅛1(yi-y)

22.(12分)己知函数/(x)=欣+嘿■.

(1)讨论函数/(χ)的单调性；

(2)若关于X的方程F(X)=〃有两个实数解，求〃的最大整数值.

2023年安徽省合肥市高考数学第一次质检试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.(5分)已知复数Z满足(l-z)z=2-i,则复数Z的虚部为()

1133

A.—B.-iC.-D.-i

2222

【解答】解：由(1-i)z=2-i可得Z=若=涉那捣=詈三产=|+2»，

所以复数Z的虚部为士

2

故选：A.

2.(5分)设集合M={X∣X=^+4,"GZ},N={x∣x=%"6Z},则CNM=()

Ltτ,

rirλγι

A.0B.{x∖x=2，∕7∈Z)C.{x∖x=-ξ-,∏∈Z}D.{x∖x=2nt∕t∈Z}

【解答】解：：集合M={x∣x=?+!,"CZ}={XIX=与i,"∈Z},

N={小=今，"∈Z},

则CNM={X∣X=竿=货∕7∈Z}.

故选：B.

3.(5分)核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据.经大量病例调查发现，试

剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响.已

知国外某地新冠病毒感染率为0∙5%,在感染新冠病毒的条件下，标本检出阳性的概率为

99%.若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为

()

A.0.495%B.0.9405%C.0.99%D.0.9995%

【解答】解：记感染新冠病毒为事件A,感染新冠病毒的条件下，标本为阳性为事件B,

贝IJP(A)=0.5%,P(BH)=99%,

故某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为PCAB)=P(A)P(B∣A)=0.5%×99%

=0.495%.

故选：A.

4.(5分)将函数y=sin(2x+φ)(∣φ∣<J)图象上各点横坐标缩短到原来的M再向左平移

三个单位得到曲线C若曲线C的图象关于y轴对称，则φ的最小值为()

6

πTTTTTC

A——R――C――D—

j36123

【解答】解：将函数y=sin(2x+φ)(∣φ∣<y)图象上各点横坐标缩短到原来的：，再向

左平移三个单位得到曲线c：g(X)=Sin(4x+φ+冬)，

6ɔ

由于曲线C的图象关于y轴对称，

故<p+=ZTT+今(AeZ),

整理得φ=∕στ一强(jt∈Z);

由于：lφl<^

当A=O时，φ=-5,

十6

故选：B.

5.(5分)已知p：x+y>0,q：∕n(√x2+1+%)—ITl(Jy?+1—y)>0,则P是q的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解答】解：令Jf(X)=In(S?+1+无),χwR,f(0)=0,

且/(X)+/(—%)=仇(V/+1+x)+InZX2+1—χ)=Inl=0,

故/(x)=^∏(Vx2+1+X)为奇函数,尤>0∏⅛,√x2+1+X递增,则∕Q)=∕n(√x2+1+%)

也递增，

又一(κ)为奇函数，则/(x)在R上递增，〃=g,若无+y>0,贝∣Jx>-y,

则/(冗)>f(-ʃ),即"(VX2+1+χ)>lnQ丫2+/一y)

22

即InsJX2+1÷%)—In(Jy2+1-y)>0；PUq,若ln(y∕x÷1+%)—Zn(λ∕y+1-y)

>0,

则等价于正(V%2+1+%)>仇(Jy2+1—y),即/(尤)>f(-y),

由/(X)在R上递增，则x>-y,即x+y>0,

故〃是9的充要条件，

故选：C.

6.(5分)已知线段PQ的中点为等边三角形ABC的顶点A,且A3=PQ=2,当PQ绕点A

转动时，BP∙CQ的取值范围是()

A.[-3,3]B.[-2,2]C.[-3,1]D.[-1,3]

【解答】解：以A点为原点，以与BC平行的直线为X轴，与BC垂直的直线为y轴，建

则4(0,0),B(-l,-√3),C(l,-√3),易知P、。两点都是圆4：/+y2=l上的动

点，

当直线PQ斜率不存在时，P(0,-1),Q(0,1),

此时而=(1,√3-1),CQ=(-1,l+√3),则而∙C⅛=-1+3-I=1,

当直线PQ斜率不存在时，可设直线P0的方程为y=履，

当心。时，联立卷串=］，解得P.iQ‘一点’一点)’

TlkI~~T

则BP=Cy==+1,-T==+√3),CQ=(―i1-1,—fi+ʌ/ɜ),

22

√l+k√l+∕ci

TTl1

'BPCQ=(而+】)YfD+(/2+ʌ/ɜ)(----1+V3)=

-(T=L=+1)2+3-(-^)=1—『2=,

X√1÷k2乒

Λ-l≤BP∙CQ<1,

1_kʌ

同理，当ZWo时，P(-ηJ=,-1=),QL

¼fc2Jl+必

：.BQ-CQ=1+,2,JΛ<BPCQ≤3,

Jw

综上所述，后∙C⅛的取值范围是［-1,3］,

故答案选：D.

7.（5分）抛物线E：∕=4χ的焦点为F,曲线/：y=*|久一1|交抛物线E于A,B两点,

则AABF的面积为（）

A.4B.6C.3√5D.8

【解答】解：；曲线/：y=4∣x-1|,当x>l时,y=*（x-1）；当XVl时,y=4（1一X）,

当x>l时，联立直线与抛物线'=2"一D,

y2—4x

解得卜=9y后，设4（9+4隗，4+2√5）,

（y=2√5—4

当XVl时，联立直线与抛物线卜=2Q一X）,

∖y2=4x

解得卜=9[4勺设8（9-4√5,2√5-4）.

Iy=2v5—4

又尸（1，。），3藕.

.*.IAB:X—y∕5y+1=0,

.∙.点F到直线AB的距离为d=-ɪ=堂，又MBl=√320+64=8√6,

V5+1ɔ

：.S»ABF=Iμβ∣∙d=∣×8√6×^=8.

故选：D.

8.（5分）已知正方体ABC£>-AIBICloI的棱长为4,M,N分别是侧面CD和侧面BCI的

中心，过点M的平面α与直线ND垂直，平面a截正方体ACi所得的截面记为S,则S

的面积为（）

A.5√3B.4√6C.7√6D.9√6

【解答】解：：正方体ABCD-AIBICIol的棱长为4,M,N分别是侧面C£>1和侧面BCl

的中心，

.∙.以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，

侧面CA的中心M(O,2,2),侧面BCl的中心N(2,4,2),D(0,0,0),

：.DN=(2,4,2),点M在平面α与平面CDDIcj的交线上，设P(O,yι,zι)为这

条交线上任意一点，

MP=(0,y∖-2,zɪ-2),

VMP-DN=4(jι-2)+2(Zl-2)=0,Λ2y∣+z∣=6,

令zι=0,得F(0,3,0),令zι=4,得G(0,1,4),连接FG,

平面a与平面ABCQ必相交，设Q(x,y,0)为这条交线上任意一点，

FQ=(x,y-3,0),

•：FQ-DN=2x+4(y-3)=0,.,.x+2y=6,令x=4,得E(4,1,0),连接PE,

：平面48ιCιZ)ι〃平面ABa),平面a与平面AIBICIOI的交线过点G,与直线FE平

行，

过G作GH〃/7E,交AiDi于HG,0,4),GH=Ct,-L0),FE=(4,-2,00,

由港〃∕⅛,得t=2,：.H(2,0,4),

.∙.平面a与平面ABBlA1,平面AQDiAi都相交，

则平面a与直线AAl相交，令交点为K(4,0,〃i),EK=(0,-1,加)，

由皮•加=-4+2m=0,得K(4,0,2),

连接EK,HK,得截面五边形EFGHK,即截面。为五边形EFG/7K,

EF=FG=2®GH=EK=√5,HK=2y∕2,取EF中点L(2,2,0),连接GL,EH,

则GL=EH=√∏,

在AEHK中，CoS乙EKH=_√10jSinNEKH=芈，

Zca,ΠAɔɔ

1∙ιJΛC

AEHK的面积SΔEHK=^EK.HKSiMEKH=^×√5×2√2×^=√6,

在LFGL中，cos/GFL=涓界:产=ɪSinNGFL=半，

Zur,Lrɔɔ

AFGL边FL上的高h=FG∙sinZGFL=芈，

√5

梯形EFGH面积SEFGH=∣(GW+FF)∙∕ι=∣(√5+2√5)Xɪ=6√6,

.'.S的面积为S=S4EHK+SEFGH=1遍.

故选：C.

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.在每个小题给出的选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得()分.

(多选)9.(5分)已知a>0,函数f(x)=xa-ax(x>0)的图象可能是()

【解答】解：当OVaVl时，函数y=/在(O,+∞)上单调递增，函数y=/在(0,+

°°)上单调递减，

因此函数f(X)=Jtfl-Or在(O,+∞)上单调递增，而/(O)=-I,f(α)=0,函数图

象为曲线，A可能；

当a-∖时，函数/(x)=X-I在(0,+∞)上的图象是不含端点(0,-1)的射线，B

可能；

当a>∖时，取α=2,有f(2)=f(4)=0,即函数f(x)=x2-2x,x>0图象与x轴

有两个公共点，

又Xe(0,+8),随着X的无限增大，函数y=/呈爆炸式增长，其增长速度比的

大，

因此存在正数XO,当x>xo时，诏Va力恒成立，即/(x)<0,C可能，。不可能.

故选：ABC.

(多选)10.(5分)已知数列｛而｝满足而=4"+入(-2)/1.若对V"∈N+,都有“fl+ι>α”成

立，则整数人的值可能是()

A.-2B.-1C.0D.1

jl

【解答】解：∙.∙%l=4+4(-2)n+ι,即即+i=4+1+/1(—2尸+2,

若对VzIeN+,都有0n+ι>α”成立,BP4n+1+λ(-2)n+2>4,,+λ(-2)π+l,

Λ3×4n>λ(-2)/I-入(-2)"2=3入(-2)"I即4">入(-2),l+l对V"∈N+都成

立；

n111

当"为奇数时，av(；；+]=2吁1恒成立,m<(2-)min=2-=1,即入<1；

rιl

当〃为偶数时，£=一2吁1恒成立，则λ>(-2^)nuιx=-2,即入>-2；

(-2)n+1

故整数人的取值范围是-2<入<1,则整数入的值可能是-1,0,

故选：BC.

(多选)11.(5分)已知圆锥SO(O是底面圆的圆心，S是圆锥的顶点)的母线长为行,

高为g∙若P,。为底面圆周上任意两点，则下列结论正确的是()

A.三角形SPQ面积的最大值为2g

B.三棱锥O-SPQ体积的最大值竽

C.四面体SOPQ外接球表面积的最小值为llπ

√21

D.直线SP与平面SOQ所成角的余弦值的最小值为、一

【解答】解：对选项A,由母线长为夕，高为疗，

可得底面半径为夜/=2,设BC是底面圆的一条直径，

贝UcoSNBSC=(2+乎)屐4=<0,即NBSC是钝角，

2×√7×√77

[17

又SASPQ=2XSPXSQXsinZ-PSQ=[x巾XV7XSin乙PSQ=《sin(PSQ,

则存在点P,Q,当NPSQ=900时，

7

SinNPSQ=1,三角形SPQ面积的最大值为5，故4错误；

选项8,VSΔSOP=∣×SO×OP=∣×√3×2=√3,当OQJ_面SOP时，

(Vθ-SPQ^max=(VQ-S0p)max=WXSASOPXOQ=WX8X2=—ɜ->故B正:确；

选项C,设aOPQ的外接圆半径为r,

：S0J_底面圆，；.四面体SOPQ外接球半径R,

.∙.R2=r2+(S0yt若外接球表面积的最小，即外接球的半径R最小，

又7?2="+率即在底面圆中，AOPQ的外接圆半径最小，

由正弦定理2r=Si2PQ=SinloPQ,

二点P经过线段。。的中垂线时，/0PQ最大,AOPQ的外接圆半径最小,

34325

22

此时勿=薪=竽，R=r+-=-+-=--

43412

即四面体SOPQ外接球表面积的最小值为4万/?2=竽兀，故C错误;

选项。,设点P到平面SOQ的距离为d,直线SP与平面SOQ所成角θ的正弦值为SinO=

dd

点=方

则当OPL面SoQ时，(Sine)mtn=*=缘'

√21

此时直线SP与平面SOQ所成角的余弦值最小，最小值为十，故力正确；

故选：BD.

(多选)12.(5分)已知函数/(x+l)是偶函数，且f(2+x)=-∕(x).当x∈(0,1］时,

/(x)=XCoSg则下列说法正确的是()

A./(ɪ)是奇函数

B./(x)在区间(出尹，包吴)上有且只有一个零点

C.f(x)在(右，1)上单调递增

D./(Λ)区间6，1)上有且只有一个极值点

【解答】解：函数∕α+i)是偶函数，故/(-χ+i)=∕(χ+i),

因为/(2+x)=-∕(x),所以/(l+x)=-f(χ-l),

故/(-x+∖)=-/(ɪ-1),

将X替换为x+1，得到/(-x)=-∕(x),故F(X)为奇函数，A正确；

因为/(2+x)=-∕(x),故/(4+x)=-∕(x+2),故/(4+x)=f(x),

所以/(x)的一个周期为4,

故/(x)在区间(曳畀，包ML)上的零点个数与在区间牛ɪ)上的相同，

因为点)=那s*=0,而/(2+x)=-∕(x)=∕(-χ),故“2-9=%)=0,

,2212π-l

其中l一，2一一∈(一，-----)，

TCTlTlTC

故/(无)在区间6,与与至少有2个零点，B错误；

X6(焉，1)时，/(x)=XcosK则/'(%)=cos<+<s讥9，

ɔ/lʌʌʌʌ

令t=pt∈(1/ɪ),h(r)=cosr+∕si∏r,

所以(/)=-sinr+sinr+Zcosr=Zcosr,

当t∈(i,刍时，n(r)=3sf>o,h⑺单调递增，

当t∈g,第)时，h,(r)=FcosrVO,h(/)单调递减，

-V-/j/1\_l•«--ʌ>∕5τΓ∖5ττ5ττ.5TT5ττ/35π-6/3、八

乂h∖∖)=CoSl+sin1>(),∕ι(-g-)=cos-g—I—g-sιπ-g~—--2=^—>0'

故∕?(Z)>0在te(l,节)上恒成立，

所以/(x)>0在1)上恒成立，故f(x)在(右，1)上单调递增，C正确；

11

。选项，X∈(-/1)时，/(x)=XCOS-,

Ill1

故/'(X)=COS7+-SMj令t=7,r∈(1,π),h(r)=cosz+rsi∏r,

XXXX

则万(力=rcosn

当t∈(l,刍)时，h'(/)=rcosr>0,h(r)单调递增，

当t∈g,兀)时，〃'(f)=∕cosr<0,h(/)单调递减，

因为Zz(1)=Cosl+sinɪ>0,∕ιG)=CoS+讥*=*>0,h(Tr)=cosπ+πsinπ=-

<0,

由零点存在性定理，七o∈g,7T）,使得力（/（））=0,

当∕∈(1,ro)时∙，h(r)>0,当f∈Co,π)时，h(f)<0,%∈(ɪ/：)时，f(X)V

1

O,f(X)单调递减，X∈(―,1)时，/(X)>0,f(X)单调递增，

所以/(x)区间6,1)上有且只有一个极值点，。正确.

故选：ACD.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置.

13.(5分)函数/(x)=X3-H群在点(1,f(D)处的切线与直线2x+y+l=0平行，则实

数a—5.

【解答】解：V/(x)=x3-alnx,.*.∕,(x)=3%2—p

：.f(1)=3-①

・・♦切线与直线lr+y+l=0平行，

∕√(1)=3-a=-2,.'.a=5.

故答案为：5.

14.(5分)二项式(x+l)2(x+35展开式中，4的系数是15.

【解答】解：二项式(X+1)2(X+i)5=(x2+2x+I)(X+/)5,

二项式(x+])5展开式的通项公式为Tr+1=Cζx5~r-(i)r=Cζx5~2r,r∈/V,r≤5,

所以在二项式(x+l)2(x+1)5展开式中，χ3的系数是IXc£+IxCg=5+10=15.

故答案为：15.

15.(5分)已知AB为圆C：(χ-2)2+(y-w)2=3的一条弦，M为线段A5的中点，若

CM2+OM2^3(O为坐标原点)，则实数〃?的取值范围是_(-√23,√23).

【解答】解：圆C：(χ-2)2+(y-W2=3的圆心(2,M,半径为：r=√3,

AB为圆C:(X-2)2+(y-相)2=3的一条弦，M为线段AB的中点，若CA?+OM2=3

(。为坐标原点)，

可知以CO为直径的圆与已知圆相交，

以C。为直径的圆：(X-1)(y—52)2=p

可得-亨Vr

解得m∈(-√23,√23).

故答案为：(_723,√23).

X2y2

16.(5分)已知双曲线E：---=l(α>O,b>0)的左右焦点分别为产ι,F2,A为其右

顶点，P为双曲线右支上一点，直线PQ与y轴交于。点.若AQHPF1,则双曲线E的

离心率的取值范围为_(遮+1,+∞)-.

【解答】解：如下图所示，根据题意可得FI(-c,0),F2(c,0),A(a,0),

设P(X1,yι),则直线PFI的方程为y=H(x+c)，

ʌɪ~rC

所以直线Pa与y轴的交点Q(0,τ¾),

XΛ~ΓC

ɪ-o

由AQ〃PF2可得心Q=kp&,即爷土=ɪ.

整理得(α+C)Xl=c2-ac,即与=%著，

又因为尸为双曲线右支上一点，所以XINm

当xι="时，AQ,PF2共线与题意不符，即xι>α,

可得='a+,。>a,整理得C2-a2,-2ac>0,即e?-2e-1>0,解得e>V∑+1或e<^1—

√2(舍),

故双曲线E的离心率的取值范围为e>√∑+1.

故答案为：(√∑+1,+8).

四、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(K)分)已知数列｛““｝为公差不为零的等差数列，其前〃项和为S,45=2G,S3=al.

(1)求｛a”｝的通项公式而；

、4▼Ill1*

(2)求证：-τ÷-τ+-τ+∙∙∙÷-T<l(n∈N).

ɑig^

【解答】解：(1)设等差数列｛板｝的公差为d,由45=22,S3=αi,得

a1+4d=2(α1+d)

301+322d=(Ql+d)?

而dWO,解得d=l,a∖-2,

所以｛“"｝的通项公式an-n+∖∙,

…，,-11111

证明：(2)由(1)知，-y=--------<--------=~----------,

(n+l)zn(n+l)nn+1

,1111111111

所以-7+ʒ+ʒ+…+=<(1+-••+(--——)=1-——<1.

ɑɪ«2ɑɜα⅞2，、23，'nn+l7n+1

18.(12分)如图，正方体4BCQ-AIBICIDI的棱长为4,点M为棱441的中点，P,。分

别为棱8Bι,CCI上的点，且BlP=CQ=1,PQ交BCl于点、N.

(1)求证：MN〃平面ABCC；

(2)求多面体BZ)MPQ的体积.

【解答】解：(1)证明：∙.∙BιP=CQ=l,正方体的棱长为4,

.".BP=CiQ=S,又BP〃C∖Q,

.♦.△8RV丝△CiQN,

BN=CiMΛ点N为线段BCi的中点，

过点N作NELBC,垂足点为E,

贝IJNE〃CCi,且NE=*CCι=2,

J.NE//AM,且NE=AM=2,

；•四边形AMNE为平行四边形，

，MN〃AE.又MNC平面ABC。，AfcTfflABCD,

.∙.MN〃平面ABCD-,

(2)设多面体Bf)MPQ的体积为匕连接。P,

则V=VB-MPD+VB.PQD

=2Vβ.PQD=2VD-PBQ

11

=2×ɜ×(2×3X4)×4=16,

故该多面体BDMPQ的体积为16.

19.(12分)已知4A8C的内角A,B,C所对边的长分别为“，b,c,且序+2c2-2/=0.

1

(1)若tanC=^,求A的大小：

(2)当A-C取得最大值时，试判断aABC的形状.

【解答】解：(1)V⅛2+2C2-2α2≈0,

...序=2(b2+c2-02),根据余弦定理可得：

h2=4hccosA,

Λ⅛=4ccosA,根据正弦定理可得：

4sinCcosA=SinB=SinACOSe+cosASinC,

二.3sinCcosA=SinACoSC,

ΛtanA=3tanC,

当tQ∏C=!时,则tanA=3tanC=1,

又A∈(0,π),.X=半

(2)由⑴知tanA=3tanC,.∖0<C<A<≡,

.A-tα几>一tα-C—2tατιC—22—73

..αn(-)-1+tanA.tanC-1+3tan2c-ι+3tanC-丽一丁

tanc

当且仅当----=3tanCf即当tgτιC=*,C=，时，等号成立，

tanC36

tan(4-O的最大值为w，

又0V4—CV/,.∙.A-C的最大值为V,此时4=生

TT

ΛB=τr-(Λ+Q=

・•・ZXABC为直角三角形.

χ,—X

V=上■得

{5/2

到点PCx',y').

(1)求点P'(x',/)所在的曲线E的方程；

(2)设过点尸(-1,0)的直线/交曲线E于A,B两点，试判断以AB为直径的圆与直

线X=-2的位置关系，并写出分析过程.

(x'=X

【解答】解：⑴由压缩变换Iy=马得到X=X，，y=√Iy.

代入曲线C：X2+J2=2,得到(X')2+23)2=2,

化为第+(y')2=1,即为点P(』，y)所在的曲线E的方程.

(2)设4(xι,W),B(Λ2,”)，线段AB的中点M(M),W),

比2

直线/的斜率不为0时，设直线/的方程为my=%+l,代入曲线E的方程万+),2=1,化

为：(川+2)y2-2my-1=0.

A、C2m1

△>0,y"鬲记”=-萨而

1TYl—2

.∙.”=2(-+")=昕'Xo=ZM•昕T=

22

网=√(1+^)[(y1+y2)-4y1y2]=J(l+吗/：?-忌ɪ]=之怨曹之),

2

点M到直线X=-2的距离d=-⅛+2=铝尊>V2(l+m)=1

：.以AB为直径的圆与直线X=-2相离.

直线I的斜率为0时，以AB为直径的圆的方程为了+『=2与直线X=-2相离.

综上可得：以AB为直径的圆与直线X=-2相离.

21.(12分)研究表明，温度的突然变化会引起机体产生呼吸道上皮组织的生理不良反应,

从而导致呼吸系统疾病的发生或恶化.某中学数学建模社团成员欲研究昼夜温差大小与

该校高三学生患感冒人数多少之间的关系，他们记录了某周连续六天的温差，并到校医

务室查阅了这六天中每天高三学生新增患感冒而就诊的人数，得到资料如下:

日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天

昼夜温差X47891412

（0C）

新增就诊人yi)4

数y（位）

参考数据：∑P=1W=3160,∑f=1（%-为2=256.

（1）已知第一天新增患感冒而就诊的学生中有7位女生，从第一天新增的患感冒而就诊

17

的学生中随机抽取3位，若抽取的3人中至少有一位男生的概率为京，求），1的值；

（2）已知两个变量X与y之间的样本相关系数r=登，请用最小二乘法求出y关于X的

经验回归方程y=bx+α,据此估计昼夜温差为15℃时，该校新增患感冒的学生数（结

果保留整数）.

参考公式：b=$(XT(yς■刃,”一∑F=1(X]](y「力

22

%(XiF⅛1(Xi-X)∙⅛1(yi-y)

17

【解答】解一（1）抽取的3人中至少有一位男生的概率为焉,

则ι-∙⅜=⅛即7×6×57

,

Lylyι(7ι-l)(yι-2)-24

Λγι(yι-1)(W-2)=720=10X9X8,

.*.yι=10;

(2)V∑^1xi=54,

Λx=9,

∙'∙∑f=ι(Xi-初2=64,

∑匕(X「幻(X一力