2023年全国甲卷高考理科数学试题解析

2023年高考全国甲卷理科数学试题解析

[设集合4={xlx=3k+UkeZ},B={x\X=3《+2#£Z},0为整数集，^j(^U5)=

()

A.{x\x=3k,keZ}B.{x\x=3k-l,keZ}

C.{x\x=3k-2,keZ}D.0

【答案】A

【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出.

【解析】因为整数集

Z={x|x=3k,k£Z}U{X[X=3《+1,A：£Z}U{X|X=3K+2,Z：£Z},U=Z,所以，

电(/IJB)={x|x=3k,keZ}.

故选：A.

2.若复数(〃+i)(l-ai)=2,Q£R,则。=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出.

【解析】因为(a+—=a—a3+i+Q=2。+(1-Q?)i=2,

2a=2

所以《解得：a=\.

1-a2=0

故选：C.

3.执行下面的程序框遇，输出的8=（）

/输出3/

O束)

A.21B.34C.55D.89

【答案】B

【分析】根据程序框图模拟运行，即可解出.

【解析】当〃=1时，判断框条件满足，第一次执行循环体，N=l+2=3,8=3+2=5,

“=1+1=2：

当〃=2时，判断框条件满足，第二次执行循环体，71=3+5=8,3=8+5=13,

〃=2+1=3；

当〃=3时，判断框条件满足，第三次执行循环体，4=8+13=21,6=21+13=34,

〃=3+1=4；

当“=4时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出3=34.

故选：B.

4.向量|码=|51=-1,|11=0，^-a+b+c=0<WOcos{a—c,b—c）=（）

1224

A.----B.----C.-D.一

5555

【答案】D

【分析】作出图形,根据几何意义求解.

【解析】因为万+5+5=0,所以5+b=~c

即12+/+2口/=^,即1+1+21力=2，所以无5=0.

如图，设厉=2砺=B,反=5,

由题知,。4=。8=1,。。=啦038是等腰直角三角形,

AB边上的高OD^—,AD=—,

22

所以8=。。+。。=71+也=逑，

22

tanNACD=—=cosNACD=-J=

CD3Vio'

cos(5-c,b-c)-cosZACB=cos2ZACD-2cos2Z.ACD-X

故选:D.

5.己知正项等比数列｛%｝中，q=1,5,为｛4｝前〃项和，S5=5S3-4,贝”4=()

A.7B.9C.15D.30

【答案】C

【分析】根据题意列出关于q的方程，计算出/即可求出S*

【解析】由题知l+q+q2+/+q4=50+q+g2)-4,

即/+/=4q+4/,即/+/_44—4=0,即(g_2)(q+l)(q+2)=0.

由题知q〉0,所以q=2.

所以$4=1+2+4+8=15.

故选:C.

6.有60人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若

己知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为()

A.0.8B,0.4C.0.2D,0.1

【答案】A

【分析】先算出报名两个俱乐部的人数，从而得出某人报足球俱乐部的概率和报两个俱乐部

的概率，利用条件概率的知识求解.

[解析】报名两个俱乐部的人数为50+60-70=40,

记“某人报足球俱乐部”为事件A,记“某人报兵乓球俱乐部”为事件B,

r,,»八505c/404

贝|JP(N)=百■尸(/8)=玄=-

707707

4

所以P(8M)=且4"=[=0-8.

尸⑷5

7

故选:A.

7.lisin2«+sin2/?=1sina+cos/?=0()

A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件

C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件

【答案】B

【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.

jr

【解析】当sin2q+sin2，=l时，例如a=',/?=0但sina+cos^w0,

即sin2a+sin20=1推不出sina+cos4=0；

当sina+cos£=0时,sin2a+sin2°=(-cos0y+sin2°=1,

即sina+cos夕=0能推出sin2a+sin2/?=1.

综上可知，sin2a+sin2/=1是sina+cos/=0成立的必要不充分条件.

故选：B

r22L

8.已知双曲线-—彳v=1(“>0,6>0)的离心率为石，其中一条渐近线与圆

ab~

(x—2)2+(y—3)2=l交于Z,B两点,则|/6|=()

A.-B.叵C.正D.

5555

【答案】D

【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.

【解析】由6=右，则4=上0=1+?=5，

aa~a

解得2=2,

a

所以双曲线的一条渐近线不妨取y=2x,

则圆心(2,3)到渐近线的距离d=量-：=9,

所以弦长|1=2勿_笛=2^11=竽.

故选：D

9.有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务,

则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为()

A.120B.60C.40D.30

【答案】B

【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天社区服务的情况，即可得解.

【解析】不妨记五名志愿者为a,b,c,4,e,

假设“连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服

务，共有A”12种方法，

同理：b,c,d,e连续参加了两天社区服务，也各有12种方法，

所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有5x12=60种.

故选：B.

10.已知/(x)为函数_y=cos(2x+t)向左平移2个单位所得函数，则丁=/(x)与

y的交点个数为()

22

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】先利用三角函数平移的性质求得/(x)=—sin2x,再作出/(x)与y=的

部分大致图像，考虑特殊点处./■")与丁=!》-；的大小关系，从而精确图像，由此得解.

【解析】因为V=cos12x+向左平移孑个单位所得函数为

所以/(x)=—sin2x,

牛，年处/(x)与的

大小关系,

当》=工时,13兀13兀一4

—x--------=--------<1；

42428

7兀一4,

------->1

所以由图可知，/（X）与歹=—L的交点个数为3.

故选：C.

11.在四棱锥。一/88中，底面N8CD为正方形，AB=4,PC=PD=3,ZPCA=45°,

则APBC的面积为（）

A.272B.3啦C.472D.5夜

【答案】C

【分析】法一：利用全等三角形的证明方法依次证得AP。。三APC。，APDB*PCA,

从而得到尸工=尸8,再在△PZC中利用余弦定理求得从而求得P8=JI7,

由此在APBC中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解；

法二：先在中利用余弦定理求得尸/=J万，cosZPC5=1,从而求得

PA-PC=-3^再利用空间向量的数量积运算与余弦定理得到关于PB,4BPD的方程组，

从而求得尸s=47，由此在APBC中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解.

【解析】法一：

连结交于。，连结P0,则。为/C,8。的中点，如图，

因为底面力为正方形，46=4,所以4。=8。=4五，则。O=CO=2JI，

又PC=PD=3,PO=OP,所以△尸£>。三APC。，则/尸。。=/尸。。，

又PC=PD=3,AC=BD=46，所以APDBMAPC/,则尸Z=P8,

在中，PC=3,AC=4A/2,ZPCA=45°.

则由余弦定理可得

PA2=AC2+PC2-2ACPCcosZPCA=32+9-2x4>/2x3x—=17，

2

故尸/=JI7，贝IJP8=JT7，

故在APBC中，PC=3,PB=y[H,BC=4,

PC2+BC2-PB29+16-17_1

所以cos/PCB

2PCBC2x3x4-W

又0<NPCB<TI,所以sinNPCB=Jl—cos?NPCB=冬&，

3

所以APBC的面积为5=,尸。-8。5由4PCB==乂3义4x42=4叵.

223

法二：

连结交于。，连结PO,则。为的中点，如图,

因为底面力8C7）为正方形，N6=4,所以NC=5O=4近，

在中，PC=3,NPC4=45。,

则由余弦定理可得

J7

PA2=AC2+PC2-2ACPCcosZPCA=32+9-2x4^x3x—=17，故

2

尸工=Ji7,

/么2+尸。2—」。2_17+9—32

所以cos//PC=

2PAPC2x717x3

~PA~PC网因cosZAPC=V17X3X

不妨记PB=/%,/BPD=0,

因为所=；（方+正）=；（而+而），所以（秒+定『=（而+而J,

即尸/+PC+2PAPC=PB+PD+2PBPD'

KiJ17+9+2x（-3）=/n2+9+2x3x/ncos0,整理得病+6〃?cos6-l1=0①，

又在△尸8。中，BD°=PB?+PD?-2PB•PDcosNBPD，即32=〃/+9—6加cos。，

贝!Im2-6mcos。-23=0②，

两式相加得2机2-34=0，故PB=m=后,

故在APBC中，PC=3,PB=yfii,BC=4,

PC?+BC?-PB?9+16-17_1

所以cosNPC3=

2PCBC2x3x4-3

又。<NPCB<n,所以sinNPCB=Jl—cos?NPCB=出，

3

所以APBC的面积为5=,尸。-8。$山/尸。8=1*3*4><拽^=4逝.

223

故选：C.

r223

12.己知椭圆瓦+{v~=1,片,鸟为两个焦点，。为原点，。为椭圆上一点，cos

/-FXPF2=-,

则|P0|二()

A2B.我cTD.叵

■5252

【答案】B

【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出△尸耳工的面积，即可得到点P的坐标，

从而得出|。尸|的值；

方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出|尸婚|P用尸用2+|尸工『，再结合中线的向量

公式以及数量积即可求出；

方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出|尸大|2+归耳『，即可根据中线定理求出.

7T=b1tan"'PF?=b2tan6,

【解析】方法一：设/片桃=240＜。＜5,所以

2

222

,-ccos^-sin61-tan63〃力/日八1

由cosZF.PF=cos26=---；---------=---------=—,解得:tan0=—

2cos2sin21+tan2^52

由椭圆方程可知，。2=9,/=6,。2=/—〃=3,

所以，,呻忻勾x|.=；x2石x|.=6x；,解得：片=3,

即片=9x(l-*)=|,因此Q尸|=&+%=口|=粤.

故选：B.

方法二：因为|P£|+|P周=2a=6①，忸周2+|尸闻2一2忸周伊闻/耳尸月=|耳闾2,

即|尸用2+俨用2一号归百归用=12②，联立①②，

1<

解得：阀||尸昭=》,附「9+忸寸7=21,

而丽=;（两+用），所以|。尸|=|所卜;I西+西］

即叫毛防+

2PF、PF,

522

故选：B.

方法三：因为|尸£|+归周=2。=6①，|尸耳『+归用2_2留的尸周/£「鸟=内巴'

即|P用2+仍居|2一6能引=12②，联立①②，解得：|尸卬2+仍用2=21,

由中线定理可知，（2|0哨+出用2=21呐2+质「）=42,易知出用=2出，解得:

阳粤

故选：B.

［拓展】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解

出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可

以直接用中线定理解决，难度不是很大.

二、填空题

13.若歹=（X一1）2+ax+sin[x+为偶函数，则4=

【答案】2

【分析】利用偶函数的性质得到了从而求得a=2,再检验即可得解.

+ax+sin[x+（

【解析】因为y=/（x）=（x—I）?（工-1）2+QX+COSX为偶函数，定

l2J

71

2

此时/（X）=（X-1）24-2x+cosX=X2+1+cosX,

所以/（―x）=（―x）2+1+COS（-X）=工2+1+COSX=/（X）,

又定义域为R，故/(x)为偶函数,

所以“=2.

故答案为：2.

-lx+3y<3

14.设工，^满足约束条件<3%一2p43，设z=3x+2y,则z的最大值为

x+y>1

【答案】15

【分析】由约束条件作出可行域，根据线性规划求最值即可.

【解析】作出可行域，如图，

37

由图可知，当目标函数yn-'X+s过点A时，Z有最大值

所以Zmax=3x3+2x3=15.

故答案为：15

15.在正方体NBC。-44GA中，E,尸分别为CD,的中点，则以EF为直径的球

面与正方体每条棱的交点总数为.

【答案】12

【分析】根据正方体的对称性，可知球心到各棱距离相等，故可得解.

【解析】不妨设正方体棱长为2,EF中点为O,取/B，中点G,M,侧面的

中心为N,连接FG,EG,OM,ON,MN,如图，

N

由题意可知，0为球心，在正方体中，EF=yjFG2+EG2=V22+22=2、5，

即R=>/2,

则球心0到的距离为QM=y/oN2+MN2=Vl2+I2=6，

所以球。与棱5片相切，球面与棱8片只有1个交点，

同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点，

所以以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12.

故答案为：12

16.在中，AB=2，NBAC=6V,BC=&,。为8c上一点，AD为/BAC的

平分线，则.

【答案】2

【分析】方法一：利用余弦定理求出/C,再根据等面积法求出；

方法二：利用余弦定理求出ZC,再根据正弦定理求出民C,即可根据三角形的特征求出.

如图所示：记AB=c,AC=b,BC=a,

方法一：由余弦定理可得，22+〃_2x2xbxcos6(r=6,

因为6>0,解得：b=l+JJ，

由S.ABC=S^ABD+‘/CD可得，

—x2x/?xsin60°—x2xADxsin30°+—xADx6xsin30°,

2

出b26（1+石）

解得：AD

3+6

故答案为：2.

方法二：由余弦定理可得，22+/>2-2X2XZ>XCOS60°=6.因为分>0,解得：b=l+G，

由正弦定理可得，4—=_丝=二_,解得：sin3=C+后,sinC=-.

sin60°sinBsinC42

因为1+百>&>&，所以。=45°，6=180。-60°—45°=75°，

又N8Z0=3O°，所以NZ06=75°，AD=AB=2.

故答案为：2.

【拓展】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以

用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规.

三、解答题

17.已知数列｛4｝中，生=1，设S”为｛4｝前〃项和，2S„=nan.

（1）求｛%｝的通项公式；

（2）求数列的前〃项和小

【答案】⑴an=n-\

【分析】⑴根据％=<

Sn-Sn_t,n>2

（2）根据错位相减法即可解出.

【小问1解析】

因为2S“=nan,

当〃=1时，2q=q,即q=0；

当〃=3时，2（1+%）=3%，即％=2,

当，拒2时，2S,i,所以2（S“-S,T）=〃a“-（〃-l）%=2a.，

化简得：,当〃23时，===—=1,即氏=〃一1,

〃一1n-22

当〃=1,2,3时都满足上式，所以⑸=〃—l(〃eN*).

【小问2解析】

因为竽等所以北=„+2x1)+3x()+…+咽,

呆=1$2x©+…+(1咱+唱1

两式相减得，

2

=1—["CO）'艮叱=2-（2+〃）出，〃eN”.

18.在三棱柱Z8C-44G中，AAi=2,4C_L底面/8C,AACB=90°,&到平面

BCC^i的距离为1.

(2)若直线Z4与84距离为2,求力4与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)妪

13

【分析】(1)根据线面垂直，面面垂直的判定与性质定理可得4。J•平面8CG4,再由勾

股定理求出。为中点，即可得证；

(2)利用直角三角形求出力耳的长及点A到面的距离，根据线面角定义直接可得正弦值.

【小问1解析】

如图,

c,

Bi

，二

•••4C_L底面ABC,8Cu面ABC,

A^CIBC,又BC工AC,4C,ZCu平面NCG4，A,CryAC=C,

.•.8C_L平面ZCCA，又6Cu平面8CG4，

二.平面ZCC/i，平面8CGA,

过4作40_LCG交CG于。，又平面4CG4n平面BCC4=C£,4Ou平面

ACCiAi,

4。J■平面3CC0

V4到平面BCGg的距离为1,4。=1，

在Rta4C£中，4CJ_4£,CG="1=2,

设CO=x，则C1O=2—X,

•.•△4OC,A4OC,,A4CC,为直角三角形，且CG=2,

CO2+A<Cr=4c2,A,02+OC；=C/：,4c2+*=c,C2,

.­-1+X2+1+(2-X)2=4,解得x=l,

AC=A,C=4G=^2,

AC=A^C

【小问2解析】

vAC=J.C,fiC±A,C,BC1AC,

RtA^C5^RtA4C5

BA=BA{,

过8作8O_L441,交44］于。，则。为中点，

由直线44与BB］距离为2,所以8。=2

=80=2,AiB=AB=45,

在RtZ\/8C，BC7AB2-AC?=百，

延长ZC,使4C=CN,连接GW，

由CM〃AG，CM=4£知四边形4cMG为平行四边形，

川〃4。，.•・。|加，平面Z8C,又4/U平面/8C,

C}M1AM

22

则在RtA/IC.AZ中，AM=2AC,CXM=4。，；.AC,=^2AC)+A1C，

在RtZXZgG中，AC,=.yJ(2AC)2+A,C2,BG=BC=5

222

：.AB}=7(2V2)+(V2)+(V3)=V13,

又A到平面BCC[B1距离也为1,

所以AB,与平面5CC,B,所成角的正弦值为卡=用.

19.为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组(不加

药物)和实验组(加药物).

(1)设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X,求X的分布列和数学期望；

(2)测得40只小鼠体重如下(单位：g)：(已按从小到大排好)

对照组：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.4

26.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3

实验组：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.2

14.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0

(i)求40只小鼠体重的中位数m,并完成下面2x2列联表:

<m>m

对照组

实验组

(ii)根据2x2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.

参考数据：

k00.100.050.010

尸„)2.7063.8416.635

【答案】(1)分布列见解析，E(X)=1

(2)(i)加=23.4；列联表见解析，(ii)能

【分析】(1)利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望；

(2)(i)根据中位数的定义即可求得根=23.4,从而求得列联表;

(ii)利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.

【小问1解析】

依题意，X的可能取值为0,1,2,

则P(X=0)=等=奈，p(x=l)=詈尸(工=2)=警=义,

所以X的分布列为:

X012

192019

P

783978

1Q201Q

故E(X)=0x——+lx——+2x—=l

783978

【小问2解析】

(i)依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20

位与第21位数据的平均数，

由于原数据已经排好，所以我们只需要观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可，

可得第11位数据为14.4,后续依次为

17.3,17.3,18.4,19.2,20.1,20.2,20.4,21.5,23.2,23.6,…，

故第20位为23.2,第21位数据为23.6,

,23.2+23.6”“

所以〃？=----------=23.4,

2

故列联表为:

<m>m合计

对照组61420

实验组14620

合计202040

(ii)由⑴可得，K=40x(6x6-14x14)--6.400>3.841,

20x20x20x20

所以能有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.

20.已知直线x—2y+l=0与抛物线C:/=2px（p>0）交于两点，且|/出|=47记.

（1）求P；

（2）设C的焦点为凡M,N为C上两点，MF-NF=Q，求AMN尸面积的最小值.

【答案】（1）p=2

（2）12-872

【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出P：

（2）设直线MN：x=my+n,"（%,必》义仁,%）,利用砺.而=0，找到私〃的关

系，以及AMNV的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值.

【小问1解析】

设力

（x-2y4-1=0

由V2c可得，V-4勿+2。=0，所以

[夕=2px

所以

|幽=J（吃-xj+®一8）、=回厂%|=&xJ（"+jJ-438=，

即2P2一夕一6=0,因为夕>0,解得：p=2.

【小问2解析】

因为尸（1,0）,显然直线的斜率不可能为零，

设直线MV：x=my+n,M（x,,^）,A^（x2,y2）,

（y2=4x,

由〈可得，y-4my-4n^0,所以，y}+y2=4m,y}y2=-4n,

[x-my+n

A=16w2+\6n>0^>m2+n>0>

因为赤•标=0，所以（百_1）（々_1）+凹^2=0，

即（团凹+冲2+〃-1）+乂、2=0，

亦即（加2+1）乂%+加（“一1）（乂+%）+（“―if=0,

将必+y2=4〃?,乂夕2=-4〃代入得，

4m2=n2-6w+b4（/+〃）=（〃-1）->0,

所以“K1,且〃2—6〃+120，解得〃23+2双或〃W3—2JI.

In-11

设点尸到直线MV的距离为d,所以。=1,

|"N|二)(司一工2『+(必一夕2)2=W+加2|必一刃=+J16加2+16〃

=2不+〃22,4(/-6〃+1)+16〃=2-J1+加["-1],

所以△儿WF的面积S=gXpvw|Xd=gX中工X2JiTG71"_1|=(〃—1)2,

而〃23+2拒或“W3-20，所以，

当〃=3—20时，△脑W7的面积工柿=(2-2逝)2=12-8夜-

【拓展】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到加，〃的关系，一是为了减元，二是通

过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面

积的最小值.

…、sinx兀)

21.己知/(x)=or----—,xe0,—

cosxI2J

⑴若a=8,讨论/(x)的单调性；

(2)若./1(x)<sin2x恒成立，求a的取值范围.

【答案】(1)答案见解析.

(2)(-<»,3]

【分析】(1)求导，然后令/=852》,讨论导数的符号即可；

(2)构造g(x)=/*)-sin2x,计算g〈x)的最大值,然后与。比较大小，得出”的分界点，再对

。讨论即可.

【小问1解析】

cosxcos3x+3sinxcos2xsinx

f\x)=a-

cos6x

cos2x+3sin2x3-2cos2x

=a--------4------=a-------4----

COSXCOSX

令cos2x=/,则，£(。，1)

2—at"+2z—3

则f(x)=g(t)=a----z—=

工。入、，、8『+2”3(2/-1)(4/+3)

当a=8J(x)=g(/)=-—=——%——-

当f即xefj'(x)<0.

(；』)，即x{0,：)/'(x)>0.

当fe

所以/(X)在(0,；)上单调递增，在5上单调递减

【小问2解析】

设g(x)=/(x)-sin2x

g(x)=/(x)-2cos2x=g(/)-2(2cos2x-l)="十？——2(2/-1)=tz+2-4/+—；

23

设(p(t)=Q+2-4/+------

tt

.一一+5」尸?+6=_2(1)(2：+2什3)〉o

r/t