材料力学第4章-弯曲强度1

华中科技大学力学系钱勤材料力学MechanicsofMaterialsE-mail：qqqian@Tel:87543438(O)

构件特征：等圆截面直杆——圆轴。M0M0受力特征：外力偶矩的作用面与杆件的轴线相垂直。变形特征：纵向线倾斜一个角度

，称为剪切角(或称切应变)；两个横截面之间绕杆轴线发生相对转动

，称为相对扭转角。

扭转/扭转的概念及外力偶矩的计算M0

外力偶矩——扭力矩扭转回顾外加力偶矩与功率和转速的关系扭矩：受扭构件横截面上的内力偶矩，记为T。扭矩符号：按右手螺旋法则。扭矩矢量的指向与截面外法线的指向一致，为正；反之为负。nn（+）nn（-）扭转回顾（+）１１２２扭矩图：扭矩随构件横截面的位置变化的图线。（-）扭矩图扭转/杆受扭时的内力计算扭转回顾扭转/薄壁圆轴的扭转薄壁圆轴------壁厚远小于其平均半径(t<<

r0)的空心圆轴。切应变切应力T

TTABCD扭转回顾dxdydz

切应力互等定理：二个相互垂直的截面上，垂直于两截面交线的切应力大小相等，方向均指向或离开该交线。扭转/薄壁圆轴的扭转

剪切胡克定律G——材料的剪切弹性模量扭转回顾圆轴扭转时横截面上切应力抗扭截面模量扭转/圆轴扭转时的应力和变形极惯性矩TR

t´t

tasax圆轴扭转时斜截面上的应力相对扭转角扭转回顾圆轴扭转的强度条件圆轴扭转的刚度条件三类强度(或刚度)计算问题:①校核强度(或刚度)②设计截面尺寸③计算许可载荷扭转/圆轴的强度条件和刚度条件扭转回顾扭转的超静定问题——受扭圆杆的未知反力偶或扭矩数超过独立的静力平衡方程数。超静定问题的解法：（1）建立静力平衡方程；（2）由变形协调条件建立几何方程；（3）应用扭矩与相对扭转角之间的物理关系代入几何方程，得到补充方程；（4）补充方程与静力平衡方程联立，求解所有的未知反 力偶或扭矩。扭转/扭转的超静定问题扭转回顾第四章弯曲强度材料力学*平面弯曲的概念*梁的载荷及计算简图*剪力与弯矩*剪力图与弯矩图*剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系*纯弯曲梁的正应力*梁的切应力*梁弯曲时的强度计算平面弯曲的概念一、平面弯曲的概念二、工程实例第四章弯曲强度一、平面弯曲的概念平面弯曲的概念1．定义弯曲变形直线变成曲线的变形形式，简称弯曲。

梁——外力垂直于杆的轴线，使得杆的轴线由——以弯曲为主要变形的杆件一、平面弯曲的概念2．平面弯曲的概念平面弯曲——外力作用在梁的纵向对称平面内，使梁的轴线弯曲后仍在此对称平面内的弯曲变形即：平面弯曲——轴线的弯曲平面与外力的作用平面重合的弯曲形式平面弯曲的概念①梁有纵向对称面；②载荷均作用在纵向对称面内；③变形后梁的轴线仍在该平面内。平面弯曲的概念平面弯曲的概念梁的横截面二、工程实例平面弯曲的概念1.吊车梁2.车削工件3.摇臂钻的臂4.火车轮轴5.桥梁6.立交桥梁7.跳板梁的载荷及计算简图一、梁的简化二、梁的分类第四章弯曲强度梁的载荷及计算简图固定端滑动铰支座固定铰支座任何方向移动阻止竖向移动任何移动和转动一、梁的简化2.载荷：分为集中力、分布力，集中力偶、分布力偶1.梁：用轴线表示3.支座：aaaaqqa2qaABCDE梁的载荷及计算简图二、梁的分类1.按支座情况分为：2.按支座数目分为：简支梁静定梁外伸梁悬臂梁超静定梁梁的载荷及计算简图跨

——梁在两支座间的部分跨长——梁在两支座间的长度

3.按跨数分为：单跨梁多跨梁梁的载荷及计算简图剪力与弯矩第四章弯曲强度一、求法二、符号规定三、实用法则一、求法剪力与弯矩截面法剪力(FS

)——与横截面的法向垂直的内力一、求法截面法任一横截面上的剪力

等于该横截面任一侧所有外力的代数和剪力与弯矩

弯矩(M

)有弯断梁的趋势——横截面上的内力偶矩剪力与弯矩任一横截面上的弯矩

等于对横截面形心力矩的代数和该横截面任一侧所有外力剪力与弯矩二、符号规定绕研究体顺时针转为正由下转向上为正——微段向上凹剪力：弯矩：剪力与弯矩三、实用法则剪力：考虑横截面左侧梁段时，向上（下）的外力产生

+（-）剪力，（右侧相反），代数和结果为+

(-)时，剪力为+

(-)剪力与弯矩

左上右下，FS为正。三、实用法则弯矩：考虑横截面左侧梁段时，顺（逆）针旋转的外力矩产生+（-）弯矩，（右侧相反），代数和结果为+

(-)时，弯矩为+

(-)注：对任一侧梁段，向上（下）的外力产生+（-）弯矩剪力与弯矩

左顺右逆，M为正。例1试求图示外伸梁A、D左与右邻截面上的FS和M。解：1.求支反力解：2.求内力A左邻截面：例1试求图示外伸梁A、D左与右邻截面上的FS和M。解：2.求内力A左邻截面：A右邻截面：例1试求图示外伸梁A、D左与右邻截面上的FS和M。解：2.求内力D左邻截面：例1试求图示外伸梁A、D左与右邻截面上的FS和M。解：2.求内力D左邻截面：D右邻截面：例1试求图示外伸梁A、D左与右邻截面上的FS和M。剪力图和弯矩图一、剪力方程和弯矩方程二、剪力图和弯矩图第四章弯曲强度三、列方程法作剪力图和弯矩图四、叠加法作弯矩图剪力图和弯矩图剪力方程一、剪力方程和弯矩方程弯矩方程——剪力随横截面变化的函数表达式——弯矩随横截面变化的函数表达式剪力图二、剪力图和弯矩图弯矩图2.剪力正值画在上方，负值画在下方。做法：1.横轴表示横截面位置，纵轴表示剪力或弯矩；；——剪力随横截面的变化曲线——弯矩随横截面的变化曲线剪力图和弯矩图3.弯矩正值画在下方，负值画在上方。正值弯矩在受拉边作剪力图和弯矩图的方法：二、剪力图和弯矩图

1.列方程法

2.叠加法

3.控制点法剪力图和弯矩图三、列方程法作剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图2.列内力方程例

2

作图示梁的内力图。解：Mx__ql823.作内力图1.求支反力例3

作图示梁的内力图。FalFblFxSMxFabl内力图特点：解：2.列内力方程3.作内力图1.求支反力FS图突变，突变值等于集中力大小，

M图转折。集中力作用截面，例4

作图示梁的内力图。lMeFxS集中力偶作用截面，M图突变，突变值等MxlMbelMae内力图特点：解：2.列内力方程3.作内力图1.求支反力于集中力偶大小，FS图不变。作梁的内力图的一般步骤求约束反力截取研究对象受力图列平衡方程求解内力画内力图静力平衡方程载荷突变处分段内力按正向假设矩心取截面形心内力方程图形应封闭例3已知q=9kN/m，F=45kN，M0=48kN

m，求梁的内力。解：1）求约束反力：

MA(F)=12FE+M0-8F-2×4q=0FAy=49kN；FE=32kNBAM0Fq4m4m2m2mxCDEFAyFAx=0FE

Fx=FAx=0

Fy=FAy+FE-F-4q=0截面法求内力

AB段:0

x1<4mx1FAy0q

Fy=FAy-qx1-FS1=0

FS1=49-9x1

M1FS1c22

Mc(F)=M1+qx1/2-FAyx1=0

M1=49x1-4.5x1例3已知q=9kN/m，F=45kN，M0=48kN

m，求梁的内力。

2)截面法求内力

BC段:4m

x2<6m

Fy=FAy-4q-FS2=0FS2=13kNBAM0Fq4m4m2m2mxCDEFAyFEx2FAy0BqM2FS2c

Mc(F)=M2+4q(x2-2)-FAyx2=0

M2=13x2+72(kN

m)

CD段:6m

x3<8mx3FAy0BqCM0M3FS3c

DE段:8m

x4<12mx4FAy0BqCM0FDM4FS4cFS3=13kN;M3=13x3+24(kN

m)FS4=-32kN;M4=384-32x4(kN

m)

取右边部分如何?DE段:8m

x4<12mBAM0Fq4m4m2m2mxCDEFAyFEx4FAy0BqCM0FDFS4=-FE=-32kNM4=FE(12-x4)=384-32x4

DE段:8m

x4<12mFS4=-32kN;M4=384-32x4(kN

m)FEM4FS4c0x4M4FS4c内力同样要按正向假设!结果应当相同。可以用于验算。BAM0Fq4m4m2m2mxCDEFAyFE分段处的剪力弯矩值：x1=0:FSA=49；MA=0内力方程:AB段:0

x<4mFS1=49-9x1;M1=49x1-4.5x1BC段:4m

x<6mFS2=13;M2=13x2+72FS3=13;M3=13x3+24FS4=-32;M4=384-32x42

CD段:6m

x<8m

DE段:8m

x<12mx4=8:FSD=-32；MD=128x2=4:FSB=13；MB=124x3=6:FSC=13；MC=102x3

6:MC

150x4

8:FSD

13注意：集中力(力偶)作用处左右二侧FS(M)不同。BAM0Fq4m4m2m2mxCDEFAyFEFS/kNx-+491332+M/kN

mBACDEx124128150剪力、弯矩图：分段处的剪力弯矩值：x1=0:FSA=49；MA=0x4=8:FSD=-32；MD