2022-2023学年高二数学上学期期中期末练习02 数列（难点） 含解析

专题02数列(难点)

一、单选题

,,，、一,n+l1I11

1.数列｛《,｝及其前〃项和为S,,湖足：α∣=l,当"≥2时，an=--¾.l,则一+—+—++---=()

〃一］a］a2ayβ2023

2021C4044C2023c4048

A.------B.------C.------D.------

1011202310122025

【答案】C

【分析】根据递推关系式，利用累乘法可求得数列通项公式4=当由，再结合裂项求和即可求得

1111

-+—+—++——的值.

aa

∖20302023

n÷lan/7+1

【解析】当"22时，an=^an,lf即1=-r

n-1¾-ι〃-ɪ

田缶/a〃345n〃+1n(n+∖∖+1)

累乘得EI：t≈rrrX-----×------=----------又％=1,所以q二

n—2n-∖22

1

+2

20232024

=21-Ξ⅛40462023

2024-1012,

故选：C.

2.已知数列｛4｝是递增数列，且4=,；二一；^zl,∙N+,则几的取值范围是()

I(3—Λ)÷5,71>4

A.(1,2)B.DC∙O,]D∙(I'])

【答案】D

【分析】根据数列｛%｝是递增数列，列出符合条件的不等式组，求出2的取值范围即可.

(Λ-l)n÷5,∕ι≤4

【解析】数列｛%｝是递增数列，且q=.,ncN.

(3-2)Λ-4+5,∕Z>4+

Λ-l>0

则<3-Λ>l,解得1<V,

4(λ-l)+5≤(3-∕l)5-4+5`

故2的取值范围是［1，］］

故选：D

3.在等差数列｛%｝中，4=-11,%=-3记7；=44..4(〃=1,2...),则数列｛(,｝()

A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项

C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项

【答案】C

【分析】根据题意求出见，根据等差数列｛4｝的各项符号得到数列忆,｝的单调性，由此可求得结果.

【解析】解：依题意可得公差〃=四二幺=*1=2,α,,=q+(“-l)d=-ll+2"-2=2”-13,

5-14

所以当"≤6时，。〃<0,当〃27时，¾>O,

因为4=-ll<0,7i=-ll×(-9)=99>0,η=-11×(-9)×(-7)=-693<O,

4=-Ilx(-9)X(-7)×(-5)=3465>0,T、=3465×(-3)=-10395<O,

7；=-10395x(-1)=10395>0,

又当〃≥6时，Tn=ata2a3a4a5ah4>0,且②="‘'""』==2〃-11≥1,即7；”,7；,所以当〃≥6时,

41a∖a2an

数列｛Z,｝单调递增，

所以数列｛瑞无最大项，数列｛(,｝有最小项T=-10395.

故选：C

2∕2

4.已知数列｛4｝满足4=-5,且(2〃-7)勺+1=(2〃-5)/+(2〃-5)(2〃-7),若不等式P≤丁1≤Q对于任意

正整数〃∈N*成立，则Q-尸的最小值为()

A.10B.12C.14D.16

【答案】C

【分析】由原式可得数列;螳、［是以1为首项，以1为公差的等差数列，从而求得q=2〃2_7〃，结合

数列单调性，可得P≤-6,β>8,从而Q-尸的最小值为14.

【解析】由(2〃-Ql-5)4+(2n-5)(2«-7),

7)ΩΠ+,=f

故数列｛普y1是以1为首项，以1为公差的等差数列,

所以一%—=1+(〃-I)Xl=即有4〃=2/?2-In,

2〃一7

2n22rr2

2

a„2n-7n2_7,

n

224

因为〃eN*,当“e{l,2,3}时，下1一寸一5'^6L最小值为一6.

Z—

n

当〃≥4时，卜;亍汽

Z—

n

2万

若不等式P≤≤。对于任意正整数“eN*成立,

al,

则P≤-6,β>8,

则Q-P的最小值为14.

故选：C

5.已知数列｛4｝的各项均为正数，且满足α3-α,,=d（d为常数，〃=1,2,）.给出下列四个结论：

①对给定的数列｛4｝,设S,,为其前n项和，则S,,有最小值；

②若数列｛叫是递增数列，则”>0;

③若数列也｝是周期数列，则最小正周期可能为2；

④若数列｛%｝是常数列，则"≥-1

其中，所有正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】利用数列｛”“｝的各项均为正数以及前〃项和表达式判断①；若数列｛q｝是递增数列，则有4例>%,

进而根据已知条件化简式子求出d的取值情况判断②；若数列｛4｝是最小正周期为2的数列，则有

an+2=a,l,对d和““取特殊值验证判断③；若数列｛q,｝是常数列，设《川=%=，，则/τ=d,从函数的

角度求d的取值情况判断④.

【解析】对于①，在数列｛4｝的各项均为正数的情况下，设S,,为其前〃项和，

则S“=4+/++”"，易知S,递增，因此S“有最小值4，①正确；

对于②，若数列｛为｝是递增数列，则为”>%成立，又OM=历Z,

.y%+d>%成立,即〃>—；+(q_g)成立，则②错误；

对于③，若数列｛为｝是最小正周期为2的数列，则4+2=4,

即y]all+l+cl=y∣y]an+d+d=",,成立，

当d=0,4=1时，上式成立，，数列｛4｝是最小正周期为2的数列，③正确；

对于④，若数列｛为｝是常数列，设“向=q,=f,^∖t2-t=d,

令/⑺=/">0),则/⑴=(TZnin(χ)=/[ɪj=

.∙.d=t2-te-：,+8),④正确.

综上所述，所有正确结论的个数是3个.

故选：C.

6.已知数列｛q｝的首项是4=1,前〃项和为S,,,且S“M=2S“+3〃+l(〃eN*),设%=log2(q,+3),若存

在常数3使不等式&C(〃eN*)恒成立,则k的取值范围为()

A∙LB∙忠+00)C∙售,+8)D.

【答案】C

【分析】首先由数列通项与前"项和的关系得到数列｛q｝的递推关系=2”,,+3,再构造等比数列

也+3｝,求数列｛q+3｝的通项公式，进一步求出数列｛%｝的通项公式，从而可求数列｛c,J通项公式，代

C-Iɛ-l

入所求式子/,分子、分母同除以"构造基本不等式即可求出KLk的最大值，从而求出左的范

(n+16)ς,(n+16)c,,

围.

【解析】由S向=2S“+3〃+1,则当“22时，得S,,=2S"τ+3("-l)+l,

两式相减得4,+1=2/+3,变形可得：q,+∣+3=2(a,,+3),

又q+3=4,al+a2=S2=25∣+3×1+1=6,所以4=5,a2+3=2(al+3),

二数列应+3｝是以4为首项、2为公比的等比数列，故4+3=4X2"-=2向，

所以C.=log2(a“+3)=〃+l,

%T=〃=〃=]<]=J_

所以("+16)q,(n+16)(n+l)n2+17π+16〃+电+J7^^8+1725，当且仅当〃=4时等号成立，故

n

k≥-.

25

故选：C.

【点睛】关键点点睛：构造等比数列｛4+3｝求｛4｝的通项公式，即可得｛%｝通项公式，再由不等式恒成立，

结合基本不等式求7⅛一的最值，即可求参数范围.

7.已知数列｛4｝、｛4｝、｛c,｝满足

ai=bl=ci=∖,cn=an+i-an,e,*("eN”)，，=；+[++g("≥2)，7；=—^+—ɪ-++-—(n≥3)

b,b2bibn¾-34-4cl-n

,则下列有可能成立的是()

A.若｛%｝为等比数列，则W>22>8θ22

B.若｛%｝为递增的等差数列，则Szg<4)22

C.若｛%｝为等比数列，则<砥22

D.若｛&｝为递增的等差数列，则Szg>弓22

【答案】B

【分析】若｛«„｝为等比数列，可得%=2T%=2"一，进而可得b,l=4^-'=d可判断AC；若｛c,t｝为递增的

等差数列，利用累乘法可得〃+1=口3,再利用裂项相消法可得S,,=J——L,利用累加法可得

c

Q"3n+J

。“="+①芈二111,进而可得Z,≥7三=[,可判断BD.

caa

【解析】因为q=4=q=Ln=n+↑-ny

/.c∣=a2-αl,gpq=q+q=2,

若｛/｝为等比数列，则｛“〃｝的公比为4=，=2,

a∖

J.a,=r-',cn=a^-a,,=T-T-'=T-',

hhC0/1+,

由4+2=甫L∙c.,可得券=3=诉=4,

b

nbnCn2

.•.a="、"；，故AC错误；

若{%}为递增的等差数列，C1=I,公差d>0,

由C/2=⅞ih∙%则卧=如，

b"bllcn

l+d(1___1ʌ∖+d(1_____1

匕〔<—

dcπ+1Jd1+4Cmd

又ς,=1+(〃-1)d,c,,=%+∣-%,4=(%-α,,.1)+(αn-l-«„_2)++(α2-αl)+αl,

.∙.an=〃+(〃_21(〃f&,又“≥3,4-〃>0,

Tll111

则(=---Q+------A++--------≥-o=7,

a3-34-4CltJ一ιτ%一3a

.∙.当〃≥3时，不等式S,,<<恒成立,

故S2022<^2022，故B正确，D错误.

故选：B.

8.记U={L2,,100}.对数列{4}("eN*)和U的子集7,若7=0,定义S10；若丁="^,,〃}，

定义»=%+4++%.则以下结论正确的是()

A.若{%}(〃eN*)满足4=2〃-1,T={1,2,4,8},则ST=I5

B.若{α,,}("eN*)满足q=2〃-1,则对任意正整数％(1≤A≤100),TU{1,2,,k},Sτ<ak

C.若{4,,}("eN*)满足%=3"T,则对任意正整数Ml≤%≤100),T=口2,身后≥1

D.若{%}(〃€2)满足4,=3"-|,且CuU,OuU,Sc2SD,则Sc+Scn≥2S°

【答案】D

【分析】根据新定义直接计算»,即可判断A,举反例判断B错，利用等比数列的通项公式和前"项和公

式以及放缩法判断C,D.

【解析】因为%=2〃-1,7={1,2,4,8},

所以S7∙=4+4+%+%=1+3+7+15=26,A错，

取4=3,T=｛1,2,3),

则6=α∣+%+/=1+3+5=9,ai=5,所以S7∙>4,B错，

因为T=｛l,2,,&｝,0,,=3"T>0∕∈N*,

所以Sr≤4+/+…+4=1+3+…+3"'=g(3*-l)<3".

因此，ST<4+∣,C错，

若。是的子集，则

CSC+SC^D=SC+SD≥SD+SD=2SD.

若C是。的子集，则Sc+Sc~,=Sc+Sc=2Sc≥2S0.

若。不是C的子集，且C不是。的子集.

令E=CiljD,F=OC6“C则F≠0,Er>F=0.

于是SC=Sκ+SCCD,SD=Sh-+SCCO,进而由SCNS0,得SE≥SF.

设％是E中的最大数，/为尸中的最大数，则2≥1,∕≥1M≠∕.

zt

由(2)知，Sε<ak+l,3^'=al<SF<SE<ak+l=3,所以/-1<%,即∕≤h

又故l≤k-l,

从而S/≤α∣+%++q=l+3++3八'=32】≤'"`】≤,

故SE≥2S-+1,所以SC-SC£2(SZ)-SCz))+1,

即SC+SCeD—2S∏+ɪ.

所以D对，

故选：D.

【点睛】对于数列新定义问题解决的关键在于准确理解新定义，再根据定义进行计算；本题的难点是利用

放缩法证明不等式，放缩的目的是将非特殊数列转化为特殊数列，从而可利用特殊数列的性质.

二、多选题

2

9.已知数列｛《,｝满足4=α,⅛÷l=¾+--1,记数列｛同―2|｝的前〃项和为5,，∕l>S”对“eV恒成立,

则下列说法正确的有（）

A.若4>0,则数列｛∣4-2∣｝为递减数列

B.若0<α<2,则数列｛《,｝为递增数列

C.若。=3,则4的可能取值为£

D.若。=3,则S,,*-告

Zɔ∙L

【答案】BCD

【分析】对于A,取特殊情况，可得答案；对于B,构造函数，作图，利用数形结合思想，可得答案；

对于C、D,同B,可得数列的取值方程，整理求得数列相邻两项的大小关系，利用放缩法，解得裂项相

消和等比数列求和，可得答案.

2,、

【解析】对于A,令/+∣=4+—-1=4,解得α,,=2,即数列｛4｝的不动点为2,所以当α=2时，a=2,

°nn

此时｛∣4-2∣｝为常数列，A错误；

2

对于B,作出函数y=x+—-1与函数y=x的图像如图：

X

由图可知B正确；

2

对于C,作出函数y=x+*-l与函数y=x的图像如图:

X

1ɪ1a21(11、7「8、

由图可知：2<%+]<4"≤3,.*.~≤—<~=---------1-1=2------÷-∈—,1I,

3a2

nana；an(α,,4)8[9J

8212—a”/、

,l,

即da〃4a“+i<4，X^∙¾+∣-=--=——，∙∙an-2=all(an-an+l),

Unun

8]7

一方面，由a“+i得4+a,,+∣≥3%,

a9aa9/\

∙∙n≤-(¾÷。〃+1),n-2=n(¾^¾+l)≤~1-M+l),

；・S"=(q-2)+Q-2)++(a"一2)≤)[(d-W)+(W-d)++(¾-)J=ɪ(9-a^l)

Q453545

V¾+l>2,且当〃一+8,an+l→2fΛSw<-(9-4)=-,V—>—,

.∙.另一方面，由q+「2=可+2_3=十_3q,+2=(%_2)(4一I),2<%≤3,得^L^=I

¾a,,a,,a>∙-2an

I〔I/2

一<I-----≤-

2«„3,

2S1

又∙.∙a∣-2=l,a2-2=-fa3-2=-f且a.+∣_2>(%_2)・耳，

.∙.S,,=(4-2)+(a「2)++(¾-2)≥l+∣+⅛÷⅛∙→÷⅛{^]55

2-3∙2n^l

所以CD正确.

故选：BCD.

10.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把

数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1,3,6,10,…称为三角形数，第二行图形中黑色

小点个数：1，4,9,16,…称为正方形数，记三角形数构成数列{4},正方形数构成数列他,},则下列

B.1225既是三角形数，又是正方形数

D.VmeN”,加22,总存在p,g∈N",使得内”=%,+%成立

【答案】BCD

【分析】利用累加法，分别求出。“也,，进而分别利用裂项求和法、放缩法，逐个选项进行判断即可得到答

案.

【解析】三角形数构成数列｛4｝：1,3,6,10.........则有

a2-ai=l,ai-a2=3,=n（∕J≥2）,利用累加法，

得—（〃T：2+〃）,得到%=或罗；产1成立

正方形数构成数列也｝：1,4,9,16,…，则有

b2-bi=3,b3-b2=5,,bπ-bn^=2n-l(n≥2),利用累加法,

得"_"=(2"+2)9二1)

得到勿=n∖n=↑成立

对于A，9赢=24去），：∙利用裂项求和法：（+22+42(1-Ni)=念,故A错

误；

对于B,令勺=±±4=1225,解得〃=49；令2=/=1225,解得〃=35；故B正确;

2

114〜11、

对于C，丁==<421=2(W—Γ^∙o,1),贝IJ

bnn4〃-12n-l2〃+1

1111I÷⅛<^÷2(1-11-1-LI

—I----1------hH—=1I-I----1-++），

瓦b2b3bn4H457792n-∖2n+l

11115c/11、33133

整理得，7^+7^÷7^++丁VI+2(14厂有一.上12方，故C正确；

P1b2b3Dn452〃+1202/t+l20

对于D,取，n=p=q,且抗eN,则令∕√="宇^+丝彳心，则有超=4,+4,T,故V，WeN",,τι22,

总存在p,qeN*,使得耙=%,+%成立，故D正确；

故选：BCD

11.已知数列｛4｝满足：4=1,¾=ɪ(3a„_,+√5⅛1+4)(n≥2),下列说法正确的是()

A.VneN,,成等差数列B.。,用=3%N2)

C.2"T≤α,,<3"T("∈N")D.VneN*,4,，。“+”。川一定不成等比数列

【答案】BCD

【分析】根据题意得(q,+-4i)(4田+4,τ-3α,J=0("≥2),再结合数列单调性与可>0得

4向+%τ-3α,,=0("N2),可判断B选项；由递推关系式易得4=L%=3吗=8,进而可判断A选项；根

据数列单调性得2≤—≤3(〃eN*),进而可得2"-'≤aπ≤3"∣(〃∈N*)判断C；利用反证法先假设3n0∈N*,

an

%,%M,%+2成等比数列，推出%，%+1，M+2之间的公比为竽，结合4+∣+q,τ-3%=0("≥2)可以得到

ai,a2,a3,MT,4,4u+∣,%+2成等比数列，与叫=1，。2=3,%=8矛盾，故假设不成立，可判断D

【解析】解：因为q=g0,1+"5、T+4)(“≥2),

所以2%—3%τ=屈彳(“≥2),且勺>0，

所以q；-3aπan,l+*-1=θ("≥2)①，

所以<l-3⅛¾+1+⅛-l=0(2)

所以，②-①整理得：(α,,+l-a„_,)(a„+l+an_t-3απ)=θ(n≥2)

因为%-%=gNI+√5<1+4j>0(n>2),

所以数列｛叫为单调递增数列，

所以απ÷∣+4τ-3α,,=0(“≥2),即/=3a,,f叱2),故B选项正确；

对于A选项，若V"∈N*,。“，。向，勺+2成等差数列，则4,％成等差数列，由递推关系得4=1,4=3,%=8,

显然不满足等差数列，故A选项错误；

对于C选项，因为4>0,数列｛4｝为单调递增数列，

r

所以2%=3an-an≤3a,,-an.x≤3an(∕?≥2),即Lan≤an+t≤3a,1(n≥2),

所以2≤嗅≤3("≥2),因为a=3,所以，2≤^≤3(n∈N^)

an4an

所以，从第2项起，数列｛《,｝介于以1为首项，公比分别为2和3为公比的等比数列对应项之间，

所以2"T≤q≤3"T("eN*),故C选项正确；

对于D选项，假设加°eN*,4,。,加，4一成等比数列，设/，册.，4+2之间的公比为4，

由α,,+∣+%-3%=0(w≥2)可得+%-3"*=O即a"+%-3%q=0,

因为品＞0,所以/-3q+l=0,解得g=栽叵，

因为｛αz,｝为单调递增数列，所以勺=35,

由%+∣+α,ι-3α,,=0("≥2)可得α*+%τ-3%=0(%N2),即4•与+/-3%=0整理得

an3+λ∕5

-ɪ=-7-，所以%τ,%α*,%+2成等比数列，

%τ2

所以以此类推能得到4,4必，4—，%，μ+”4+2成等比数列，与4=1,4=3吗=8矛盾，故假设不成立，

故D正确；

故选：BCD

【点睛】本题关键点在于通过数列的递推关系式以及等差数列、等比数列研究数列的性质，D选项中反证

法的应用是本题的重难点，注意掌握加以应用.

12.已知.∙AS,G("=1,2,3,)是直角三角形，A,,是直角，内角A,,、纥、C,所对的边分别为“八"、c”,

面积为5“，若4=4,e,=3,%。：,点=点+”,则()

J"33

A.⑸,J是递增数列B.任“才是递减数列

C.｛a-ς,｝存在最大项D.｛〃,-ς,｝存在最小项

【答案】ACD

“2C2

【分析】由题意推出a.,：=。；，从而说明”,,M=M,利用三角形面积公式推出SJI]=胃+2_,构造数列

1o9

2

从而求得s„—(ɪr-',由此可判断A,B由⅛j+l-⅛1=生宜结合汇+C：=25可求得"、C",对数

161693

列也-%｝中的奇数项和偶数项构成的数列的单调性以及项的符号进行分析,确定数列｛d-C,,｝的最大项和

最小项，可判断CD.

【解析】由题意知：a/=。：+],

_2%+∣÷C11+bn_2ΛΛ+1+anggaa

故%/=%+c∖∣---------------------------------------------------------------------------,IAlJC∙*j%+：=n'即。“+1=n

33

aCI-)-4=5,贝2+qj=25,

所以4+1=41=n-∖

“3+C；25+c；+8.25+髭

故以]=

3333

225+c：25+8_252+25(q；+b；)+q概

由SM=J以£用得：(2S,,+,)=

339

252+25*2S,,)2,所：2="+屋

即（2S角）2=

9n+'189

则S3W⑸2-米,而k-得142x32--49

=—×

41616

故S,T=-竺?广，则Sj=O雪

16(916V

?52,49f.F由于成‘

所以邑：=今随〃的增大而减小,

16(

—f!丫”是随〃的增大而增大,

故SJ

1616⑼

由题意知S2“>0,故｛$2“｝是递增数列，故A正确;

同理弋-熊2n-2

3\随”的增大而增大，｛S21｝是递增数列，B错误;

又麻W-C；),由于%2+q,∕=25,V+√=25,且"-C：=7,

所以，｛f-d｝是首项为7,公比为的等比数列，故f-d=7∙

ItI

H•

所以，

月+d=25

因为">。，ς,>o,故“=

所以，bn

257

所以，∕⅛τ-C21=一+-0,其中&eN*,

22

⅛-⅛<°'其中％eN*,

因为数列<胃+：｛9.(AeN*)随着k的增大而减小，数列.∙(AeN*)随着火的增大而增

大，

故数歹M砥T-C24τ｝(%≡N*)随着k的增大而减小，故4-C1为数歹Ij也,—C,,｝中所有正项中最大的，

同理可知数列∖blk-c2k｝｛k∈N*)随着k的增大而增大，故4-G为数列｛4-%｝中所有负项中最小的,

综上所述，数歹∣j｛d-c,J的最大项为4-G,最小项为&-C?,CD均对.

故选：ACD.

【点睛】本题综合考查了数列的单调性问题以及数列的最大项和最小项问题，综合性较强，难度较大，解

答时要结合几何知识，能熟练的应用数列的相关知识作答，关键是要注意构造新数列解决问题.

13.已知数列｛q,｝的前〃项和为S“，％=1且当“≥2时，5„_,+5„=«;,则下列命题正确的是()

A.若｛q｝是递增数列，则数列,一—的前〃项和为I-丁二.

l¾n-.¾∏÷ι2n+l

B.若｛4｝是递增数列，则α"a；+W-M+…(7)"[：KT)"'四詈

C.存在无穷多个数列｛%｝,使得%m=-2020

D.仅有有限个数列｛«,,｝,使得生⑼=-2020

【答案】BC

[5.,/t=1/、/、

【分析】利用q=∖C「求得0=&+g)(4-%-1).对八选项，先求得力,，然后利用列项求

-2

和法来判断正确性.对B选项，对〃分成奇数和偶数两种情况进行分类讨论来判断正确性.对CD选项,

【解析】因为当〃N2时，Sn.,+Sπ=^,则2S,,=a^+all,且25,I=<l+a„_t,

2aa

所以n=n-<ι+M-¾-ι，即。=4；-a^l-an-,

所以O=(4+¾-l)(¾-%)-4+%)，BP0=(αn+的)-T),

A选项：因为｛%｝是递增数列，所以q+%≠O,则%-1=0,则4=”,经检验”=1时成立，则M=n,

]_1_\_(_1______

,

则¾n-l¾,,+1_(2n-l)(2n+l)-2^2^T1J

其前"项和为+L+1-*,>lɪʒ'[ɪ-ɔɪɔ>故A错误；

2V3352n-l2〃+1J212n+ιJ

B选项：因为｛q｝是递增数列，所以勺+一产。，则-a,--1=O,则％=",经检验〃=1时成立，则““=〃，

则5“=42_^+d_靖+...(_1)"-1；=]2_22+32_42++(w-l)2-n2

当〃为偶数时，

Sπ=(1+2)(1-2)+(3+4)(3-4)++(n-l+n)(n-l-w)

~(l+2+3+.+〃)=一"(；+1),

当〃为奇数时，

2

Sn=(1+2)(1-2)+(3+4)(3-4)++(n-2+rt-l)(rt-2-∕ι+l)+n

=-(1+2+3++n-∖)+tV~^×(n-l)+n2

_/?+〃_〃5+1)

^2^-2-'

综上所述，Sr,=(-l)"T与D,故B正确；

a

CD选项：由上述分析得。=(q+«„-1)(«„-«„-1-1)-所以+,,-l=O或%-1=0,

即an=~an-∖或an=Cln-\+1.即从“2起，每一项是前一项的相反数或是“前一项加1

若¾2∣=-2020,则a2020-2020或a2n20=-2021.

由于4=1,从寸起每项是“前一项加是,则到第2020项则为¾02°,符合题意.

∣-2021∣=2021,从1起每项加1至少要到第2021项，所以4必=-2021不符合题意.

但对于数列｛4｝,第2022项及之后的项也不确定，

所以C选项正确，D选项错误.

故选：BC.

14.数列｛4｝共有M项(常数M为大于5的正整数)，对任意正整数鼠M,有4+a,"+-=。，且当％,日

时，4,=£.记｛4,｝的前八项和为5“，则下列说法中正确的有()

A,若黑，鬣1023，则M,20

B.｛q｝中可能出现连续五项构成等差数列

C.对任意小于M的正整数PM,存在正整数使得4+%=S,,-S,

D.对｛%｝中任意一项巴,必存在α,,q(sHf),使得巴,。,,α,按照一定顺序排列可以构成等差数列

【答案】BCD

【分析】根据题中的条件可得数列具有对称性，故通过对称性及根据对称性举例来判断选项即可.

【解析】对于A,根据条件可知，数列｛%｝具有性质为，首尾对称性两个数互为相反数，如果中间数为1

个，则必为0.下面对M讨论.

(M\

ɪl-[ɪf

当〃为偶数(数列｛4｝各个数非零)，/C、_2lJVlO23,

(3%=3=—j

/1—

2

M

得?,所以M≤20.

\2)-1024UJ

M-I

当“为奇数(数列｛风｝〃字=°),(SJm=S*=SMM=I∕RT≤倦，解得M≤21,故A错误；

I-12J1024

对于B,显然满足，如不二,0,-,故B正确：

2442

对于C,通过数列具有对称性知，对任意小于M的正整数PM有，S,-S“的值是该数列中的一项或两项,

当值为一项时，因为任意小于M正整数故该项必定为中间项，数列4=&刚好具备相邻两项差为

该数列的某一项；如果为两项，显然直接找出其两项即可，故C正确；

对于D,考虑到数列已,(春，q,TW满足小一击=击=2.3，

MM

当"≤∙y时，/+4”“=2%+2；当”>3时，由对称性，也成立，

例：---1—=—=2×∣I.

488V\6)

故选：BCD

【关键点点睛】解决本题的关键-是对称性的运用，二是通过举例来判断选项，三是分类讨论思想的运用.

三、填空题

15.已知数列｛。〃｝满足4=0,对于每一个〃eN*,%“T，¾n-2-2,-构成公差为2的等差数列，心一，4.，

%,川构成公比为g的等比数列，若W〃eN*,不等式--力-4.他？0恒成立，则正整数f的最小值为_____.

【答案】9

【分析】由数列的递推关系，可得=故卜2-|｝是以为首项，公比为[的等比

数列，

可得知,,T的通项公式及值域，进而可得为.7、。4,7、6,的通项公式及值域，

则条件中的恒成立等价于。+¾-4)(r-¾)≥。恒成立，即，≥(¾+4)nwi或/≤(o,,)ιυin,即可得正整数r的最小

值.

【解析】。2=2,a4z,-l=2+2,¾n+ι=-¾rt-ι，°4〃+2=。+1+2,

1205\(5、

・・。4〃+2=AQ4〃-2+石=4〃+2=ɑa4n-2一不，

Vy，丫IzJ

二卜4.一2一斗是以外。=-；为首项，公比为!的等比数列，.∙∙*-3=-L(rf',

I22922∖k9/

"=-；（｛!+1≡[2`∣

则V"∈N*,不等式产-。；-4一%=(「+《,-4)(一。“)20恒成立，等价于d3+4)胸或f≤(q,)nιhι,即此了

或∕≤0,故正整数f的最小值为9.

故答案为：9

【点睛】本题关键是利用数列的递推关系，构造新数列，从而求出通项公式，再将条件中不等式因式分解,

根据数列的值域，将恒成立等价成d4+4)小或f≤α)nιh,,从而求得/的范围

16.在如图所示的三角形数阵中，用4∙j(i>∕)表示第i行第/个数(i,jeN*),已知%=]_击(/用)，

且当藤3时，每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和，即4∙j=4τjτ+4τj(2Mj≤i-l),若

¾u>100,则正整数机的最小值为_______

O

ɪɪ

22

7777

8448

152172115

lðT2T7δ

ɪ…二二二…J

1i)/-i12”"

【答案】103

【分析】根据条件先求出数列｛册2｝的通项，利用累加法进行求解即可.

【解析】由题意，4J=I-击，贝“41,1=1-止("22),又4,2=a“Tj+a,T2(〃N3),

«„,2-«„-1,2=%J=1-产(〃23),

aa+

∙'∙n,2=(4"_α,I∙2)+(a“T2-„-2.2)+(a3.2^^θ2.2)+¾,2=+〃一，

又数列｛/j是递增数列，且。也2＜1∞＜《03.2，

•••"?的最小值为103.

故答案为：103.

17.己知。=(IOJ),数列｛4,｝满足匕|+。；=2(4+|+1)(4-1)+1,〃€2.若对任意正实数九总存在4€。

和相邻两项为，4+∣,使得¾+∣+λak=0成立,则实数t的最小值为___________.

【答案】11

【分析】根据已知条件证得数列｛%｝是等差数列，根据q求得f的最小值.

【解析】依题意＜l+。：=2(%M+l)(αn-l)+l,H∈N∙,

即¾+ι+=-2",,+∣+2a“-1,

2

整理得(an+1-αn+l)=0,所以aπ+l-aπ+l=0,

即。,川-α,,=T,所以数列｛4｝是首项为4,公差为T的等差数列，

所以%ɪα1÷(π-l)×(-l)=α,-n+∖,

矶=4-1，

Λ>0,由ak+∖+4％=°得4—1+λa=0,4=---

k1÷Λ

,

由于几>0,所以0<4*<l,O<al-⅛+l<l,⅛-l<a∣<Λ,

所以。-1,8=(10,f),

⅛-l>10

所以一=d11,

[k≤t

所以r的最小值为11.

故答案为：11

18.己知函数/(x)=ITan2x,各项均不相等的数列｛q｝满足同<：(ieN"),2=/(%),数列｛叫和也｝

的前〃项和分别为S,,和7；,给出下列两个命题：

①若""=『表),则Ag>2022；