小升初衔接班数学讲义

第一讲丰富的图形世界

【知识要点】

一、正方体的平面展开图（11种）；

“一四一”型：6个

I™⅛⅛Φj⅛

“一二一”开q.qA

三”型：1个二”型：1个

出字格对顶格

二、几何体的三视图（正视图、左视图、俯视图）；

（-）已知几何体，画三视图

1.正（主）视图：从左往右看（有几列，每列最高有几层），数字化写了下面;

2.左视图：从里往外看（有几列，每列最高有几层），数字化写了左侧；

3.俯视图：最底层（方位）.

如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体，请画出它的三种视图./—）

（-）已知三视图，确定几何体

1.将正视图数字化写在俯视图的下面；将左视图数字化写在俯视图的左侧；

2.将“1”所在的行或列全部填“1”；

3.分析其它空格的可能性（最高值）

如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图，那么搭成这个几何体所用

的小立方块的个数是

主视图左视图俯视图

1

【新知讲授】

1.如图，将标号为A、B、C、D的正方形沿图中的虚线剪开后得到标号为P、Q,M、N的四

组图形，则按A、B、C、D

的顺序确定正确对应的图

形顺序是().0

A

(A)P、M、Q、N

(B)Q、N、M、P

(C)M、P、Q、N/

P

(D)N、Q、P、M

2.在桌子上放着五个薄圆盘如右图所示.它们由下到上放置的次序应当是

(A)X，Y,Z,W,V(B)X,W,V,Z,Y

(C)Z，V,W,Y,X(D)Z,Y,W,V,X

3.在下列图形中(每个小正方形皆相同)可以是一个正方体表面展开图的

是()•

(A)(B)(C)(D)

(A)(B)(C)(D)

7.如图所示的几何体是由六个小正方体组合而成的，它的左视图是().

田HBB□隹

<A>(B)(C)(D)

2

8.由几个小立方体搭成的一个几何体如图1所示，它的主（正）视图见图2,那么它的俯视

图为().

∏4ΞIR"∏

(A)(B)(C)(D)图□1图2

10.如果用口表示1个立方体，用口表示两个立方体叠加，用■表示三个立方体叠加，那么

下面右图由7个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是).

(A)(B)(C)(D)

11.下图是由一些相同的小正方形构成的几何体的三视图，那么这些相同的小正方形的个数

是（）.

（A）4(B)5(C)6(D)7

12.已知一个物体由X个相同的正方体堆成，它的主视图和左视图如图所示，那么X的最大

值是（).

（A）13（B）12（C）11(D)W

从左边看从上面看

a主视图左视图

（第11题图）（第12题图）（第13题图）

13.一个画家有14个边长为Im的正方体，他在地面上把它们摆成如图所示的形式，然后他

把露出的表面都涂上颜色，那么被涂上颜色的总面积为（）.

（A）19m2（B）21m2（C）33m2（D）34m2

14.把图中的片沿虚线折起来，便可成为一个正方体，这个正方体4号面的对面是

号面.

（第14题图）（第16题图）

15.长方体的主视图、俯视图如图所示（单位：m）,则其左视图面积是___________..

3

16.把图（1）的正方体表面展开成图（2）时，有一个面的4条棱都没有被剪开，这个面是正方

形.（用字母表示）.

17.由一些相同的小正方体构成一个立体图形，如图是从不同的方向看这个立体图形的平面

图形，则构成这个立体图形的小正方形的个数是

CBSc⅛

主视图左视图

18.如图是一个正方体木块的表面展开图.若在正方体的各面填上数，使得对面两数之和为7,

则A处填的数是,B处填的数是，C处填的数是

19.一张桌子上摆放若干碟子，从三个方向上看，三种视图如下图所示，则这张桌子上共摆

放有个碟子.◎©

春亨o≡

主视图左视图（o）俯视图

21.如图都是由边长为1的正方体叠成的图形.例如第（1）个图形的表面积为6个平方单位，

第（2）个图形的表面积为18个平方单位，第（3）个图形的表面积是36个平方单位.

（1）依此规律，求第（5）个图形的表面积是多少个平方单位？

（2）第（n）个图形的表面积又是多少个平方单位？

⑴⑵⑶(4)

23.如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图，分别写出搭成这个几何体

所用的小立方块的个数.

(1)

共用块小立方块;

主视图左视图俯视图

共用块小立方块;

主视图左视图

共用块小立方块;

24.如图，是由一些大小相同的小正方体组成的简单的几何体的主视图和俯视图

(1)请你画出这个几何体的一种左视图；

(2)若组成这个几何体的小正方体的块数为n,

请你写出n的所有可能值.

主视图俯视图

5

第二讲线段

【知识要点】

一、直线、射线、线段;

1.区另U：

直线_______W_______线段

图形

•-----

A3_____________

射线前（赢BA）

直线AB（直线BA）线段AB（线段BA）

几何表示

同一条直线不同射线同一条线段

端点没有__________1个2个

延伸方向两端延伸一端延伸无延伸__________

长度度量_________TO________________________________________________________

2.关系（联系）：射线、线段是直线的一部分

射线：直线上一点及一旁的部分；线段：直线上两点及两点之间的部分；

3.注意：两点确定一条直线；两点确定两条射线；两点确定一条线段；

二、线段的中点；

1.定义：将一条线段平均分成相等的两段的点.--------------

2.性质：如图，P为线段AB的中点，则有：AP

ΦPA=PB;（2）AB=2PA;③AB=2PB;④PA=IAB；⑤RB=IAB；

22

3.判定P为线段AB的中点：注意点P是否在线段AB±；

（注意在无图条件下区别：在直线..AB

上）；三、线段的有关计算（和、差、倍、分）；

四、两点间的距离

1.定义：连接两点间的线段的长度；

2.能用“两点之间线段最短”来解释生活中的实际问题；

3.应用：判断A、B、C三点共线的方法：

AB、AC、BC三条线段的长度满足其中两条线段的长等于第三条线段的长

【新知讲授】-----Q-AB——-------

1.如图，下列说法不正确的是（）.

射线OA与射线OB是同一条射

（A）直线AB与直线BA是同一条直线（B）线

（C）射线OA与射线AB是同一条射线（D）线段AB与线段BA是同一条线段

6

2.下列图形中，能相交的是().

(A)(B)(C)(D)

3.点C在线段AB上，给出下列关系：①AC+BC=AB;(2)AB-AC=BC;(3)AB-BC=AC;④AC=BC.其

中一定正确的个数是().

(A)O个(B)I个(C)2个(D)3个

4.点M在直线AB上，下列条件中能判断点M为线段AB的中点的是().

(A)AM=_AB(B)AB=2BM(C)AM=BM(D)AM+BM=AB

2

5.下面说法中不正确的是().

(A)两点之间线段最短(B)两点确定一条直线

(C)直线、射线、线段都有中点(D)两条不同的直线相交有且只有一个交点

6.下面各种情况中，A、B、C三点在同一条直线上的是().

(A)AB=5cm,AC=4cm,BC=2cm(B)AB=20cm,AC=8cm,BC=15cm

(C)AB=16cm,AC=10cm,BC=3cm(D)AB=13cm,AC=16cm,BC=3cm

7.C为线段AB延长线上的一点，且AC=3AB,则BC为AB的J

8.已知A、B、C在同一直线上，AB=8,BC=4,则线段AC的长度沟

9.已知AB=3,AC=9,当Bg时，点A、B、C在同一条直线上.

10.如图，AC=BC=3,BD=b,则AD=.

11.如图，已知线段AB=11,C、D为AB上的两点，且AD=8,BC=9,则线段CD的长为.

ACDbACDB

12.如图，B、C两点把线段AD分成2：3：4三部分，M是AD的中点，MC=I,贝∣JAD

13.如图，己知B、C是线段AD上的两点，M是AB的中点，N是CD的中点，MN=a,BC=b,

则线段AD=.

ABMCDAMBCND

14.一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点Al处，

第二次从Ai点跳动到OAl的中点A2处，第三次从A2点跳动到OA2的中点A3处，如

此不断跳动下去，则第n次跳动后，该质点到原点。的距离为?

P

P

PPX

OA4A3A2A1A

15.如图，AB：BC：CD=2：3：4,E,F分别是AB和CD的中点，且EF=12厘米(Cm),求AD

12星米7

AEBCD

的长.

16.如图，延长线段AB到C,使BC=3AB,点D是线段BC的中点，如果CD=3cm,那么线段AC

的长度是多少？

氏-------：-----：-----,

BDc

17.如图，B、C是线段AD上两点，M是AB的中点，N是CD的中点.若MN=a,BC=b,求AD.

A~嬴水、记^^ND

b

18.如图，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为AM的

中点，Q为AN的中点，求见的值.

PQ

APQMNBC

8

19.如图，在直线I上取A,B两点，使AB=Io厘米，再在I上取一点C,使AC=2厘米，M,

N分别是AB,AC中点.求MN的长度.

•・•••/

ANCMB

(«)

•♦・・♦/

CNAMB

0>)

20.已知：如图，线段AB=10,P为线段AB上一个动点，M为PA的中点，N为PB的中点.

(1)试问：当P点运动时，线段MN的长度是否发生改变？若不变，请你求出线段MN

的长；若改变，请说明理由；

AIVΓPNB

(2)如图，若P为线段AB反向延长线上的一个动点，其它条件不变，试问：当P点运

动时，线段MN的长度是否发生改变？若不变，请你求出线段MN的长；若改变，

请说明理由..一

PMANB

21.如图，动点A从原点出发向负方向运动，同时动点B也从原点出发向正方向运动，3秒

9

后，两点相距15个单位长度.己知动点A、B的速度比是1:4(速度单位：单位长度/秒).

(1)求出两个动点的运动速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒时的位置；

-----------------------------------------------------------------------------------►

-12-9-6-303691215

(2)若两点A、B从(1)中的位置同时按原速度向数轴负方向运动，几秒时，原点恰好

处在两个动点A、B之间的!处？

3

(3)在(2)中人、B两点同时向数轴的负方向运动时，另一动点C和点B同时从B点出

发向A运动，当遇到点A后立即返回向B点运动，遇到点B后又立即向A点运动，

如此往返，直到B追上A时，立即停止运动.若点C一直以20单位长度/秒的速度匀速

运动，那么从点C开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？

10

第三讲角（1）

【知识要点】

一、角

1.定义1：共顶点的两条射线;

定义2：将一条射线绕端点旋转而成的图形；

2.角的表示方法：ZAOB或/1或Na等；/

二、1.特殊角：周角（360°）、平角（180°）、直角（90°）；/

2.钝角：大于90°且小于180°；/

3.锐角：大于0°且小于90°；ʌ-1---------

注意：在没有特别条件下，研究的角都是大于0°且小于180°的角；

三、角的度量

1.度、分、秒的换算与计算；

2.钟表是的角度问题（秒针、分针、时针的追及问题）：

秒针的速度：360°/分、分针的速度：6°/分、时针的速度：_°/分;

角的平分线（类比中点研究角平分线

定义：

性质：如图：OP平分NAc）B,则有：

①NI=N2；②NAOB=2/1；③NAoB=2/2；

④/1=NAOB；⑤/2=ZAOB；

3.判定OP平分/AOB点：注意射线OP是否在角NAoB的内部

（注意在无图条件下区别：在角NAOB的外部）；

4.折叠问题与角度计算问题（折叠线即角平分线）

四、角的和、差、倍、分的计算.

【新知讲授】

例一、度、分、秒的换算与计算

（1）36°42'52"=°（保留两位小数）；

36.42°=°:"；

（2）计算：

①27。47,36"+35°27,42"=；

②89°12,24,,-35°57,39"=；

③27°47,×3-108°30,÷6=.

例二、钟表上的角度问题

仔细观察时钟钟面，请回答：7点到8点之间

（1）时针与分针成直角是在；

（2）时针与分针重合是在；

（3）时针与分针之间的夹角为60。是在:

例三、角度的计算

11

(1)如图，将两块直角三角板的某个顶点重合为如图的位置,

①图1中，ZBCD=；

②图2中，ZACB=；

③图3中，若∕ACE=72°,则NBCD=°

(2)已知：如图，。为直线AB上一点，过O作射线OC,OD平分/AOC,C)E在NBOC

勺，

且NBoE=2NCOE,若NDC)E=72°,求NBe)E的度数.

AOB

【题型训练】

1.若NAc)B=30°,自NAc)B的顶点0引射线0C,若NAOC：/A0B=4：3,则NBoC=().

(A)10o(B)40o(C)70o(D)W。或70°

2.下面说法中正确的是().

(A)若NAOB=2/AOC,则OC平分NAoB(B)延长NAe)B的平分线OC

(C)若射线OC、0D三等分NAc)B,则若NAOC=/DOC(D)若C)C平分NAoB,则/AOC=/BOC

3.如图，Z1=15o,ZAOC=90o,点B、0、D在同一直线上，则/2的度数为().

(A)750(B)15。(C)105o(D)165。

4.如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB,AC,则这两条对角线的夹角/BAC

的度数为().

(A)60o(B)75。(C)90。(D)45°

5.在如图所示的4X4的方格表中，记NABD=α,NDEF=B,NCGH=Y,则().

(A)β<ɑ<γ(B)β<γ<ɑ(C)ɑ<γ<β(D)⅛4<β<γ

a

B乂、/~IΓM¾ʃlE

6.4点钟到5点钟之间，时针、分针有两次成90°,这两次成90°角的时间间隔是().

12

360分钟(C)_0分钟(D)45分钟

(A)30分钟(B)

1111

7.如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF对折后使两部分重合，若N1=50°,则NBFE=().

(A)60o(B)65o(C)70o(D)80°

8.如图，将直角三角形纸片ABC(ZBAC=90o)沿线段AD折叠，使B点落在E点，且AC恰

好平分NDAE,则NBAD的度数是().

(A)60。(B)67.5o(C)70。(D)75

9.如图，将一个三角形纸片(△，)，沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若NADE=50°,

则∕BDF=().CB

(A)50。(B)60。(C)70。(D)80。

11

10.如图，ZBOD=2ZBOA,OC平分NAOD.下列结论：①/-BOC=ZAOB；(S)Z-BOC=Z

AOB；

32

③ND0C=2ZBOC；④/D0C=3ZBc)C.其中正确的结论有().

(A)①②(B)③④(C)①④(D)②③

11.钟表时间是2时15分时，时针与分针的夹角是----------.

12.计算：(1)37。28,+44o49,-------------------；(2)25036,X4≡----------------------；

(3)108o18,32"-52°42,30h=---------------；(4)163o÷7=-----------------(精确到分).

13.以NAOB的顶点O为端点引射线C)C,使得/AOC：NBOC=5：4,若NAe)B=I5。，则/AOC

的度数是--------

14.如图，Z1：Z2：Z3:Z4=1：2：3：4,则N3的度M-

15.如图，将一个直角三角形纸片(NACB=90o),沿线段CD折叠，使点B落在点B,处，若

ZACBι=60o，则∕ACD≡-：--------

16.如图，已知NEOF=90°,直线AB经过点O,ZBOF-ZAOE=,若NAOF=2/AOE,

贝IJ

17.

(第14题图)(第15题图)(第16题图)(第17题图)

18.在/AOB的内部，以O为端点画一条射线，可构成3个角，画2条射线可构成6个角.

13

(1)如图，画3条射线，那么图中共有个角；画5条射线，有个角；

(2)如果在NAOB的内部，以。为端点画射线，能否构成46个角？若能，请问画了多

少条射线；若不能请说明理由；E

(3)试探索：如果引出n条射线，有多少个角？AD

C

B

0

19.直线AB、CD相交于点0,OE平分NAoD,ZFOC=90o,Z1=40°,求N2与N3的度数.

20.己知0为直线AB上的一点，ZCOE是直角，OF平分/AOE.

(1)如图1,若NCoF=34°,则/BOE=；若NCOF=mo,则NBOE=；

NBOE与NCOF的数量关系为；

(2)当射线OE绕点0逆时针旋转到如图2的位置时，(1)中NBOE与/CoF的数量关

系是否仍然成立？请说明理由.

(3)在图3中，若NeoF=65°,在NBoE的内部是否存在一条射线OD,使得2NB0D与

14

第四讲角(2)

【知识要点】

一、两个角之间的特殊数量关系:

1.余角:和为90°的两个锐角叫做互为余角，其中一个是另一个的余角;

2.补角：和为180°的两个角叫做互为补角，其中一个是另一个的补角;

二、方位角；

1.正东、正南、正西、正北方向；

2.东南、东北、西南、西北方向；

3.北偏东α°(0<a°<90°)

北偏西a°(0<a。<90°)

南偏东a°(0<a°<90°)

南偏西a°(0<a°<90°)

三、与角度有关的综合计算.

【新知讲授】

例1、如图，已知/AOC=ZDOE=90o.

(1)如果/1=38°,求NBc)E的度数。

(2)写出图中与N1互余的角：

(3)写出图中与N1互补的角：

例2、(1)一个角的余角与这个角的补角的和比平角的2多1°,求这个角

4

(2)一个锐角的补角与这个角的余角的度数比为3：I,则这个角的度数为

(3)一个角的补角比它的余角大.

例3、如图,已知A、0、E三点在一条直线上，OB平分NAOC,ZAOB+ZDOE=90o,试问:

/COD与NDOE之间有怎样的关系？说明理由.

15

例4、如图，O是直线AB上一点，OC平分/AOB,在直线AB另一侧以。为顶点作N

DOE=90Q.(1)若NAOE=48°,那么/BOD=；NAC)E与NDoB的关系是

(2)/AOE与NCOD有什么数量关系？请写出你的结论并说明理由.

C

例5、已知:如图，C)B是NAOC外一条射线，比OM平分NAOB,ON平分,BOC.

(1)当/AOC=90o,dBOC=60oβ时，MON=；

(2)猜想：N当AOC=,ZBOC=,ZMON的度数为

请证明你的结论;

B

(3)若OB是NAc)C内一条射线，其它条件不变，(2)中结论是否依然成立？请画出

图形并证明你的结论.

O1----------------C

例6、如图，货轮0在航行过程中，发现灯塔A在它的南偏东60。的方向

上.同时，在它的北偏西30°、西北方向上又发现了客轮

B和海岛C.

(1)仿照表示灯塔方位的方法，在图中画出表示客轮B和

海岛C方向的射线；

(2)在(1)的条件下填空：ZBOC=,ZBOE=

和NAC)D互余的角为：

例7、在海上，灯塔位于一艘船的北偏东40°方向，那么这艘船位于这个灯塔的()

(A)南偏西50°方向(B)南偏西40°方向

(C)北偏东50°方向(D)北偏东40°方向

16

【题型训练】

1.互为余角的两个角之差为35°,则较大角的补角是().

(A)117.5o(B)112.5o(C)125o(D)127.5°

2.两个角的大小之比是7:3,它们的差是72°,则这两个角的关系是(

(A)相等(B)互补(C)互余(D)无法确定

4

3.若NB与Na互补，NY与Na互余，且NB与NY的和是个平角，则NB：Za=()

~3

(A)2(B)5(C)11(D)无法确定

5

4.如图，ZA0B=180°,OD是NCoB的平分线，OE是NAOC的平分线，设/BOD=a，则与

的余角相等的角是().

(A)ZOOD(B)ZODE(C)ZDOA(D)ZCOA

5.如图，直线AB、DE相交于点0,从点0引射线0C,使/COD=90°,下列结论：①/AOC

与NBOD互余；②NAOC=NB0D：③NAOC与NBoC互补；④NBoE与NBoD互补.其中正

确

的结论的个数是().

AoBEB

7.对于锐角NAOB,下列说法：①NAOP=ZBOP；②NAoP=^lZAOB；③NA。B=NAoP+NBOP；

2

④NAOP=NBe)PJNAc)B.其中能说明射线OP一定是NAOB的平分线的有().

2

(A)①②一(B)------⑦©④(C)①④(D)只有④

8.如图，把一张矩形纸片沿着EF折叠，点C、D分别落在M、N的位置，且/MFE=2ZMFB,

W∣JZMFB=-----------

如图，0是直线AB上一点，ZAOD=120o,/AOC=90°,OE平分N.BOD,则图中彼此互

补的角有

10.如图，0AB上一点，Z/OB平分/CoP,图中与NDOE互余的

互补的角

E

A0B

AOB

C

17

11.己知将一副三角板(直角三角形OAB和直角三角形0CD,NAOB=90。，ZCOD=30")如

图1摆放，点0、A、C在一条直线上.将直角三角形OCD绕点。逆时针方向旋转α.

(1)如图2,当a为多少度时，C)B恰好平分NCOD?

(2)如图3,当0°Va<90°时，作射线C)M平分NAOC,射线ON平分NBOD,在旋转

过程中，ZMON的度数是否发生变化？如果不变求其值；如果变化，说明理由.

(3)如图4,当180°<a<270°时，射线OM、ON仍然分别平分NAOC、ZBOD,在旋

转过程中，(2)中的结论是否成立？写出你的结论并根据图4说明理由.

12.将一个含60°角的直角三角板OAB(NAOB=60°)如图1放置，射线OA表示正北方向.

18

（1）观察图形回答:

①B在。点的方向；②O在B点的方向;

③B在A点的方向；④A在B点的方向.

（2）如图2,将此三角板绕O点顺时针旋转40°角到三

角板OA旧I位置，试问Bl在O