2023届高考数学一轮复习作业 双曲线北师大版

双曲线

[4组在基础中考查学科功底]

一、选择题

1.（2019•浙江高考）渐近线方程为牙土尸0的双曲线的离心率是（）

A.乎B.1C.√2D.2

C[根据渐近线方程为x±y=0的双曲线，可得a=b,所以CHa,

则该双曲线的离心率为e=*=√L故选C.]

aV

22

2.已知双曲线的方程为:一2=1,则下列关于双曲线说法正确的是（）

A.虚轴长为4

B.焦距为2m

c.离心率为华

D.渐近线方程为2x±3y=0

22

D[由题意知，双曲线Y-AI的焦点在y轴上，且a?=4,Z∕=9,故c'=i3,所以选

项A,B均不对；离心率e=£=卑，故选项C不对；由双曲线的渐近线知选项D正确.故

a2

选D.]

?√5

3.已知双曲线GF—5=1的离心率e=1,且其右焦点为用（5,0）,则双曲线C的方

ab4

程为（）

X2V222XV

A----------1B---------=1

43916

2222

c二一匕=1D上一匕=1

16934

C[由题意得e=∖∕l+g=）,又右焦点为K（5,0）,a'+∣j-c,所以3=16,S=9,

Va4

故双曲线C的方程为《一!=1.]

169

4.（2020•全国卷I）设万，E是双曲线GV—5=1的两个焦点，。为坐标原点，点夕

ɔ

在。上且|。1=2,则△用K的面积为（）

75

A.-B.3C.-D.2

B［法一：设讶，A分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知£(—2,0),用(2,

0),又|阳=2,所以|阳=|仍|=|闲，所以△尸RK是直角三角形,所以I小r+∣依「

=∣Λ∕⅛I2=16.不妨令点―在双曲线。的右支上，则有I冏∣T4I=2,两边平方，W∣ΛRI2

2

+∖PFi∖→∖PFy∖∙∣依|=4,又Imr+1该『=16,所以I历I∙∣阳1=6,贝!∣S=a%∣∙∖PFi∖

=；X6=3,故选B.

法二：设A,K分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知£(—2,0),K(2,0),

/2Q

又|阴=2,所以I如=ImI=I诙I,所以△必M是直角三角形,所以5=—½Γ=-^

Utan4o

tan万

=3(其中O=NRPF),故选B.］

22

5.已知双曲线G今一看=1(a>0)的一条渐近线方程为4x+3y=0,R,凡分别是双曲

线C的左、右焦点，点尸在双曲线C上，且I用1=7,则IMl=()

A.1B.13C.171).1或13

√44

B［由题意知双曲线］-%=l(a>0)的一条渐近线方程为4x+3y=0,可得：=§，解得

a=3,所以c='a'+5=5.又由用，E分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线上，

且|%|=7,可得点夕在双曲线的左支上，所以I代I一|%|=6,

可得I件∣=13.故选B.］

22

6.已知双曲线G§一方=l(a>0,6>0)的顶点到其一条渐近线的距离为1，焦点到其

一条渐近线的距离为斓，则其一条渐近线的倾斜角为()

A.30°B.450C.60oD.120°

V2/,

B［设双曲线F—%=1的右顶点A(a,0),右焦点FAc,0)到渐近线y=-χ的距离分别

aba

ab

一+

ʌ/♦Ha亚

为1和小，则有《rl

be叫=学

√2,

N-+一

»2222I

^bc—acTZb

则tF=­Γ-=F-1=2-1=1,即一=1.

aaaa

设渐近线尸点的倾斜角为。,

则tan"=m=l.

所以夕=45°,故选B.]

7.（2017•全国卷In）已知双曲线G?一看=l（a>0,6>0）的一条渐近线方程为尸坐

X,且与椭圆正+不=1有公共焦点,则C的方程为（）

2222

1

A.I-⅛=b∙7^f=1

2222

d

C.∙2=1

r.Vl-re”λ∕5

B［由尸+X,可得W二考・①

由椭圆吉+；=1的焦点为（3,0）,(—3,0),

可得a2+Δ2=9.②

由①②可得才=4,6=5.

22

所以C的方程为卜f=l∙故选B.]

/V

8∙圆乙'+/-ι°y+i6=°上有且仅有两点到双曲线了一方=ι（a>o,”>。）的一条渐

近线的距离为1,则该双曲线离心率的取值范围是（）

A.(√2,√5)

D.(√5,√2+l)

C[不妨设该渐近线经过第二、四象限，则该渐近线的方程为bx+ay=Q.因为圆C,

5。

V+（y—5）2=9,所以圆C的圆心为（0,5）,半径为3,所以2<v?+?<4.结合a+Z?2=

-得冷得所以该双曲线的离心率的取值范围是（|，I[.]

二、填空题

22

9.（2021•新高考卷∏）已知双曲线Ga一方=Io>0,Z?>0）,离心率e=2,则双曲线

C的渐近线方程为________.

y=±√5x-1=√5,

故双曲线C的渐近线方程为：y=±√3x]

22

10.（2021•焦作模拟）已知左、右焦点分别为£,用的双曲线α%一5=l（a>0,b>

0）的一条渐近线与直线/：万一2尸0互相垂直，点/在双曲线C上，J≡L;ΛS∣-∣ΛS∣=3,则

双曲线。的焦距为.

22/

3Λ∕5[双曲线G*一方=l（a>0,6>0）的渐近线为y=±y

一条渐近线与直线/：χ-2y=0相互垂直，可得2=2,

a

即6=2a,由双曲线的定义可得2a=∣掰|一|咫|=3,

3

可得a=],8=3,

即有c=√a+⅛2=-^∣+9=∙^^,

即焦距为20=34.]

22

11.如图，A和月分别是双曲线之一5=l（a>0,。>0）的两个焦点，/1和6是以。为圆

aD

心，以I%I为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且4A∕6是等边三角形，则双曲线的

离心率为.

隹

√3+l[设IAEl=2c,连接站（图略），

•••△£4?是等边三角形，且兄K是。。的直径，

ΛZJβ^=30o,NF4K=90°,

/.∖AF∖∖=c,∖AF2∖=yβc,2a=y∣3c-c,

22

12∙已知双曲线任务方=l（a>。，。>。）.若矩形胸〃的四个顶点在£上，四”的

中点为E的两个焦点，且2∣∕6∣=3Ia1,则£的离心率是.

f∖/2»/2

2［由已知得/例=ICD∖=—,∖BC∖=∖AD∖=IAKl=2c.因为2∖AB∖=Z∖BC∖,所以——

Qa

=6c,

又A2=C-a2,所以2^—3e—2=0,

解得e=2,或e=一；(舍去).]

[B组在综合中考查关键能力]

22

1.(2019•全国卷I)双曲线α$一方=l(a>O,6>0)的一条渐近线的倾斜角为130。，

aD

则C的离心率为()

A.2sin40°B.2cos40"

Cɪ1

sin50odcos50°

D[由题意可得一'=tan130",