备考2024年高考数学一轮复习-不等式综合练

专题2.4不等式综合练

题号一二三四总分

得分

练习建议用时：120分钟满分：150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.（2023春•黑龙江佳木斯・高三校考开学考试）设x>0,j>0,且盯=9,则x+y的最小值为（）

A.18B.9C.6D.3

2.（2021秋.江苏苏州•高一统考期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使

用，后来英国数学家哈利奥特首次使用和“〉”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深

远.若则下列命题正确的是（）

A.若访wO且〃贝！J，〉!

ab

B.若a>b,c>d,贝

C.若a>6>0且cvO,则-7>—y

ab

D.若a>b,c>d,则〃一c>b—d

3.（2022秋・广东佛山・高三佛山市荣山中学校考期中）若命题“对任意的xe（0,+s）,尤+工-加〉0恒成立"为真命题，

X

则机的取值范围为（）

A.[2,+GO）B.（2,+oo）C.（一8,2]D.（一刃,2）

4.（2023・全国・高三专题练习）若集合A/={x|（x-3）^/mo},Af={x|（x-3）（x-l）>0）,则McN=（）

A.{x|尤23}B.{尤|尤41或x23}C.{尤|尤=1或x23}D.{尤|尤=1或x=3}

5.（2023・天津南开•南开中学校考模拟预测）已知a,b&R,贝e。>人”是“标>/,，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.（2021秋・广东惠州•高三惠州一中校考期中）已知命题词2x-3|〈x,q：x2-2x+l-m2<0,若〃是4的必要不充

分条件，那么实数机的取值集合是（）

A.{0}B.(2,+oo)C.[-2,2]D.(Y,2)

7.（2023春・江苏南京•高三南京市中华中学校考期中）在一ABC中，。为线段3C上一点，且AE=2£D,若

19

ED=xAB+yAC,则一+一的最小值为（

16C.48D.60

3

8.已知不等式依2+法+0。的解集为{%|-2<%<3},且对于Vxw[l,5],不等式bd+mzx+Zc〉。恒成立，则加的

取值范围为()

A.(-00,4行|B.(-CO,4A/3jC.[13,-Ko)D.(F,13)

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分

9.（2022秋・四川广安•高三统考期末）下列命题为真命题的是（）

A.若ac2>be",贝！B.若。>8，c>d,贝！|a+c>Z?+d

C.若a>b,c>d,则ac>Z?<7D.若6>a>0,c>0,则/>°

bb+c

10.（2021秋・湖南邵阳•高三武冈市第二中学校考阶段练习）下列说法正确的是：（）

A.平板电脑屏幕面积与整机面积的比值叫电脑的“屏占比”，它是平板电脑外观设计中一个重要参数，其值通常在

（0,1）间，设计师将某平板电脑的屏幕面积和整机面积同时减少相同的数量，升级为一款“迷你”新电脑的外观，则该

电脑“屏占比”和升级前比变小了.

B.小明两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数

量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.则小明用第一种策略划算.

C.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的祛码放在天平

左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的祛码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左

盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，我认为顾客吃亏了.

D.设矩形ABC。的周长为24cm,把△A8C沿AC向△ADC折叠，折过去后交。C于点尸，则

的最大面积为108-72缶0?.

11.（2023・云南曲靖•统考模拟预测）若实数无,，满足2，+2刈=1，则（）

A.尤<0且y<-lB.%+>的最大值为一3

C+呼的最小值为7D.冏'+[2-<2

12.（2023春•内蒙古赤峰•高三校考阶段练习）下列命题不正确的是（）

A.集合A=b|or2_2x+a=o,aeR）,若集合A有且仅有2个子集，则a的值为±1

B.若一元二次方程近2一6履+左+8>0的解集为R,则上的取值范围为0<左<1

C.设集合/={1,2},N={〃},贝=是=的充分不必要条件

12

D.正实数x，y满足尤+2y=l,则一+—29

xy

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.

13.（2023•全国•高一专题练习）已知集合A=8=卜卜=log?,则他B=

b

14.（2023・天津•高三专题练习）已知a,6eR+,则2+/一9Q的最小值为___________.

a2a+b

15.（2020・安徽宣城•高三泾县中学校考强基计划）若关于x的不等式。-2<2a-x<g只有一个整数解2,则实数a的

取值范围为.

16.（2022秋•陕西咸阳•高三校考阶段练习）不等式加+,x+c>0的解集为{x|_2<x<l},则函数

2

y=log4（ar+cx+3）的定义域为一，单调递增区间是

四、解答题：本题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.求解下列不等式的解集：

(1)-/+4尤+5<0；

(2)2X2-5^+2<0；

(3)|4x-l|-7<0；

(4八/八」<。；

(x-2)

18.(2023・全国•高一专题练习)已知函数=+力a+〃(m>0,〃>0).

(1)若/'(1)=2,求，沏的取值范围；

17

⑵若“2=5,求工+±的最小值.

mn

19.已知关于x的不等式2f+法+C<0的解集是{邓<尤<5}.

(1)求b,c的值；

⑵若对于任意xe{x|lVxW3},不等式2炉+6尤+°42+/恒成立，求实数》的取值范围.

20.已知6是实数.

⑴求证：a2+b2>2a-2b-2,并指出等号成立的条件；

(2)若=求a2+4〃的最小值.

21.(2023春・江西新余•高二新余市第一中学校考阶段练习)设/(尤)=办2+。一q)x+0_2.

(1)若不等式/(X)2-2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；

⑵解关于x的不等式“X)<eR).

22.(2023秋・江苏徐州•高三统考期末)“硬科技”是以人工智能、航空航天、生物技术、光电芯片、信息技术、新材料、

新能源、智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入、持续积累才能形

成的原创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，难以被复制和模仿、最近十年，我国的一大批自主创新的企业都在

打造自己的科技品牌，某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2023年起全面发售.经测

算，生产该高级设备每年需投入固定成本looo万元，每生产尤百台高级设备需要另投成本》万元，且

2x2+40龙,0<x<40,100%eN,

18000ccc”“c每百台高级设备售价为160万元，假设每年生产的高级设备能够全部

1651XH-----------2250,40<%<100,100%eN.

x

售出，且高级设备年产展最大为10000台.

(1)求企业获得年利润P(万元)关于年产量x(百台)的函数关系式;

(2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润.

专题2.4不等式综合练

题号一二三四总分

得分

练习建议用时：120分钟满分：150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.（2023春•黑龙江佳木斯・高三校考开学考试）设x>0,j>0,且盯=9,则x+y的最小值为（）

A.18B.9C.6D.3

【答案】C

【分析】根据基本不等式，即可求解.

【详解】Vx>0,y>0

x-\-y>2y/xy=6,（当且仅当％=y=3,取"=”）

故选：C.

2.（2021秋.江苏苏州.高一统考期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使

用，后来英国数学家哈利奥特首次使用和“〉”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深

远.若则下列命题正确的是（）

A.若曲且贝!J—

ab

B.若a>b,c>d,则ac>仇/

C.若a>5>0且c<0,则-7>—y

ab

D.若a>b,c>d,则a-c>Z?-d

【答案】C

【分析】对A,B,D举反例，对C利用不等式的基本性质判断即可.

【详解】对A,当“=-1,6=1时，y,故错误；

ab

对B,当a=2,Z?=l,。=一1,1=一2时，ac=bd,故错误；

11cc

对C,a>b>0,/.a2>b2>0则=<77，c<0,则故C正确；

abab

对D,当a=2,b=l,c=0,d=-2,满足前提但此时〃一。=2,b-d=3,a-c<b-d,故错误.

故选：C.

3.（2022秋・广东佛山・高三佛山市荣山中学校考期中）若命题“对任意的尤e（0,+S）,尤+工-加>0恒成立"为真命题，

则机的取值范围为（）

A.[2,+co）B.（2,+oo）C.（一8,2]D.（一℃,2）

【答案】D

【分析】首先参变分离，转化为机<口+,]，再利用基本不等式求最值，即可求解.

IX人M

【详解】由题意可知，对任意的xe(0,+oo),"z<x+L恒成立，即机<(尤,

xX-^7min

当%>0时，x+—>2.x-=2,当％=1，即X=1时，等号成立，

X\XX

所以m<2.

故选：D

4.(2023.全国.高三专题练习)若集合A/={x|(x-3)K^20},Af={x|(x-3)(x-l)>0),则McN=()

A.{耳元23}B.{小41或x23}C.{尤|尤=1或xN3}D.{尤|尤=1或x=3}

【答案】C

【分析】通过解不等式得集合Af,N,再求交集即可.

【详解】因为加=①|(尤-3)«^12。}={小=1或无23},

N={x|(x-3)(x-l)20}={小23或x41},

所以A/cN={x|x=l或xN3},

故选：C.

5.(2023・天津南开•南开中学校考模拟预测)己知。，beR,则“。>6”是“/>/,，的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】由充分必要条件的定义举反例判定即可.

【详解】若。=0>人，则不成立，若同且。<0=6,此时/推不出,所以是>片"的

既不充分也不必要条件.

故选：D

6.(2021秋•广东惠州•高三惠州一中校考期中)已知命题词2x-3|Wx,q：x2-2x+l-m2<0,若P是4的必要不充

分条件，那么实数机的取值集合是()

A.{0}B.(2,+oo)C.[-2,2]D.

【答案】A

【分析】解不等式|2x-3|Vx,d_2x+l-疗wo,再利用?是q的必要不充分条件，列出不等式组，解之即得.

..f2x-3>0f2x-3<0

【详解】由2x—3«x得，或，

[2x-3<x[-2x+3<x

解得即p：XG[1,3]；

由x2_2%+1—机2・0得（％_1+相）（％—1—机）«0,

.・・当相>0时，xe[l-m,l+m],当m=0时，x=l,当机<0时，XG[l+m,l-m]；

又。是夕的必要不充分条件，

m>0fm<0

/.<1-m>1或%=0或<l+m>l且不等式组中等号不同时成立,

l+m<3l-m<3

...m=0,即实数m的取值集合{0}.

故选：A.

7.（2023春・江苏南京•高三南京市中华中学校考期中）在中，。为线段3C上一点，且AE=2£D,若

19

ED=xAB+yACf则一+一的最小值为（）

xy

A.—B.16C.48D.60

3

【答案】C

【分析】先由AE=2即，得出ED=gA。再得出3x+3y=1，最后常值代换应用基本不等式可解.

【详解】AE=2ED,;.ED=；AD,

jAD=xAB+yAC,AD=3xAB+3yAC,又B,D,C三点共线，

/.3x+3y=1,x>0,y>0,

/.-+-=[-+-|（3x+3y）=3+^+—+27>273^27+30=48,

yvxyJxy

ia3V27ri]

二•一+—248,当且仅当一=---,即当y=:,兀=寸■时取最小值.

Xyxy412

故选:C.

8.已知不等式依2+云+°>（）的解集为{九|—2<%<3},且对于V九41,5],不等式Zz?+Gnx+2c>0恒成立，则机的

取值范围为（）

A.（-co,473JB.卜巴4⑹C.[13,+oo）D.（9,13）

【答案】B

【分析】由不等式的解集为｛4-2〈尤<3｝知可用。表示瓦c,代入bx2+amx+2c>Q中并用参数分离与基本不等式求

得小的取值范围.

【详解】由不等式+灰+°>o的解集为｛x\-2<x<3｝,可知一2,3为方程G2+6元+c=0的两个根，

故a<0且一2=-2+3=1,£=（—2）X3=-6,^b=-a,c=-6a,

aa

则不等式Zu?+〃如+2c>0变为一以?+〃如一12〃>0，

19

由于avO,xw[l,5],则上式可转化为加在[1,51恒成立，

Xx+—>2.0?=473,当且仅当x=2道时等号成立，

xVx

故加<4^3.

故选：B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分,在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分

9.（2022秋.四川广安•高三统考期末）下列命题为真命题的是（）

A.若ac1>be1,贝！B.若c>d,贝|a+c>b+d

C.若c>d,则D.若b>a>0,c>0,则，>：+」

bb+c

【答案】AB

【分析】对于A、D项运用作差法判断，对于B项由不等式性质可判断，对于C项举反例可判断.

【详解】对于A项，因为"2_/7c2=c2（Q_b）〉o,所以，>0且Q—b>0,即：CW0且故A项正确;

对于B项，运用不等式的性质可知，若a>b,c>d,贝|a+c>Z?+d正确，故B项正确;

对于C项，当。=—2,b=-3,c=2,d=l时，满足c>d,但不满足ac>加，故C项错误;

，一，„taa+ca(b+c)-b(a+c)(a-b)c

对于D项,因为帅+c)=M

b(b+c)

又因为b>a>0,c>0,所以。一人<0,Z?+c>0,

所以需胃<°'即：故D项错误■

故选：AB.

10.（2021秋・湖南邵阳•高三武冈市第二中学校考阶段练习）下列说法正确的是：（）

B'

心..................B

A.平板电脑屏幕面积与整机面积的比值叫电脑的“屏占比”，它是平板电脑外观设计中一个重要参数，其值通常在

（0,1）间，设计师将某平板电脑的屏幕面积和整机面积同时减少相同的数量，升级为一款“迷你”新电脑的外观，则该

电脑“屏占比”和升级前比变小了.

B.小明两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数

量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.则小明用第一种策略划算.

C.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的祛码放在天平

左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的祛码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左

盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，我认为顾客吃亏了.

D.设矩形ABC。（AB＞AD）的周长为24cm,把△ABC沿AC向△"）（?折叠，折过去后交。C于点P,则△的）产

的最大面积为108-720cm2.

【答案】AD

【分析】设法列出升级前后的屏占比表达式，由作差法可比较大小可判断A；利用基本不等式可判断BD的正误；

设天平左臂长为。，右臂长为6（不妨设。＞"），先称得的黄金的实际质量为网，后称得的黄金的实际质量为利，

利用杠杆的平衡原理，由加R=ax5,丽2=6x56,求得犯,啊，再利用作差法比较可判断C；

【详解】对于A,设升级前屏幕面积为°,整机面积为b,

则屏占比为％=£（0＜。＜6），设减小面积为"2（0（加＜。），

则升级后屏占比为：叫生，则“一"=£一三'=*2＞。，即叫＞明，屏占比变小，故A正确；

b-mbb-mb^b-m）

对于B,设两次购买此种商品的单价分别为Pi，P2（都大于。），

第一种方案每次购买这种物品数量为尤＞0;

第二种方案每次购买这种物品的钱数为y＞0.可得：

第一种方案的平均价格为：型:小2=旦羊

2x2

第二种方案的平均价格为上+2R+22历72.

APi

当且仅当B=P?时取等号，所以用第二种策略比较经济，故B不正确；

对于C,因为天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为由右臂长为6（不妨设。＞8）,

先称得的黄金的实际质量为机I,后称得的黄金的实际质量为帆，

由杠杆的平衡原理：brn^=ax5,am2=bx5b,

解得班=芈,=—,

ba

所以见+W1,=斗+独，

ba

mil5a5b5（ZJ-G）2

则叫+利一］0=1------10=--------，

baab

因为标b,所以5（6一°）->0,

ab

所以叫+g>10,则顾客所得黄金大于10g,商店亏了，故C不正确；

对于D,由题意可知，矩形ABCD（AB>CD）的周长为24,AB=x,BPAD=12-x,

因为AB>AD>0,故6Vx<12.

设尸C=a,贝！j£>尸=x—a,AP=a,而△4。尸为直角三角形，

（12—X）2+（X—a）?=〃2,

7272

u=x-\-------12,DP=12------,其中6<%<12,

xx

11（72、

SADP=-XADXDP=-X（12-X）X\12——I

4321432

=108---------6%<108-2J——6x

xvx

=108-72"

当且仅当一L=6X,即％=6五时取等号，

x

即尢=6夜时取最大面积为108-72夜，故D正确.

故选：AD.

H.（2023・云南曲靖・统考模拟预测）若实数工/满足2"+2尸1=1,则（）

A.%<0且y<—lB.%+>的最大值为一3

cmr的最小值为7口.［出、+［］卜<2

【答案】ABD

【分析】对于AD,利用指数函数的性质即可判断；对于BC,利用指数的运算法则与基本不等式的性质即可判断.

【详解】由2工+2刈=1，可得2阳=1-2'>0,2，=1-2刈>0,所以x<0且><-1,故A正确；

由2£+2"i=122jFf=2万石7,可得出…4,即2工+94；=2-2,所以x+yW-3,

当且仅当尤=y+i=T,即尤=Ty=-2时，等号成立，所以x+y的最大值为-3,故B正确;

22l2-2y22

H------>---5+2=9,

2y~r~

当且仅当x=y=-Iog?3时，等号成立,

所以+1的最小值为9,故C错误；

因为2*=1-2阳，贝I2㈤=2（1-2*）=2-42,

所以（A+QJ2+>'=2）'+2向=2-3-2，<2,故D正确.

故选：ABD.

12.（2023春•内蒙古赤峰•高三校考阶段练习）下列命题不正确的是（）

A.集合4=卜1ax2-2x+a=0,aeR）,若集合A有且仅有2个子集，则a的值为±1

B.若一元二次方程近2一6履+左+8>0的解集为R,则4的取值范围为0<发〈1

C.设集合/={1,2},N={a2],贝『％=1"是“N=M”的充分不必要条件

12

D.正实数演，满足尤+2y=l,则一+—29

xy

【答案】AB

【分析】结合条件可知集合A中只有一个元素，分类讨论。=0和。片0两种情况，求出“的值，即可判断A选项；

一元二次不等式近2-6履+左+8>0的解集为R,可得上>0且A<0,求出发的取值范围，即可判断B选项；根据子

集的含义和充分不必要条件的定义，即可判断C选项；根据基本不等式求和的最小值，即可判断选项D.

【详解】对于A,因集合4=卜|依2-2》+。=0,。€1<}有且仅有2个子集，则集合A中只有一个元素，

当a=0,A={。},符合题意；当awO,A=4-4a2=0=>a=±l,

综上所述，可得a=0,+1,故A选项不正确；

对于B,因为一元二次不等式履6日+%+8>0的解集为R，可知后W0,

可得上>0且A=（一6左产一4左依+8）<0n0<%<l,故B选项不正确;

对于C,当a=l时，N={1}屋M,

当时，/=1或4=2,贝1］。=±1或°=±血，

所以“a=1”是“N=M”的充分不必要条件，故C选项正确;

对于D,因正实数X。满足x+2y=l,

,12....12_.2x2y\2x2y

贝M!!一+—=(x+2y)(一+—)=5+——+—>5+2--------=9,

xyxyyxyyx

2x2y1

当且仅当丁丁，即段『时取等号，故D选项正确.

故选：AB.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.

=卜,=咋则（々）

13.（2023•全国•高一专题练习）已知集合4=x2J4-x},A।B=

【答案】Wx<4}

【分析】解分式不等式求集合A,由对数函数性质求定义域确定集合8,再应用集合的并补运算求集合.

f+；o,故x+l>0,即X>-1,

【详解】由二<X,贝Ij,1尤2+x+l

X+l%+7=-------：—

x+1x+1X+1

所以A={尤|尤>一1},则4A={x|x4-1},

由对数、根式的性质知：4-x>0,即x<4,

所以仅A）uB={x|x<4}.

故答案为：{尤I尤<4}

h善）的最小值为.

14.（2023•天津府三专题练习）已知a,Z?£R+,则—卜

a2a+b

【答案】4

・八1b9a上八3*e八12a+b9a

【分析】将一+7；——构造变形为-----+~—7-2,然后利用基本不等式即可求解.

a2a+ba2a+b

【详解】由2a+b—2a9a2a+b2a+b9a..

2+^^:+—=^—+———2>2.--------------------2=4,

a2a+ba2a+ba2a+ba2a+b

当且仅当生a即。=6时等号成立，故最小值为%

a2a+b

故答案为:4.

5（2。2。・安徽宣城.高三泾县中学校考强基计划）若关于x的不等式-尤《只有一个整数解2,则实数•的

取值范围为

3

【答案】广.1

【分析】求出不等式的解后可得端点满足的不等式组，从而可求参数的取值范围.

【详角星］。一2<—的解为2。一：<%v。+2,

l<2a--<2“3,

因为不等式的整数解只有2,故2,故一WaWl,

4

2<a+2<3

3

故答案为：丁力.

16.（2022秋・陕西咸阳•高三校考阶段练习）不等式加+：%+。>0的解集为{九I-2vxvl},则函数

y=log,(or?+次+3)的定义域为,单调递增区间是.

【答案】(T3)(-1,1)

【分析】由题可得-2和1是方程江+!x+c=0的两个根，且“<0,由此可得a=-l,c=2,求得函数

a

y二1。84(改2+5+3)的定义域，再结合定义域求函数的单调递增区间即可.

【详解】由题可得-2和1是方程依2+,%+c=0的两个根，且〃<0,

a

-2+1=_二

a'

贝ipa<0,解得a=-l,c=2,

-2xl=-

、a

22

则函数y=log4(ax+ex+3)=log4(-x+2x+3),

由-f+2无+3>0解得-l<x<3,即函数定义域为(T3),

因为k-Y+2X+3在单调递增，函数y=log,x在(0,+e)上单调递增，

故函数y=lOga(-+CX+3)在(-1,1)上单调递增，

因为k_尤2+2X+3在(1,3)单调递减，函数y=log4X在(0,+8)上单调递增，

故函数y=log4(加+。苫+3)在(1,3)上单调递减，

所以函数y=log4(以2+ex+3)的单调递增区间为(-1,1).

故答案为：(—1,3),(-1,1).

四、解答题：本题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.求解下列不等式的解集:

(1)—JC+4尤+5<0；

(2)2X2-5%+2<0；

(3)|4X-1|-7<0；

(x+l)(x-5)-

(4)<0；

(x-2)

4-x

⑸

【答案］⑴{小<T或x>5}

(4乂止1<%v2}

⑸心e

【分析】（1）（2）利用二次不等式的解集解原不等式即可得其解集；

（3）利用绝对值不等式的解法解原不等式即可得其解集；

（4）（5）利用分式不等式的解法解原不等式可得其解集.

【详角犁】（1）解：由一尤2+4x+5<0可得尤2—4了一5>0,解得x<-l或x>5,

故原不等式的解集为{x|x<T或x>5}.

(2)解：由2尤2—5尤+2W0可得(2x—l)(x—2)(0,解得;4x42,

故原不等式的解集为］X&VXV2：.

（3）解：由|4%—1|一740可得|4x—l|W7,即一744尤一147,解得一

故原不等式的解集为x白q・

⑷解:由噂"得言<。,解得―

x-5w0

故原不等式的解集为{止1<x<2}.

4—x4-x_2%+3-(4-x)_3%-131

⑸解：由^可得1-<0,解得--<x<-,

2x+32x+32x+323

故原不等式的解集为X1<X4-

18.（2023・全国•高一专题练习）已知函数/（力二/+座+九（徵>0,〃>0）.

（1）若/（1）=2,求机〃的取值范围;

1O

⑵若〃2=5,求工+4的最小值.

mn

【答案】（1）,。

（2）8

【分析】（1）求得加+〃=1,利用基本不等式结合〃讥>0可得出〃加的取值范围;

i212

（2）由已知可得出2m+〃=1,将代数式2机+〃与一+—相乘，展开后利用基本不等式可求得一+―的取值范围.

mnmn

【详解】（1）解：・・・/⑴=2,・・・加+〃=1,

m+n>21mnEP1>2jmn,；即mn-~.

又二加>0,n>0,

当且仅当m”;时等号成立.

由题意可知"7〃>0,•.・"/的取值范围是（0，：

(2)解：Vf(2)=5,4+2m+n=5,BP2m+n=l.

12n4m

m>0,n>0,—+—(2m+n)=4+—+—>4+2,=8,

mnmnmn

n4m

即租=;,〃1时等号成立.

当且仅当<mn

2m+n=l

12

・・・士+会的最小值是8.

mn

19.已知关于x的不等式2/+6尤+c<0的解集是{x|l<x<5}.

(1)求6,c的值;

⑵若对于任意xe{邓JW3},不等式2/+法+.2+广恒成立，求实数f的取值范围.

【答案】（1力=一12,c=10；

⑵[-2,+8）

【分析】（1）由题意，可判断得方程2f+6尤+c=0的两根为1和5,再利用韦达定理列方程组计算；

（2）将题干条件转化为（2炉-12了+8）厘4七利用函数y=2Y_12x+8的单调性求解最大值，从而可得f的取值范

围.

【详解】（1）由题意，方程2*2+6尤+0=0的两根为1和5,

1+5=--,I。

2b=—1r2

由韦达定理可得，，解得s.

1<c[c=10

1x5=-i

[2

所以人=一12,c=10

（2）由（1）知，对任意xe{x|lVx<3},2X2-12x+10<2+r|g^±,

即任意尤e{x|14尤43},2元2-12x+84广恒成立,

令y=2x~—12x+8,则Jmax41成立,

因为函数y=2Y_i2x+8在[1,3]上为减函数,

所以当x=l时，Wax=2-12+8=-2,即此一2,

所以实数f的取值范围为[-2,内).

20.己知a,6是实数.

⑴求证：a2+b2>2a-2b-2,并指出等号成立的条件；

(2)若。6=1,求/+伤z的最小值.

【答案】(1)证明见解析，当且仅当。=1,匕=-1时，不等式等号成立

(2)4

【分析】(1)作差法证明即可；

(2)构造基本不等式，利用基本不等式解决即可.

【详解】(1)证明：^a2+b2-(2a-2b-2)=a2+b2-2a+2b+2

=("1)2+3+1)2N0,

所以。2+〃22a-26-2,

当且仅当a=l,b=-l时，不等式中等号成立.

(2)/+仞2=/+(2b)222"(26)=4。。=4,

a=V2a=—y/2

当且仅当。=%，即0或也时不等式中等号成立.

b=——b=

I2I~T

所以1+4k的最小值为4.

21.(2023春・江西新余•高二新余市第一中学校考阶段练习)设/(x)=ax2+(l-a)x+a_2.

(1)若不等式/(力2-2对一