2023年高考数学理一轮复习教学案第8章8-6几何法求空间角

8.6几何法求空间角

【考试要求】以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点.理解异面直线所成角、直

线和平面所成角和二面角的定义，并会求值.

【知识梳理】

1.异面直线所成的角

(1)定义：已知两条异面直线”,h,经过空间任一点。分别作直线“'//a,h'//b,把直线

a'与Z√所成的银鱼(或直角)叫做异面直线。与〃所成的角(或夹角).

(2)范围：(0,2.

2.直线和平面所成的角

(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的

角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是却2；一条直线和平面平行或在平面内，则它

们所成的角是0。.

(2)范围：［θ,5.

3.二面角

(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.

(2)二面角的平面角

若有①。日；三

(2)0ACct,OBU仇

(3)OA1∕,OBLl,则二面角a-1-B的平面角是NAo8.

(3)二面角的平面角α的范围：［0,π］.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)若直线/1,/2与同一个平面所成的角相等，则∕∣"∕2.(X)

TT

(2)异面直线所成角的范围为［θ,2j∙(×)

(3)如果平面α〃平面ɑ∣,平面夕〃平面夕1,那么平面α与平面夕所成的二面角和平面α∣与平

面加所成的二面角相等或互补.(√)

π

(4)线面角的范围为0,2»二面角的范围为［0,π］.(√)

【教材改编题】

1.如图所示，在正方体A8CD—AIBICQI中，E,F分别是43,A。的中点，则异面直线BlC

与E尸所成角的大小为（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

答案C

解析连接8∣Oι,OIC（图略），则BIoI〃EF,故/。6IC即为所求的角或其补角.又BlDl

o

=BlC=DtC,.∙.4BQιC为等边三角形，ΛZDιB∣C=60.

2.如图所示，AB是。。的直径，所在的平面，C是圆上一点，且乙48C=30。，PA

=AB,则直线PC和平面ABC所成角的正切值为.

答案2

解析因为用，平面ABC,所以AC为斜线PC在平面48C上的射影，所以NPCA即为尸C

IIDA

和平面ABC所成的角.在Rt△/¾C中，因为AC=5AB=5∕¾,所以tanN尸CA=彳=2.

3.如图，在正方体4BCZ）-A'B'C'D'中:

①二面角力—AB-。的大小为

②二面角4'-AB—。的大小为.

答案①45。②90。

解析①在正方体ABCD-A1B'C'D'中，ABJ_平面ADD'A',所以ABlAD',

AB±AD,因此/O'AD为二面角O'—的平面角.在Rt△£>'DA中，ND'AD=

45°,所以二面角£>'-AB-O的大小为45。.

②因为ABj_平面AD。A',所以4B_LAO,ABLAA',因此N4'AO为二面角4'一48一。的平

面角，又NA'AC=90。，所以二面角A'—AB—D的大小为90。.

题型一异面直线所成的角

例1⑴在长方体ABCD-AlBCOI中，AB=BC=I,ΛΛ∣=√3,则异面直线AO∣与。Bl所成

角的余弦值为（）

答案C

解析如图，连接8。|,交OBl于0,取AB的中点M,连接。M,OM.易知。为BDl的中

点，所以AD∖H0M,则NM。。为异面直线ADi与DBl所成角或其补角.因为在长方体

ABCD-AlBlCIZ)I中，A8=2C=1,AAι=√3,

AD↑=yjAD2+DD^=2,

DM=yjAD2+(^ABj2=卓

DB∖=√ΛB2+AZ)2+BBT=√5.

所以OM=TA。=1,OD=，Bi=坐,

于是在AOMO中，由余弦定理,

I2

√5

得cosZMOD=TT

2X1X当5，

即异面直线AA与。S所成角的余弦值为小.

延伸探究若将本例（1）中题干条件''AΛ=√5”变为"异面直线AlB与A。所成角的余弦值

9

为15”.试求AAl的值.

Λ

解设AAI=f,∖AB=BC=↑9

ΛAιCι-√2,4A=8Cι=正+1.

AlB2+8Cfle

，cosNAiBG=

2XA∣5X8C]

∕2+1+∕2+1-29

-2×√∕2+l×√r2+l-∙°,

解得/=3,贝∣JAA=3.

（2）（2022•衡水检测）如图，在圆锥SO中，AB,CD为底面圆的两条直径，AB∩CD=O,且

ABLCD,S0=0B=3,SE=^SB,则异面直线SC与OE所成角的正切值为（）

S

A率B坐C.∣∣D粤

答案D

解析如图，过点S作SF//OE,交AB于点R连接CR则∕CSF（或其补角）为异面直线SC

与OE所成的角.

；SE=；SB,.∙.SE=3BE.

又OB=3,ΛOF-∖θB=∖.

'JS0L0C,So=OC=3,

.∙.SC=3√i

'：S0L0F,：.SF=√502+OF2=√TO.

,JOCLOF,：.CF=√ib.

在等腰ascF中，

【备选】

（2022・郑州模拟）如图，在直三棱柱ABC-AlBlCl中,AC=BC=4,AC-LBC,CCl=5,D,E

分别是A8,SG的中点，则异面直线BE与CD所成的角的余弦值为（）

A坐BW

r√58D噂

J29

答案C

解析如图，取AIG的中点F,

易知EF是AAIiG的中位线,

所以EF∕∕A∖B∖且EF=∣A∣B∣.

^AB∕∕AiB↑S-AB=AιB↑,。为A8的中点,

所以BD∕∕A↑B↑且BD=^A↑Bι,

所以EF//BD且EF=BD.

所以四边形BZ)FE是平行四边形，

所以DF//BE,

所以NsF就是异面直线8E与CD所成的角或其补角.

因为AC=BC=4,AClBC,CC∣=5,D,E,尸分别是AB,BlCi,AIcl的中点,

所以C∖F=^A∖C∖-2,

BIE=T8∣G=2且CD±AB.

由勾股定理得AB=√42+42=4√2,

6κr,mACBC4X4r-

所以Cf)一ab-4^-2y∣2.

由勾股定理得CP=√为，DF=BE=叵

在ACDF中,由余弦定理得

（南2+（2的2―（啊2—我

COSZCDF=2×√29×2√2—29-

思维升华求异面直线所成的角的三个步骤

(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角.

(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角或其补角.

(3)三求：解三角形，求出所作的角.

跟踪训练1(1)(2021•全国乙卷)在正方体ABC。一AJBIGDl中，尸为Blf)I的中点，则直线PB

与AOl所成的角为()

ππ兀〜兀

A.yBqCaD6

答案D

解析方法一如图，连接C∣P,因为ABCo-A/IGn是正方体，且尸为BiA的中点，所

以C∣P±B∣D∣,又CIP_LB8i,所以C山_1_平面8方尸.又BPU平面SBP,所以CIPJ_BP.连接

BCi,则AD∖∕∕BC∖,所以/PBG为直线PB与ADi所成的角.设正方体ABCD-A↑B↑C↑D↑

的棱长为2,则在RtZSCiPB中，CIP=；BQI=啦，BCι=2√2,sin∕P8C∣=得=；,

TT

所以NPBG=不.

D15

方法二

如图所示，连接BC∣,AiB,AtP,PG,则易知AD|〃BG,所以直线尸B与Ad所成的角等

于直线PB与BG所成的角.根据尸为正方形4BGQ∣的对角线S出的中点，易知4,P,

Cl三点共线，且P为AIel的中点.易知AB=BG=AG,所以a4∣BG为等边三角形，所

Tr1Tt

以NAlBG=又尸为AlG的中点，所以可得NPBG=ENA∣8C∣=『

(2)如图，已知圆柱的轴截面A88∣A∣是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，G是圆柱上底

面弧4所的中点，那么异面直线AG与8C所成角的正切值为.

答案√2

解析如图，取圆柱下底面弧AB的另一中点。，连接Ci。，AD,

G

4B,

I，

I/

C

因为C是圆柱下底面弧AB的中点，

所以AZ)〃BC,

所以直线4G与AD所成的角等于异面直线AC与BC所成的角.

因为Cl是圆柱上底面弧4B∣的中点，

所以CQL圆柱下底面，所以CQLAD

因为圆柱的轴截面ABBιA∣是正方形，

所以ClD=巾AD,

所以直线AG与AD所成角的正切值为也，

所以异面直线AG与BC所成角的正切值为镜.

题型二直线与平面所成的角

例2如图，在四棱锥P-ABCD中，%_L平面ABCD,AB//CD,CD=4,PA=AB=BC=

AD=2,Q为棱PC上的一点，且PQ=<PC.

(1)证明：平面QB£>_L平面A8CZ)；

(2)求直线QD与平面PBC所成角的正弦值.

⑴证明连接AC,交BD于点、0,因为A8〃CQ,

所以AABOsacr>o,

又AB—^CD,

所以AO—^AC.

连接Q。，由PQ=\PC,

得QOHPK

由∕¾"L平面ABCQ,

得QO_L平面ABC。，

又QOU平面QBD,所以平面QBf)，平面ABCD.

(2)解过。作平面尸BC的垂线，垂足为H,连接HQ,

设。。与平面PBC所成的角为仇则NoQ”=。.

设DH=h,

VfteQ-BCD-VW*O-βCe>

δPβS∆BCD∙QO-βS∆Bcρ∙⅛∙

在四边形ABC。中，AB=BC=AD=I,CD=4,可得BD=2小,ZCBD=全

所以SΔBCD=∣×2×2√3=2√3.

24

由(1)得。。=可以=号则

在APBC中，PB=2y∣2,PC=4,由余弦定理得CoSNPCB=永贝IJSinNPCB=平，所以S.

=；X2X4X乎=巾，所以5∆βcρ=z3ɪ∙^r^∣×2√3×∣=∣×∣√7×Λ,

解得/2=零.

DH3√21

所以sinθ=

QD-14•

即直线QO与平面PBC所成角的正弦值为唔1

【备选】

如图，在四棱锥尸一ABCz)中，底面ABCf)为正方形，PD=BC=I,二面角P-CO-A为直

二面角.

(1)若E为线段PC的中点，求证：DELPB-.

(2)若PC=小,求Pe与平面附8所成角的正弦值.

⑴证明∙.∙PO=DC=1,且E为Pe的中点，

：.DEA.PC,

又；二面角P-CD-A为直二面角，

平面PC£>_L平面ABCD,

BCl.CD,平面PCDn平面ABCD=CD,

.∙.BC1,平面PCD,

ΛBClDE.

VBCc5FffiPBC,PCU平面P3C,BC∩PC=C,

，力E_L平面PBC,

又∙.∕Bu平面PBC,

：.DELPB.

⑵解若PC=事,

由余弦定理可求得NPQC=I20。，

过点尸作尸”，C。的延长线于H,如图，

可得PH_L平面ABCD,

在RtAPHD中，

PW=PDsin60°=半，

过〃点作〃G〃D4,且“G与BA的延长线交于G点.

可得HGYAB,从而PGYAB.

在RtAPHG中，PG='PH?+HG2=看,

•vJPH=IYlX亚=亚

•∙VP-ABC-^3、AABcrH^~ɜʌ2^2—ɪ2,

设点C到平面Λ4B的距离为儿

则三棱锥C一的体积

率=*，

V=∣SΔABP∙Λ-∣×2X

解得〃=案，设PC与平面B48所成的角为

互=亚

sinθ=^PC~7

即PC与平面PAB所成角的正弦值为半.

思维升华求线面角的三个步骤

一作（找）角，二证明，三计算，其中作（找）角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作

垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解.

跟踪训练2(1)如图,在直三棱柱ABC-AiBlCi中,。为AC的中点.若AB=BC=BBl,ZABC

=；,则CC1与平面BGD所成角的正弦值为

答案乎

解析过点C作CHI.GQ于点H,如图

；三棱柱48C-ABiG为直三棱柱，

."CU平面ABC.

∙.∙8OU平面ABC,

ΛCCι±BD.

•CAB=BC,。为AC的中点，

：.BDLAC,

又CCmAC=C,CC∣,ACU平面ACC1,

平面ACG,

ICHU平面ACG,

J.BDVCH.

又CHLCID,CiDΠBD=D,C↑D,BOU平面BC。,

；.C”_L平面BC1D,

：.NCC∖D为CCi与平面BCl。所成的角，

设AB=Ia,

则CD=g,ClD=啊,

(2)(2022•贵溪市实验中学模拟)如图，在长方体A8CO-AιBGOι中，AB=AO=I,AAl=2,

点P为。Q的中点.

①求证：直线BA〃平面B4C；

②求直线Br)I与平面ABC力所成角的正切值.

①证明如图，设AC和8。交于点。，则。为8。的中点,

P1C1

连接PO,又是力。I的中点，故P0∕∕BD∖,

又YPOu平面Λ4C,BON平面7¾C,

直线BDl〃平面PAC.

②解在长方体ABCD-AlBIC中，

平面ABCD,

：.NDlBD是直线BA与平面ABCD所成的角，

∙.∙OD∣=2,BD^AB2+AD2=√2,

∙,∙tan∕DιBD=1^=^∖f^,

直线BDi与平面ABCD所成角的正切值为由.

题型三二面角

例3(2022.郑州模拟)如图，已知矩形ABCD所在的平面垂直于直角梯形ABPE所在的平面,

且EP=√5,BP=2,AD=AE=∖,AEVEP,AE//BP,F,G分别是BC,BP的中点.

⑴求证：平面AFG〃平面PEC；

(2)求二面角D-BE-A的余弦值.

⑴证明；尸，G分别是BC,BP的中点，

：.FG//CP,且FGa平面PEC,CPU平面PEC,

则尸G〃平面PEC,

BG=PG=AE=I,且AE〃BP,AElEP,

四边形AEPG是矩形，则EP//AG,且AGQ平面PEC,EPU平面PEC,

则AG〃平面PEC,

又G4CGf=G,GA,GFU平面AF'G,

故平面AFG〃平面PEC.

(2)解：平面ABC£)_L平面ABPE,

.∙.AD，平面ABPE,则过A作AMJ_BE于M,连接。M,如图.

又AM∩AD=A,AM,AD⊂5FSAMD,

则BE_L平面AMD,

又QMU平面AMQ,

贝IJBELDM,

则NAΛ7。即为二面角D-BE-A的平面角，

由(1)知AG=EP=S,

则Aβ=√(√3)2+l2-2,

NABP=60°,NBAE=I20°,

BE=∙∖∣EP2+BP2-√(√3)2+22≈√7,

在AABE中，由面积公式知

,XoX亚

AEABsmZBAE1z2√21

AM=BE=~√7~=7'

在Rt∆ΛMD中，

AD=I,DM=N产+(率)=卑

啦I

AM_7_而

因此COSZAMD=丽=画=10'

7

即二面角D-BE-A的余弦值为骞.

【备选】

如图，在正方体ABCZ)ClCl中，点E在线段CDl上，CE=2EQ∣,点F为线段A8上的

动点，AF^λFB,且E尸〃平面AOZ)∣Aι.

(1)求义的值:

⑵求二面角E-OF-C的余弦值.

解⑴过E作EGLAO于G,连接GA,如图.

则EG〃CQ,而C。〃必，所以EG〃办.

因为EF〃平面ADDtAi,EFU平面EFAG,

平面EGAFn平面A。。IAl=G4,所以EF〃GA,

所以四边形EGAF是平行四边形，所以GE=AE

因为CE=2ED↑,

GE_D\E_\

所以~DC~~D^C=y

所以器当即轻斗所以入毛

(2)过E作EHVCD于“，过“作HMLDF于M,连接£M,如图.

因为平面CDDIeIj_平面ABCD,EHl.CD,

所以E〃_L平面ABCD.

因为DFU平面ABCD,所以EHlDF.

又HMl.DF,HMCEH=H,

HM,E”U平面EMH,

所以OF_L平面EMH.

因为EMU平面EMH,所以DFLEM.

所以/EMH是二面角E-O尸一C的平面角.

设正方体的棱长为3a,则EH=2a.

在RtaO“尸中，DH=a,HF=3a,DF=√Tθα,

DHHFa×3a3

所以=*=常.

_________7

在RlAEHM中，求得EM=yJEH2+HM2

所以COSNEMH=喝=

所以二面角E-O尸一C的余弦值为方

思维升华作二面角的平面角的方法

作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平

面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可

得二面角的平面角.

跟踪训练3如图，在四棱锥P-ABCr)中，四边形ABCZ)是边长为2的正方形，APBC为

正三角形，M,N分别为P。，BC的中点，PN1.AB.

(1)求三棱锥P-AMN的体积；

(2)求二面角M-AN-D的正切值.

解(I)VPB=PC,

IPNLBC,

又；PALLAB,ABHBC=B,

AB,BC⊂ΞF≡ABCD,

，PALL平面ABCD,

'JAB=BC=PB=PC=I,

；.PN=小,

M为PD的中点，VP-AMN=VD-ΛMN~VM-ADNJ

.∙.Up-AMN=;VP-ADN=弘-ABeD=}xgx4X√5=坐

(2)如图，取ON的中点E,连接ME,

VM,E分别为尸。，ON的中点，

J.ME//PN,

：PN_L平面ABCQ,

平面ABCD,

过E作EQL4M连接M。，

又ME_LAN,EQCME=E,EQ,MEU平面MEQ,

.∙.AN1,平面MEQ,

.∖AN±MQ,

NMQE即为二面角M-AN-O的平面角,

ΛtanZΛ∕βE=

VP∕V=√3,

:AN=DN=6AD=2,

tanZ

即该二面角的正切值为手.

课时精练

1.（2020・新高考全国I）日辱是中国古代用来测定时间的仪器，利用与唇面垂直的唇针投射到

辱面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为O）,地球上一点A的纬度是指OA与

地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置

一个日唇，若唇面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40。，则唇针与点A处的水平

面所成角为（

A.20oB.40oC.50oD.90o

答案B/

解析如图所示，O。为赤道平面，。0|为A点处的日署面所在的平面，

由点4处的纬度为北纬40。可知∕OAO∣=40。，

又点4处的水平面与OA垂直，唇针AC与。Oi所在的面垂直，

则唇针AC与水平面所成角为40。.

2.如图，出_1_圆。所在平面，AB是圆。的直径，C是圆周上一点，其中AC=3,以=4,BC

=5,则PB与平面BlC所成角的正弦值为（）n

解析根据题意，4B是圆。的直径，C是圆周上一点，则BCJ_AC,

又由∕¾，圆。所在平面，则必，BC,

因为∕¾ΠAC=4,PA,4CU平面∕¾C,

则BC，平面∕¾C,故NBPC是PB与平面∕¾C所成的角，在aACB中，AC=3,BC=5,4C_LBC,

则AB^γ∣AC2+BC2=√34,

在△物8中，Aβ=√34,PA=4,PAlAB,

则PB=y∣PA2+AB2=5√2,

在RtZ∖PCB中，BC=5,PB=5√2,

则sin/BPC=

器ΓD=坐Z.

3.（2022•哈尔滨模拟）已知在直三棱柱ABC-A向G中,NABC=I20。，3B=2,BC=CCl=

1,则异面直线ABl与BCl所成角的余弦值为（）

A雪B.f

√jθ√3

Jr5un-3

答案C

解析如图所示，补成直四棱柱A8C£>—48G。，

P1C.

AB

则所求角为NBGO,

VBCι=√2,BD=√22+1-2×2×1×cos60o=√3,ClO=AB1=•√5,易得CQ2=BD2+BC,

即BCJBD,

因此CoSNBGC=券=率=半.

ClDy∣5J

4.在正四面体P-ABC中，点M是棱BC上的动点(包含端点)，记异面直线PM与AB所成

的角为α,直线PM与平面ABC所成的角为£,贝∣J()

A.a>βB.a<β

C.a^βD.αW夕

答案C

解析根据题意，如图，作Po_L底面A8C,连接OM,

则NPMO是直线PM与平面ABC所成的角，

即/PMO=夕，

过点何作/平行于AB,过点P作PNJJ,与/交于点N,/“直C

B

线PM与AB所成的角，即ZPMN=a,在Rt∆POM和RtAPMN中，有PN力PO,则Sinct≥sin

β,则a邛.

5.在正方体ABC。-4B∣GQ∣中，下列说法不正确的是（）

D,

D

A.A↑C↑±BD

B.AiClBD

C.BC与8。所成的角为60。

D.Acl与平面ABCD所成的角为45°

答案D

解析对于A,如图，

由正方体性质可知

fiιD,±AlCι,

又因为

BBi∕/DDi,

且BBl=DDI,

所以四边形BBIDID为平行四边形,

所以BlDI〃BD,

所以A∣C∣LBD,故选项A正确；

对于B,如图，

由正方体ABCBIeIA可得CGJ-平面ABCD,

BDU平面ABCD,

所以

CCiA.BD,

由选项A可知4G又AlCmCCl=C

AlCi,CelU平面AlelC,

所以8。JL平面AIGC,因为AICU平面4C∣C,

所以8。，AIC,故选项B正确;

对于C,如图，

由选项A可知BD∕∕B∖D∖,

所以/CBQi为直线BlC与直线30所成的角,

由正方体性质可知aBCA为正三角形,

所以NCsa=60。，故选项C正确；

对于D,如图，

由CGl.平面ABCD,

所以NGAC为直线AG与平面ABC。所成的角,

在正方体ABCQ—A∣8∣C∣Q∣中，AC=√2CC∣,

.CC∣√2

tanz_CA.C↑AC2，

所以NcAejr45。,

故选项D错误.

6.如图，已知圆锥的顶点为S,底面圆。的两条直径分别为AB和Cn且AB"LCD,若平面

SAQ∩平面SBC=/,以下四个结论中正确的是（）

①AD〃平面SBC；

②/〃A。；

③若E是底面圆周上的动点，则ASAE的最大面积等于ASAB的面积；

@l与平面SCD所成的角为45°.

A.①②③B.①②④

C.①③④D.②③④

答案B

解析已知圆锥的顶点为S,底面圆。的两条直径分别为AB和CC,且

所以四边形ACB。是正方形.

所以A£>〃BC,

又BCU平面SBC,AW平面SBC,

所以AO〃平面SBC,①正确；

因为AO〃平面SBC,平面SAo∩平面S8C=/,ADU平面SA。，

所以/〃A。，②正确；

若E是底面圆周上的动点，当/AS8W90。时，

△SAE的最大面积等于ASAB的面积，

当NASB>90°时，

△SAE的最大面积等于两条母线的夹角为90。的截面三角形的面积，③不正确；

因为l//AD,/与平面SCQ所成的角就是AO与平面SCO所成的角，

即/AOO=45。，④正确.

7.在正四棱锥P-ABCO中，底面边长为2,四棱锥的体积为本则二面角P—AB—C的大小

为.

答案45°

解析如图，连接AC,BD交于点E,

依题意，PE_L平面ABCr>,

取AB的中点尸，连接FE,FP,易知ABVEF,ABLPF,

则/PFE为二面角P-AB-C的平面角，

14

又VP-ABCD=马X2X2XPE=马,

故PE=1,PE=EF=I,

...△PEF为等腰直角三角形，

/PFE=45。.

8.在三棱锥S-ABC中，Z∖ABC是边长为2的正三角形，SA，平面ABC,且SA=2,则AB

与平面SBC所成角的正弦值为.

套案近ɪ

口>κ7

解析如图，取BC的中点。，连接AO,SD,过A作40LSE),交SD于点0,连接08,

S

：在三棱锥S-ABC中，4ABC是边长为2的正三角形,

SAJ_平面A8C,且SA=2,

：.ADLBC,SD1.BC,5A±AD,

∖'AD∏SD=D,AD,SnU平面&4。，

.∙.BCJ.平面SAD,

：.BClAO,

AD=y∣4-1=Λ∕3,SD=y/4+4—]=币,

∖,^×SA×AD=^×SD×AO,

"：AOLSD,SDQBC=D,SD,BCc5FWSBC,

...4。_1_平面SBC,

：./ABO是AB与平面SBC所成的角，

：.AB与平面SBC所成角的正弦值为

20_

.“CAO7y∕2l

sɪnAABO=~^=~^ɔ-=γ-.

9.如图，已知在三棱锥A-BcD中，平面ABZ)_L平面ABC,ABLAD,BC±AC,BD=3,AD

=1,AC=BC,M为线段AB的中点.

(1)求证：BCl.平面ACC；

(2)求异面直线MD与BC所成角的余弦值；

(3)求直线MD与平面ACD所成角的余弦值.

(1)证明∙.∙平面AB£>_L平面ABC,平面ABQC平面ABC=A8,ADLAB,A。U平面ABQ,

.•洛。_1平面ABC,：.ADLBC,

)LAC.LBC,ADΠAC=A,AD,ACu平面Ae。，

BC，平面ACD

⑵解如图，取AC的中点N,连接MMDN,

是AB的中点，

.∖MN∕∕BC,

.∙.∕NMD(或其补角)为异面直线Mz)与BC所成的角,

由(1)知BCi.平面ACD,

MALL平面AC。，MNLND,

VBD=3,AD=I,ABYAD,

ΛΛB=2√2,

XVΛC=BC,ACVBC,：.AC=BC=2,

在Rt∕∖MND中，MN=；BC=1,

MD=γ∣AD1+AM2=√3,

MNN

ACOSZWD=^MD~3

即异面直线M。与BC所成角的余弦值为坐.

(3)解由(2)知NMfw为直线Mf)与平面AC。所成的角,

在RtZXMVQ中，ND=、MD?—MN?=巾,

./…一坐一也一迈

..cosZMDN-md-^-3,

即直线MQ与平面ACC所成角的余弦值为孝.

10.如图，在三棱锥A-BeD中，ZXABO为等边三角形，BC=BD,平面ABQ_L平面8C。且

BAA.BC.

A

BD

C

⑴求证：BCLAD-,

(2)求二面角A-CD-B的正切值.

⑴证明如图，取BO的中点E,连接AE,

则AE因为平面ABDJ"平面BCr>,平面ABon平面BCD=8。，4EU平面ABD,

则AE_L平面BCD,

所以4E1.8C,

又因为AB_L8C,AB∏AE=A,

AB,AEC5F≡ABD,

则BCV平面ABD,因为ADU平面ABD,

贝UBCLAD.

⑵解如图，过点E作EFLCQ交Co于点F,连接AF,

由(1)知AE_LCZ),AECEF=E,AE,EF⊂5FSAEF,

所以CDJ_平面AEF,

因为AFU平面AER

贝UCDlAF,

所以NAFE为二面角A-Cz)-8的平面角.

因为AABO为等边三角形，设BO=2,

则AE=√5,M=坐，

则tanNAFE=普=£=黄.

2

所以二面角A-CD-B的正切值为优.

11.在长方体ABCZ)-ABlGA中，底面ABCO是正方形，异面直线AB与AlC所成角的大

小为全则该长方体的侧面积与表面积的比值是()

.4-2√2

A.----b-4

c8-2√24-√2

d-8^

答案C

解析如图，连接BC,

ΛB

因为AB"A∣3,

所以N8ι4C是异面直线AB与4C所成的角,

IITt

即ZB↑A∖C=y

设A8=x,AA∣=j,

21222

在AAiBiC中，B↑C=x+y,AiC=2x+ff

22222

Λ---+---2--x---+--y-----(--x---+--γ---)...—1

则cosZB∣A∣C=,

2X∙√2Λ2+/^2

整理得y=√∑r,

从而该长方体的侧面积S∖=4xy=4y∣2x2,

该长方体的表面积

S2=4盯+2Λ2=(4√2+2)Λ2,

S4√2X28~2√2

故:1

52^(4√2+2)X2^7

12.已知正四面体A-BCZ）的棱长为2,点E是AO的中点,点F在线段BC上，则下面四

个命题中:

Φ3F∈BC,EF//AC-,

(2)∀F∈BC,EF≤√3;

③mF∈BC,E尸与AC不垂直;

直线EF与平面BCD夹角正弦的最大值为乎.

Θ∀F∈BC,

所有不正确的命题序号为

答案①③

解析如图,

对∖∕F∈BC,EF与AC异面或相交，故①错误;

当点F为8C的中点时，EF为异面直线A。和BC的公垂线段，此时EF取得最小值，当尸

与B,C重合时，E尸取得最大值小，故②正确；

因为ADLBE,ADlCE,BECCE=E,所以AZ）J_平面BEC,故4DJ_EF,故③错误;

d

因为E到平面BS的距离为定值d,设直线E尸与平面BCO的夹角为仇则sinO=当

EF'F

为BC的中点时，易知EF为异面直线AD和BC的公垂线段，此时EF取得最小值，sin，=g

LLr

有最大值，此时QF=√5,DE=I,故EF=¢-1=小,在Rt△£："）中，EFDE=DFd,解

得d=坐，所以sinθ=∙⅛=坐，故④正确.

J匕FJ

13.在三棱锥S-ABC中，底面4ABC是边长为3的等边三角形，SA=√3,5B=2√3,二面

角S-AB-C的大小为60°,则此三棱锥的外接球的表面积为.

答案13兀

解析根据题意，SA2+AB2=SB2,

所以&4_LA8,取AB的中点为。，SB的中点为M,连接M。，则M。〃&4,

ΛZO=gsA=坐,MDLAB,

△ABC是正三角形，CDLAB,

NMDC是二面角S-AB-C的平面角，

ZMDC=GOo,

NSAB=90。，M是ASAB的外心,

设N在C。上，CN=2ND,N是AABC的外心,

设过M与平面SAB垂直的直线与过N垂直于平面ABC的直线交于点0,

则。是三棱锥S—ABC外接球的球心.

连接。8,BN,

CN=BN=乎X3=√5,Z)N=坐，

又Z)M=坐，

在四边形MfW。中，ON=3,外接球半径为

14.如图，在矩形ABC。中，AB=2,BC=I,E是CO的中点，将aAOE沿4E折起，使折

起后平面AQEj_平面ABCE,则异面直线AE和CD所成角的余弦值为

答案坐

解析由题意，取AB的中点F,连接CF,DF,

则CF"AE、可得直线AE和CD所成的角为CF(或其补角),

如图，

取AE的中点M,

连接。M,MF,MC,

λ:AD=DE,

：.DMLAE,

又平面AQEJ_平面ABc