2014-2023年北京高考真题与模拟试题：平面向量（解析版）

大数据之十年高考真题(2014-2023)与优质模拟题(北京卷)

专题07平面向量

真题汇总/

1.【2023年北京卷03】已知向量己，石满足1+3=(2,3)石一3=(—2,1)，则回2—|由2=()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

向量d,b满足d+b=(2,3),a—b=(-2,1),

所以同2-|g|2=(5+h)•(a-h)=2x(-2)+3x1=-1.

故选：B

2.【2022年北京卷10]在△ABC中，AC=3,FC=4,zC=90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC=1,

则方•丽的取值范围是()

A.[—5,3]B.[—3,5]C.[—6,4]D.[—4,6]

【答案】D

【解析】

解：依题意如图建立平面直角坐标系，则C(0,0)，4(3,0),8(0,4),

因为PC=1,所以P在以C为圆心，1为半径的圆上运动,

设P（cos9,sin0）,66[0,2TT],

所以PZ=（3—cos。,一sin。），PB=（—cos0,4—sin。），

所以P4-PB=（—cos。）x（3-cos。）+（4-sin。）x（—sin。）

=cos20—3cos0-4sin。+sin20

=1-3cos0—4sin0

=1-5sin（。+0）,其中sin（）o=±cos（p=

因为-1<sin（0+<p）<1,所以-4<1-5sin（0+（p）<6,即西•~PBG[—4,6];

故选：D

3.【2019年北京理科07】设点A,8,C不共线，则“6与成的夹角为锐角”是“成+急>|品的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】解：点4,B,C不共线，

“几与几的夹角为锐角”=U\AB+AC\>\BC\n,

U\AB+AC\>\BC\n="力与元的夹角为锐角”,

二设点A,B,C不共线，则“易与A的夹角为锐角”是U\AB+AC\>\BC\'r的充分必要条件.

故选：C.

4.【2018年北京理科06】设2％均为单位向量，则“向一3&=丽+6'是的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】解：：“向一3力|=丽+小”

.,.平方得必+9|b『*6a*b=9|a|2+|d|2+6a*h,

即1+9-6a*b=9+l+6a*d,

即I2a'b=0,

则a・b=0,即a_Lb,

则“向-3&=|3之+加'是%，於的充要条件，

故选：C.

5.【2017年北京理科06】设蔡，/为非零向量，则“存在负数入，使得藐=底”是“藐G<0”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】解：m,1为非零向量，存在负数入，使得益=武，则向量茄，蔡共线且方向相反，可得益GvO.

反之不成立，非零向量/，［的夹角为钝角，满足/•£<（）,而薪=证不成立.

.・・藐，蔡为非零向量，则”存在负数入，使得薪=入『’是蓝・£<0”的充分不必要条件.

故选：A.

6.【2017年北京文科07】设益/为非零向量，则“存在负数入，使得茄=入/'是"蓝GvO”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】解：m,1为非零向量，存在负数入，使得藐=证，则向量藐，蔡共线且方向相反，可得益Gvi）.

反之不成立，非零向量薪，蔡的夹角为钝角，满足薪G<0,而蓝=入蓝不成立.

：.m,7为非零向量，则“存在负数入，使得云=证”是蔡G<0”的充分不必要条件.

故选：A.

7.【2016年北京理科04】设；，力是向量，则“而=说”是“而+a=而一寸”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】解：若“向=山”，则以工了为邻边的平行四边形是菱形；

若“血+》=丘—加'，则以二，为邻边的平行四边形是矩形；

故"而=向”是“6+&=向一M的既不充分也不必要条件；

故选：D.

8.［2015年北京文科06］设左甘是非零向量，'G-b=|而是uaII於的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】解：（1）a•b=|a||/?|cos<a,b>；

•b=|Q|闻时，cos<a,b>=1；

TT

/.<a，b>=0；

TT

a//b；

Aaa-b=\a\\b\ff是(<a//b"的充分条件；

(2)3〃bll寸，a,b的夹角为0或n；

：.a-b=\a\\b\,或一日|山；

即々〃b得不到Z-b=|a||b|；

・・・％・，=向说”不是吗〃+的必要条件；

・••总上可得吃了=向由”是吗〃+'的充分不必要条件.

故选：4.

9.【2014年北京文科03】己知向量；=(2,4),6=(-1,1),则2:-)=(

A.(5,7)B.(5,9)C.(3,7)D.(3,9)

【答案】解：山Z=(2,4),b=(-I,I),得：

2a-b=2(2,4)-(-I,1)=(4,8)-(-1,I)=(5,7).

故选:A.

10.【2021年北京15】2=(2,1),b=(2,-1),c=(0,1)，贝40+3)"=;a-b

【答案】03

•.•a=(2,l),b=(2,-l),c=(0,l).

••d+b=(4,0)»•••(a+K)>c=4x0+0xl=0>

d-K=2x2+lx(-1)=3.

故答案为：0；3.

11.【2019年北京文科09】已知向量之=(-4,3),b=(6,m),且；_L^,则m=,

【答案】解：由向量a=(-4,3),b=(6>m),且a_Lb,

得。•b=-24+3m=0,

••n?—8.

故答案为:8.

12.【2018年北京文科09】设向量或=(1,0),6=(-1,机).若；_L(ma-b\则“=.

【答案】解：向量a=(1,0),b=(-L〃?).

TT

ma—&=(1,-m).

.—>—>—

Va±(ma—h),

・・."?+l=0,解得加=-l.

故答案为：-I.

13.【2017年北京文科12】已知点P在圆/+夕=1上，点A的坐标为(-2,0),。为原点，则的

最大值为.

【答案】解：设尸(cosa,sina).AO=(2,0),AP=(cosa+2,sina).

则/。・4P=2(cosa+2)W6,当且仅当cosa=1时取等号.

故答案为：6.

14.【2016年北京文科09】已知向量々=(1,V3),b=(V3,1),则会与1夹角的大小为

【答案】解：：向量展=(1,V3),b=(V3,1),

.•・：与%夹角8满足:

->T

ab_2/3_73

cos0==2x2=T'

\a\-\b\

又：峭。，n],

故答案为：7-

6

15.【2015年北京理科13】在△ABC中，点M,N满足薪=2MC,BN=加，若加=麻+)，品，则”=

y=_______

TTT11T111

【答案】解：由已知得到N=MC+CN-t+亍CB--^AC+亍AB-TAC；

M5j14cZ□Z(4B—AC)—ZO

由平面向量基本定理，得到t，尸-右

故答案为:/4

16.【2014年北京理科10】已知向量；,1满足面=1,1=(2,1),且芯+/=[(入6R),则闪=

【答案】解：设热=(x,y).

:向量京1满足向=1,b=(2,1),且&+1=G(AGR),

.,.4。+/>=入(x,y)+(2,1)=(Xr+2,Xy+1),

[yjx2+y2=1

**-jAx+2=0>化为人-=5.

Uy+1=0

解得|川=V5.

故答案为：V5.

17.【2020年北京卷15】已知正方形ABC。的边长为2,点P满足通=*而+前)，则|而|=

而■~PD=________

【答案】V5-1

【解析】

以点4为坐标原点，48、4D所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系,

则点4(0,0)、8(2,0)、。(2,2)、0(0,2),

而="南+狗=：(2,0)+1(2,2)=(2,1),

则点P(2,l),.•.丽=(-2,1),而=(0,-1),

因此，|而|=V(-2)2+I2=V5,而•丽=0x(-2)+1x(-1)=-1.

故答案为：V5；—1.

模拟好题

1.【北京市中关村中学2023届高三三模】在平面直角坐标系无Oy中，已知P是圆C:(x-3)2+(y-4)2=1上

的动点.若力(一a,0),B(a,0),a力。，则|同+方|的最大值为()

A.16B.12C.8D.6

【答案】B

【详解】因为闷+网=2同|网max=1"|+1=132+42+1=6,

所以I丙+而Imax=12-

故选：B

2.【北京市西城区2023届高三一模】已知P为△ABC所在平面内一点，BC=2CP，则()

A.AP=--AB+-ACB.AP=-AB^--AC

2233

>Q—,一♦1,‘‘,‘‘’♦2，,1—♦

C.AP=-AB--ACD.AP=-AB+-AC

2233

【答案】A

【详解】由题意作出图形，如图，则

11

AP=AC+CP=AC+-BC=AC+-(AC-AB)

=--AB+-AC,

22

故选：A.

3.【北京市房山区2023届高三一模】在A48C中，zC=90。,AC=BC=6,P为△4BC所在平面内的动点,

且PC=1,贝"对+而|的最大值为()

A.16B.10C.8D.4

【答案】D

【详解】由题意，PC=1可得，点P的轨迹为以C为圆心，1为半径的圆，

取AB的中点D,则对+而=2而，

所以|百+PB\max=2|PD|mix=2(|CD|+1)=2x(|V2T2+1)=4,

故选：D

4.【北京市海淀区2023届高三一模】在AABC中，“=90。，4B=30。，NBAC的平分线交BC于点D若

AD=AAB+〃尼(儿〃6R),则:=()

A.-B.-C.2D.3

32

【答案】B

【详解】设4c=1,因为NC=90。，4B=30。，所以4B=2,

又力。是484c的平分线，所以*=噤=3CD=\BC,

BDAB23

AD=AC+CD=AC+^CB=AC+^(AB-AC)=^AB+lAC,

又而=4万+〃而，所以％=:,〃=：,

所以那.

故选：B.

5.【北京市顺义区2023届高三一模】如图，在矩形4BC0中，48==1,点P为CO的中点，则瓦？・

~DB+AP-'DB=()

A.0

C.V3D.2V3

【答案】B

【详解】DA-'DB+AP~08

=DA-(DA+AB)+(AD+DP)•(Z)C+CB)

\=DA-（DA+AB）+（^-DA+浑）-（AB+DA）

11

=DA2-[-DA-AB-DA-AB-DA2+-AB2+-DA-AB

22

=-AB2+-DAAB=-\AB\+-\DA\-\AB\-COS-

1r-21厂3

=-V3+-xlxV3xO=-

故选：B.

6.【北京市丰台区2023届高三二模】如图，在△ABC中，4D为BC边上的中线，若E为4D的中点，则无=（）

A.--AB--ACB.--AB--AC

4444

C.-AB--ACD.-AB--AC

4444

【答案】D

【详解[CE=CA+AE=CA+^AD=CA+^CD-CA）=|cX+|CD

=^1CA+-1CB

24

=河i+净i-殖

11

=_4+*_硝

=--AC+-AB.

44

故选：D

7.【北京市朝阳区2023届高三二模】在^ABC中,M,N分别是A8,AC的中点，若而=ACM+〃丽（九四eR），

则4+〃=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】A

【详解】CM=AM-AC=^AB-AC^BN=AN-AB=^AC-AB,

故前=ACM+fiBN=A（|AB-硝+〃-AB）

=(累-")4B+G〃T),

(-A-n=l(A=--

故i一，解得I

C—=o卜=_g

所以a+〃=—：­：=-2.

故选:A.

A

M/\N

BC

8.【北京市西城区2023届高三二模】在A4BC中，AB=AC=1,/A=90°,则荏•尻=()

A.1B.-1

C.V2D.-V2

【答案】B

【详解】因为N4=90°,所以而•冠=0,又因为AB=AC=1,

所以而.前=店•(前-前)=屈.前一|而「=0-1=-1>

故选：B.

9.【北京市密云区2023届高三考前保温练习】平行四边形4BCD中，点M在边AB上，AM=3MB,记刀=

【答案】D

【详解】在%BCD中，AM=CA=a.'CM=b<

所以前=BC=BM+MC=^MA-CM=^(CA-CM)-CM=^a-^b.

故选：D

10.【北京市人大附中2023届高三三模】已知向量Z=(l,2»=(3,x)，日与3+3共线，则归一同=()

A.6B.20C.2V5D.5

【答案】C

【详解】由题意知，a+b=(4,2+x)

又1〃(益+3)，所以1x(2+x)=2x4,所以x=6,

所以3=(3,6),所以苴-3=(-2,—4)，

所以同-b\=〃-2)2+(-4)2=2V5.

故选：C

11.【北京市第八十中学2023届高三热身考试】已知直线x+y=l与圆/+y2=a交于A,B两点,。是

原点，C是圆上一点，若出+丽=无，则a的值为().

A.1B.V2C.2D.4

【答案】C

【详解】由条件可知，|应=\OB\=|OC|=y[a,

所以(而+而丁=反2,则罚2十而2+2位[.丽=玩2,

则a+a+2acos(0C4,Ofi)=a,解得cos(04,0B)=-p

v0°<(OA.OB)<180°,

所以(0Z而)=120°,

所以圆心(0,0)到直线x+y=1的距离d=t=曰，得a=2.

故选：C

12.【北京大兴精华学校2023届高三高考适应性测试】设立，3是非零向量，“卷=各是“益=犷的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】由卷=后表示单位向量相等，贝林石同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出日=房

由五=石表示a,3同向且模相等，则裔=jf[，

所以哈=寻'是=『的必要而不充分条件・

I可|o|

故选：B

13.【北京市陈经纶中学团结湖分校2023届高三零模】向量入b,才在边长为1的正方形网格中的位置如图

所示，则0_豆1=()

A.—4B.4C.2D.-8

【答案】A

【详解】将益，B，平移至同一个起点位置，如下图。点位置，建立直角坐标系xOy,

则d=(2,2),b=(2,0),c=(-1,-2).所以伍—I)•I=(0,2)-(-1,-2)=-4.

故选：A

14.【北京市北京师范大学附属实验中学2023届高三数学零模】已知点2(1,0),直线/与圆“：/+丫2=1交

于两相异点B,C,则前.正的取值范围为()

A.[-1,4)B.[0,4)C.[-1,2)D.[0,2)

【答案】A

【详解】设8(cosa,sina),C(cos0,sin/?),设。®),%)是线段BC的中点,

则AB•AC=(cosa-1,sina)•(cos/?-1,sin/?)

=cosacosp—(cosa+cos^)+1+sinasin夕

=cos(a—/?)—(cosa+cos0)+1

=cos(2z.5O£))—2x0+1=2cos2(480。)—2x0

2

2

=2(黑)-2x0=2|OD|-2x0

2

=2(诏+yl}-2x0=2(x0-j)+Yo-；］>

2

(x0-j)+羽表示点C(xo，yo)与点E80)两点间的距离的平方,

由于。在圆。内，所以0W|DE|<3所以

24

所以(X。一/+%_*［一：，2)，

所以A8,ACG4).

故选：A

yt

15.【北京市东城区2023届高三一模】已知正方形ABC。的边长为2,P为正方形ABCC内部(不含边界)

的动点，且满足对•丽=0，则方•加的取值范围是()

A.(0,8]B.[0,8)C.(0,4]D.[0,4)

【答案】D

【详解】以4B中点为原点建立如下宜角坐标系；

则4(-l,0),B(l,0),C(l,2),D(-l,2),

设P(x,y),贝ijp4——(—1—x,―y)，PB-(1—x,—y)>

则PA-PB——(1—x2)+y2=o，

即/+y2=i,则一1=—y2,其中—0<y<1,

则而=(x-l,y-2),DP=(x+l,y-2).0<y<1

则而•DP=x2-1+(y-2)2=-y2+(y-2)2=-4y+4e[0,4),

故选：D.

16.【北京市朝阳区2023届高三一模】如图，圆M为△ABC的外接圆，4B=4,AC=6,N为边BC的中

点，则俞•询=()

A.5B.10C.13D.26

【答案】C

【详解】N是BC中点，

AN=^(AB+AC),

■：M'为4ABC的外接圆的圆心，即三角形三边中垂线交点，

：.AM-AB=丽||福COSNBAM=||^4B|2=|x42=8,

同理可得而-AC=\|前产=18,

,1,1,---->1----->,>1------->,11

AM-AN=AM--(AB+AC)=-AM-AB+-AM-AC=-x8+-x18=13.

2、,2222

故选：c

17.【北京市八一学校2023届高三模拟测试】已知。是AABC的外心，外接圆半径为2,且满足2万=荏+尼,

若瓦?在正上的投影向量为:近，则而•瓦=()

4

A.-4B.-2C.0D.2

【答案】A

【详解】由2适=四+前，故。为EC中点，又。是△Z8C的外心，

易知：^BAC=90°,且|就|=4，

A

-----'C

由瓦?在近上的投影向量|瓦?|cos8•赢=9就，即曜”=[,

所以游.近=|R4||BC|COSB=||B?|2=12,

由图，AOBC=(BO-BA)-Jc=BOBC-BA-BC=8-12=-4.

故选：A

18.【2023届北京市海淀区教师进修学校附属实验学校高考三模】已知3为单位向量，向量a满足小3=2,

忻一43|=1,则⑷的最大值为()

A.1B.2C.V5D.4

【答案】C

【详解】依题意设3=(1,0),a=(x,y),

由江,3=2,所以久=2,贝必=(2,y),

Xa-Ae=(2,y)-(A,0)=(2-A,y),且其-Ae\=1,

所以J(2—;1)2+y2=1,即y2=1一(2—4)2,

所以同=j22+y2=74+1-(2-A)2<V5.当且仅当;I=2时取等号，

即闻的最大值为隗.

故选：C

19.【北京市丰台区第二中学2023届高三三模】已知心九3都是平面向量，且闷=囤-同=1,若苗0=也

则区一引的最小值为().

A.1B.V3C.2D.3

【答案】A

【详解】依题意可设d=瓦？=(1,0),b=OB=(x,y)»c=OC,

则4五一3=(4—%,—y)，又|4五一同=1,

所以J(4—x)2+(_y)2=1,即(x-4)2+y2=1,则点B在以。(4,0)为圆心，半径r=1的圆上运动，

因为值©=/所以点C在y=±矍(x>0)上运动，根据对称性不妨令点C在丫=务(x>0)±,

则忸一日表示圆。上的点8与丫=?x(x>0)上的点C连线段的长度|BC|,

因为圆心。到y=%(x>0)的距离日=高二=2,

所以/-c\=|BC|的最小值为IBCImin=d-r=l,即阻-4的最小值为1.

故选：A

20.【北京市丰台区2023届高三二模】已知A,B,C是单位圆上的三个动点，则福•正的最小值是()

A.0B.——C.-1D.-2

2

【答案】B

【详解】以BC的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面宜角坐标系，

设4(a,b),B(jn,n),C(-m,n),

则小+炉=1,巾2+九2=i,

22~

故荏.无=(m—Q,n—6)•(—m-a,九一b)=Q2一爪2+九2—271b4-&=2n-2bn=2(n

当n=J时，说•左=2(n—W—Q取得最小值，最小值为一纥

由于be[—1,1],故当b=±l时，一?最小，故最小值为一号

此时n=±｝满足要求，

故选：B

21.【北京市首都师范大学附属中学2023届高三下旬阶段性检测】已知向量,=(1,2)5=(3,x)4与五+3共

线，贝"a-可—.

【答案】2底

【详解】由题意知，a+b=(4,2+x)

又因为//0+B)，所以1x(2+x)=2x4,所以x=6,

所以3=(3,6)，所以五一3=(—2,—4)，

所以|3-b\=+(_4)2=2V5.

故答案为：2遍.

22.【北京市通州区2023届高三模拟】已知向量2=(1,2),B=(x,l)，若可/点则刀=.

【答案】1/0.5

【详解】因为向量二=(1,2),b=(x,l).a//b，

所以l—2x=0,解得x=*

故答案为：

23.【北京市海淀外国语实验学校2023届高三三模】已知优B是单位向量，1=日+23.若日13则

|c|=•

【答案】V3

【详解】-.-c=a+2b^.a1c

c•a=(a+26)-a=d2+2a-b=0

即l+22j=0

|c|=J伍+2」乃=Ja2+4a-h+4b2=jl+4x(-1)+4=V3

故答案为：V3.

24.【北京市丰台区2023届高三一模】已知正方形4BCD的边长为2,则荏.而=.

【答案】4

【详解】因为正方形ABCD的边长为2,所以4CAB=45。，\AB\=2,\AC\=y/\AB\2+\BC\2=2^2,

所以历-AC=\AB\-\AC\COS^CAB=2x2V2Xy=4.

故答案为：4

25.【北京市石景山区2023届高三一模】向量日=(2sin0,cos9),b=(1,1).若到在，则tan。=.

【答案】1/0.5

【详解】向量d=(2sin0,cos。)，b=(1,1)>若则2sin。一cos。=0,所以cos。=2sin9

则sin。_1

COS02sin0-2

故答案为：

26.【北京市第四中学2023届高三数学保温测试】