2022-2023学年江苏省淮安市高一（上）期末数学试卷及答案解析

2022-2023学年江苏省淮安市高一（上）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合M={x∣%2<9},N={1,2,3,4,5）,则MnN=（）

A.{1,2}B.{1,2,3}C.{3,4,5}D.{4,5}

2.命题“Vx6R,都有COSX≤1"的否定为（）

A.3x∈R,使得COSX≤1B.Bx∈R,使得COSX>1

C.Vx∈R,都有CoSX≤—1D.∀x∈R,都有CoSX>1

3.已知XeR,若集合M={l,x},N={l,2,3},贝∣J"x=2''是"MUN”（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过淮安方特、龙宫大白鲸世界、西游乐园三个景点时，

甲说：我去过的景点比乙多，但没去过淮安方特；乙说：我没去过龙宫大白鲸世界；丙说：

我们三个人去过同一个景点.则乙一定去过的景点是（）

A.淮安方特B.龙宫大白鲸世界C.西游乐园D.不能确定

42

5.已知Tn=O.8‘2,∏=log074.2,p=0.7∙,则m、n、P的大小关系为（）

A.p<n<mB.n<m<pC.m<n<pD.n<p<m

6.我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般

好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常

用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数y=COS（SinIxI）的图象大致是（）

7.已知函数/。）=/+》一1在（0,1）内有一个零点，且求得/Q）的部分函数值数据如下表

所示：

X010.50.750.6250.56250.68750.656250.671875

/(x)-11-0.3750.1718-0.1308-0.25950.01245-0.06113-0.02483

要使/（x）零点的近似值精确到0.1，则对区间（0,1）的最少等分次数和近似解分别为（）

A.6次0.7B.6次0.6C.5次0.7D.5次0.6

8.已知函数f(x)=竺A+ln(√Π量+x),若不等式/(2丫-4工)+/(771-2"-2)<0对

VXeR恒成立，则实数m的取值范围为()

A.(-∞,2√2+1)B.(2√2+l,+∞)

C.(-2√2+1,2√2-1)D.(-∞,2√2-1)

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.下列结论中正确的有()

A.若Q>h>0,则M>⅛2

B.若Q<b<0,则小>ab>b2

C.若α>b>0,则鬻>：

α+2bb

D.若α>0,b>0,且α+b=l,则工+：的最小值为4

ab

10.已知/(x)=%2一2%+Q有两个零点％1，χ2,且不<%2，则下列说法正确的有()

A.x1>0,X2>0

B.α<1

C.若工ι%2≠。，则J+；+%1%2的最小值为2企

xlx2

D,∀m,n∈∕dim≠n,都有也F>/(华)

11.对于函数f(x)=sin(3x+*)(3>0),下列结论正确的有()

A.当3=2时，f(x)的图象关于点舄心0)中心对称

B.当3=2时，f(x)在区间(0,会上是单调函数

C.若f(x)≤/(9恒成立，则3的最小值为2

D.当3=1时，f(x)的图象可由g(x)=cos%的图象向右平移々个单位长度得到

12.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，对于任意X∈R,都有f(x+4)=/(X)+f(2)

成立.当xe[0,2)时，/(x)=2X-l,下列结论中正确的有()

A./(2)=O

B.函数y=/(x)在(2,4)上单调递增

C.直线X=4是函数y=/(x)的一条对称轴

D.关于X的方程/(%)=log2∣x∣+2共有4个不等实根

三、填空题(本大题共4小题，共20.()分)

13.函数/O)=晶?或一切"一则“⑴]=.

14.已知a,b为正实数，满足(α+3b)(2α+b)=6,则8α+9b的最小值为

15.如图，正六边形ABCDEF的边长为2,分别以点4,B为圆心,

AF长为半径画弧，两弧交于点G,则念，BG,AB围成的阴影部分

的面积为—.

16.近年来，淮安市依托地方资源优势，用风能等清洁能源替代传统

能源，因地制宜实施新能源项目，在带来了较好经济效益的同时，助

力了本地农户增收致富.目前利用风能发电的主要手段是风车发电.如

图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为120。.

现有一座风车，塔高90米，叶片长40米.叶片按照逆时针方向匀速转动，

并且每6秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最

低点(此时P离地面50米).设点P转动t(秒)后离地面的距离为S(米)，则S关于t的函数关系式

为—，叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于70米的时长为一秒.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

(1)已知Sina=2cosa,求SiTIa∙CoSa的值；

,、一2

2

(2)⅛<ffl：log23.iθg916+10⅛-83-

18.(本小题12.0分)

2

设全集为U=R,集合4={x∣log2(x—7%)>3},B={x∣α+1<x<2a—3).

(1)当a=6时，求图中阴影部分表示的集合C；

(2)在①(CRA)nB=0；②AnB=B；③AUB=4这三个条件中任选一个作为已知条件,

求实数a的取值范围.

19.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=√2cos(ωx+φ)(ω>0,∖φ∖≤今的部分图象如图所示.

(1)求函数/Q)的解析式;

(2)将函数/Q)的图象向左平移］个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标

不变)得到函数g(x)的图象，若关于X的方程g(x)+α=0在区间［0,1］上有两个不同的实数解,

求实数ɑ的取值范围.

20.(本小题12.0分)

2022年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，目前的新冠病毒是奥密克戎变异株，其特点是:

毒力显著减弱，但传染性很强，绝大多数人感染后表现为无症状或轻症，重症病例很少，长

期一段时间以来全国没有一例死亡病例，某科研机构对奥密克戎变异株在特定环境下进行观

测，每隔单位时间T进行一次记录，用X表示经过的单位时间数，用y表示奥密克戎变异株感

染人数，得到如下观测数据：

X(T)123456•••

y(人数)636216

若奥密克戎变异株的感染人数y与经过X(X∈N*)个单位时间T的关系有两个函数模y=

m/+n与ʌ,=k∙cιχ(k>o,α>1)可供选择.(参考数据：¢=1,414,√3=1.732,lg2=

0.301,lg3=0.477)

(1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；

(2)求至少经过多少个单位时间该病毒的感染人数不少于1万人.

21.(本小题12.0分)

已知函数/(X)=C是定义在R上的奇函数,且f(2)=ɪ

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)判断并证明/(x)在(-2,2)上的单调性；

(3)若存在实数X∈[-1,2],使得不等式4[∕(x)K-f(χ)+1≤ni有解，求实数m的取值范围.

22.(本小题12.0分)

已知函数f(冗)=Inx.

(1)若函数y=/[/(%)]+/(%)的零点在区间(∕c,∕c+l)上，求正整数/c的值；

(2)记g(%)=/[(3-a)ex-1]-/(α)-2x,若g(x)≤0对任意的％∈[0,+8)恒成立，求实数

Q的取值范围.

答案和解析

I.【答案】A

【解析】解：集合M=[x∖x2<9}={x∣-3<x<3],N={1,2,3,4,5},

则MCN={1,2}.

故选:A.

求出集合M,利用交集定义能求出MnN.

本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算能力，是基础题.

2.【答案】B

【解析】解："VxeR,都有COSX≤1"的否定为：mxCR,使得COSX>1.

故选：B.

含有全称命题的否定，需将全称改为特称，并且对结论否定.

本题考查含有全称命题的否定，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】解：若X=2,则M={l,2},二MUN,

若MUN,则X=2或3,

.∙.“％=2”是“MUN”充分不必要条件.

故选：A.

根据充分条件和必要条件的定义判断即可.

本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，考查了集合相等的定义，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解：根据甲说：我去过的景点比乙多，但没去过淮安方特；乙说：我没去过龙宫大白鲸

世界，

故甲去过龙宫大白鲸世界、西游乐园，

丙说：我们三个人去过同一个景点，故三个人同去的景点为西游乐园，

故乙一定去过的景点是西游乐园.

故选：C.

根据题意，可得甲去过龙宫大白鲸世界、西游乐园，结合我们三个人去过同一个景点，即可判断

乙一定去过的景点.

本题考查简单的合情推理，属于基础题.

5.【答案】。

【解析】解：∙∙∙O.8o>0.84∙2>0.74∙2,ʌ1>m>P>0,

■*'n=∖og074.2<Iog07I=0,

∙∙n<p<m,

故选：D.

利用对数函数和基函数的性质求解.

本题考查对数函数和基函数的性质，属于基础题.

6.【答案】B

【解析】解:/(—x)=cos(sin∣—x∣)=cos(sin∣x∣)=f(x),

即函数f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除0,

-1≤sin∣x∣≤1,.∙.y=cos(sin∣x∣)>0,排除4

在X=O的右侧，t=sinx为增函数，y=cost为减函数，此时函数/(x)为减函数，排除C,

故选:B.

根据三角函数的图象和性质，先判断函数的奇偶性，然后判断函数的单调性利用排除法进行判断

即可.

本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键.难度不大.

7.【答案】A

【解析】解:由题意可知，对区间((U)内需要求解f(0.5)"(0.75),f(0.625),f(0.6875),f(0.65625),

/(0.671875)的值，然后达到/(x)零点的近似值精确到0.1,所以零点的近似解为0.7.共需要计算6次.

故选：A.

利用零点判断定理以及二分法的方法，判断求解即可.

本题考查零点判断定理的应用，二分法的应用，图表信息的应用，是基础题.

8.【答案】D

【解析】解：由于/Q)=《A+ln(√lTχ2+%),则/(-%)=匕尹+InCVlTx7-X)=

pX-p-X1pX-p-X---------

———+ln后=一-2-—Inal+M+无)=-/(X),

由于y=—和V=ln(λ∕l+χ2+X)在［0,+8)上单调递增,则/(x)在［0,+8)上单调递增，

由奇函数的性质可知，/(x)在R上单调递增，

于是f(2*-4x)+/(m∙2x-2)<0等价于/(2工-4χ)<-f(m∙2x-2)=/(-m∙2x+2),也等

价于2”—4x<—m•2%+2,

也即m<£手艺=2工+检一1恒成立，由于2*+卷一1≥2√Σ-1,则m<2√∑-l,

故选：D.

首先分析函数的性质：奇偶性、单调性，因此将题中不等式化简、分离参数，转化为求最值问题.

本题考查函数的单调性、奇偶性，以及函数不等式恒成立求参数范围的一般方法，属于中档题.

9.【答案】ABD

【解析】解：对于4a>b>0,

则M—b2=(α—fe)(α+/?)>0,即小>⅛2,故A正确；

对于8,a<b<Of

222

则M-ab=α(α—ð)>0,BPa>ab,ab-b=ð(ɑ一匕)>0,即αb>bf

故@2>0力>力2,故8正确；

对于C,ɑ>ð>0,

则2α+bci_b(2α+b)—α(α+2b)_庐一ɑ2_(b—α)(b+α)ʌ

λa+2b~b=(α+2h)∂=(α+2b)b=(α+2b)b<U，

故磊‹今故C错误；

对于α>0,b>O9且α+b=l,

⅛+∣=(α+fc)⅛+∣)=2+≡+^≥2+2^=4.

(a+b=1

当且仅当也一，即a=b=；1时，等号成立，

Iba

故工+：的最小值为4,故。正确.

ab

故选：ABD.

对于ABC,结合作差法，即可求解；

对于。，结合基本不等式的公式，即可求解.

本题主要考查基本不等式公式，属于基础题.

10.【答案】BD

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于4,当α=0时，f(x)=X2-2x,两个根为-2和0,A错误；

对于B,/^(x)=/-2χ+Q有两个零点X1，χ2,必有4=4-4α>0,变形可得α<l,B正确；

α

对于C,/(x)=/-2久+α有两个零点Xi，X2>则有Xl+>⅛=2,x1x2=>

则;+；+XlX2=，詈+x∕2+/由B的结论，α<1,

ɪl×2xlx2a

当α<0时，-+a<0,则的最小值为2√Σ明显错误，C错误；

a×i%2E+=+X62

对于D,/(x)=∕-2x+α为开口向上的二次函数，其对称轴为χ=l,

结合二次函数的性质，可得Vm,neR且m力n,都有智盘>/(竽)，。正确.

故选：BD.

根据题意，对于4令α=0,求出/(x)的零点，可得A错误，对于B,由二次函数的性质可得B

正确：对于C,由根与系数的关系可得白+白+与亚=空+/上=；+。，易得当α<0时，C

X∖X2x∣%2。

错误；对于D,结合二次函数的性质可得。正确.

本题考查二次函数的性质以及应用，涉及不等式的性质，属于基础题.

11.【答案】ACD

【解析】解：当3=2时，函数f(x)=sin(2x+≡),X=卷兀时，可得y=0,所以当3=2时，/(x)

的图象关于点(卷兀,0)中心对称，所以A正确；

当3=2时，函数/(x)=sin(2x+,),函数的周期为兀，区间(0,6长度为半周期，而X=O时，函

数没有取得最值，所以/(x)在区间(0,6上不是单调函数，所以B不正确；

若/⑶≤/¢)恒成立，可知X建时,函数取得最大值，可得触+*2kτr+akez,可得3=

12k+2,keZ,ω>0,则3的最小值为2,所以C正确；

当3=1时，/(x)=sin(x+ξ),g(x)=cos尤的图象向右平移W个单位长度得到y=cos(x-今=

COSG-X)=Sin(X+看)=/(x),所以。正确;

故选：ACD.

利用三角函数求值，判断对称中心，推出4的正误：求解函数的单调性判断B的正误；利用函数恒

成立，列出不等式求解3,判断C的正误；利用函数的图象变换判断。的正误.

本题考查三角函数的图象与性质的应用，函数的图象的变换，是中档题.

12.【答案】AC

【解析】解：因为/Q)是R上的偶函数，且f(%+4)=f(x)+f(2),

对于4,令x=-2,则有/(2)=/(-2)+f(2)=2/(2),所以f(2)=0,故正确；

因为f(2)=0,

所以f(x+4)=f(%)+/(2)=∕(x),

所以函数/(x)的周期为4,

对于B,函数/(X)在(2,4)上的单调性与在(-2,0)上的单调性相同，

又因为当Xe[0,2)时，/(x)=2χ-l,单调递增，

由偶函数的性质可得/(x)在(-2,0)上单调递减，

即函数f(x)在(2,4)上的单调递减，故错误；

对于C,因为函数为偶函数，所以X=O为对称轴，

又因为函数的周期为4,所以X=4为函数的对称轴，故正确；

对于D,当*∈[0,2)时，f(x)=2'—1,

xx

所以/(x)=log2∣x∣+2<=⅛2-1=log2∣x∣+2o2—1=log2x+2,解得％=2,

因为y=log2∣x∣+2为偶函数,

所以为y=log2∣x∣+2与y=/(x)的交点关于y轴对称，

在同一坐标系中作出两函数的部分图象，如图所示：

由此可得y=/^(x)与y=log2∣x∣+2的图象只有2个交点,

所以方程/'O)=log2∣x∣+2只有2个不等实根，故错误.

故选：AC.

用赋值法判断4

由题意可得函数的周期为4,所以函数/(x)在(2,4)上的单调性与在(-2,0)上的单调性相同，只需判

断函数在(0,2)上的单调性即可；

由函数为偶函数及周期为4判断C；

将方程转化为函数y=/(X)与y=10g2∣x∣+2的图象的交点个数，作出图象即可判断.

本题考查了函数的对称性、奇偶性、单调性及周期性，也考查了转化思想、数形结合思想，属于

中档题.

13.【答案】3

【解析】解:/(1)=1+log33=2,

/(2)=3,

故答案为：3.

根据分段函数求值即可.

考查分段函数求值，基础题.

14.【答案】12

【解析】解：∙∙∙α,b为正实数，满足(α+3b)(2a+b)=6,

.∙.(2α+6b)(6α+3b)=36,

.∙.(2α+6b)(6a+3b)<(2。+6"。+3炉=趣誓，

当且仅当斤吃吃；?；：亲即α=4,b=：时,等号成立,

((Zα+ob)(oa÷Sb)=ɔo55

故8α+9b的最小值为12.

故答案为：12.

根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解.

本题主要考查基本不等式的公式，属于基础题.

15.【答案】y-√3

【解析】解：连接AG,FG,则△4FG是边长为2的等边三角形,

所以AAFG的面积Sl=∣×2×√3=√3,

因为正六边形ABCDE尸，所以zʃAB=手

所以扇形FAB的面积为S?=：X当X22=手

由割补法可知，阴影部分的面积S=S2-S1=y-√3.

故答案为：y-√3.

连接AG,FG,由割补法可知，阴影部分的面积=扇形FaB的面积-△4FG的面积，得解.

本题考查扇形的面积公式，熟练掌握割补法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于

基础题.

16.【答案】S=90-40cos^t4

【解析】解：因为风车6秒旋转一圈，则其转动的角速度为告=J,经过t时，叶片转过的圆心角

Oɔ

烤t,

此时离地面的高度为50+40(1-cos≡t).故S=90-40cos≡t(t>0)；

1

九

得COSt<

-3-2-

因为0≤t≤6,所以g≤gt≤等,解得l≤t≤5,

所以一圈内P离地面的高度不低于70米的时长为4秒.

故答案为：S=90—40COS/4.

根据风车6秒旋转一圈求出转动的角速度，写出经过t时叶片转过的圆心角，写出叶片离地面的高

度函数，由此求出一圈内P点离地面的高度不低于70米的时长.

本题考查了三角函数模型的应用问题,也考查了数学建模应用问题，是中档题.

17.【答案】解:(1)sina=2cosa,:∙tana=2,

sinacosatana2

贝IJSina∙cosa=

sinα+cos2atanzα+l5

(2)原式=需.熬+2—22=2+2—4=0.

【解析】(1)利用同角三角函数间的基本关系求解即可.

(2)利用对数的性质和运算法则及换底公式求解.

本题考查同角三角函数间的基本关系，对数的性质、运算法则及换底公式，属于中档题.

18.【答案】解：(1)全集为R,集合A={x∣χ2-7x-8>0}={x∣x<-1或X>8},

a=6时，B={x∣α+l<x<2α-3}={x∖7<x<9},

ʌCRB={x∣x≤7或X≥9},

•••图中阴影部分表示的集合C=AnCRB={x∣x<-1或久≥9}.

(2)①(CRA)nB=。：②ACB=B；③AUB=4

选择①②③均得到BU4

当B=0时，α+l≥2α-3,解得α≤4；

当"。时，(2ab-7≤→3<+i≡8a^3-解得{笑:或{以二&≥7，

综上，实数Q的取值范围是(一8,4]U[7,+8).

【解析】(1)求出集合A,B,利用交集和补集定义能求出结果；

(2)由已知得BU4,分B=0和B片0两种情况讨论，可求出实数ɑ的取值范围.

本题考查集合的运算，考查交集、补集定义、不等式性质等基础知识，属于基础题.

19.【答案】解：⑴由图象可知，ɪrɪl-ɪ,可得7=3=1,则3=2兀，

ZOOω

又d∑cos(2ττ×ɪ+φ)=V∑,∖φ∖≤%

O4

所以今+0=0,解得0=一%

所以f(x)=√2cos(2ττx-》；

(2)依题意，将函数f(x)的图象向左平移,个单位，可得y=√2cos［2τr(x+*)-?］=V2cos(2πx+,

再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可得g(x)=√∑cos(7rx+力，

当O≤x≤l时，ɪ≤πx+ɪ≤⅞,

444

所以一√Σ≤√∑cos(ττx+今≤1,且当X=I,时，g⑴=一1,

作出函数g(x)的图象如下图所示，

由图象可知，要使关于久的方程g(x)+α=O在区间［0,1］上有两个不同的实数解，则需—VI<-a≤

-1,

解得1≤ɑ<√2,

所以实数ɑ的取值范围为［l,√∑)∙

【解析】(1)根据题意可得T=1，进而可得3=2兀，再由√∑cos(2τrX：+s)=√Σ,可得少的值,

进而得解；

(2)求出g(x)=VIcosg+》作出函数g(x)的图象，结合图象即可得到答案.

本题考查余弦函数的图象及性质，考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想以及运算求

解能力，属于中档题.

20.【答案】解：（1）若选y=m/+九,

/5

—m

解得--

将（2,6）,V36）代入得常?M36,2

n-4

、n-

52Λ

・•・y=-XΔ-4,

当％=6时，y=86≠216,故不符合题忌；

x

若选y=k∙afQ>1,

将(2,6),(4,36)代入得《Y］祟解得α=通，卜=1，

y=V6>

当X=6时，y=√δ6=2i6,符合题意，

故选择y=k∙ax(k>0,a>1)模型，且解析式为y=&；

(2)由(1)得y=遥二

要使该病毒的感染人数不少于1万人，则伤X≥10000«

两边同时取对数得Rg距≥4,BPx≥品丽=ɪ≈103

故至少经过11个单位时间该病毒的感染人数不少于1万人.

【解析】(1)分别将(2,6),(4,36)代入，求出m,n,k,a,再验证当％=6时，是否符合，即可得

出答案；

(2)由(1)得y=√^,要使该病毒的感染人数不少于1万人，则逐、≥10000,两边取对数，求解

即可得出答案.

本题考查根据实际问题选择函数类型，考查转化思想和待定系数法，考查逻辑推理能力和运算能

力，属于中档题.

21.【答案】解：(1)因为/(X)=笔管是定义在R上的奇函数,

所以/(O)=彳=0，

所以C=0,

所以/O)=第，

2

所以/(_%)ax-bx

X2+4

又因为f(T)=-/(X),

所以0%2—bx=—ax2—bx,

所以o=0,

所以f(χ)=言,

又因为f(2)=[,

rrpi2hb1

所以g=W=T

所以f(X)=怠;

(2)/QO在(-2,2)上为单调递增函数，证明如下:

证明：任取%i，X2∈[0,2),使%1<X29

X2_X1F+4)-X2(W+4)_(XlX2-4)(X2-Xl)

则/(与)—/(&)=晶

名+4-—(W+4)(W+4)—一(好+4)(垃+4)，

因为0≤x1<X2<2,

所以不—Xi>0,X1X2<4,X1X2—4<0,

(XIX2-4)0⅞-XI)

所以,<0,

(X什4)(靖+4)

即/(Xl)-/。2)<0,

f(,×l)</。2)，

所以/(x)在[0,2)上为单调递增函数，

又因为/(x)为奇函数，

所以/(x)在(-2,0)上为单调递增函数，

所