保险精算第四章趸缴纯保费的计算原理(讲课版) (1)

第四章趸缴纯保费的计算原理人寿保险生存年金换算函数趸缴纯保费的计算原理本章研究对象人寿保险仅以被保险人的生存和死亡为条件支付保险金。本章主要讨论与生存和死亡有关保险产品的趸缴保费的定价原理。本章主要内容人寿保险趸缴纯保费定期寿险的趸缴纯保费定期生存的趸缴纯保费两全保险的趸缴纯保费终身寿险的趸缴纯保费死亡即刻给付的寿险趸缴纯保费生存年金期初付终身生存年金期初付定期生存年金期末付终身生存年金和期末付定期生存年金换算函数第一节人寿保险什么是人寿保险?狭义的人寿保险是以被保险人在保障期是否死亡作为保险标的的一种保险。

广义的人寿保险是以被保险人的寿命作为保险标的的一种保险。它包括以保障期内被保险人死亡为标的的狭义寿险，也包括以保障期内被保险人生存为标底的生存保险和两全保险。人寿保险的性质保障的长期性这使得从投保到赔付期间的投资受益（利息）成为不容忽视的因素。保险赔付金额和赔付时间的不确定性人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的生命状况。被保险人的死亡时间是一个随机变量。这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量，它依赖于被保险人剩余寿命分布。被保障人群的大数性这就意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计算出平均赔付并可预测将来的风险。人寿保险的分类保单给付时间不同死亡年末给付死亡即刻给付受益金额是否恒定定额受益保险变额受益保险保单签约日和保障期期始日是否同时进行非延期保险延期保险

保障标的的不同人寿保险（狭义）生存保险两全保险保障期是否有限定期寿险终身寿险缴费方式次数分趸缴期缴（每年一次）期缴（每年m次）注意：斜体字部分内容超出教科书讲授内容本节内容：（趸缴保费+死亡或生存年末支付）寿险定期寿险；定期生存保险；两全保险；终身寿险。（趸缴保费+死亡或生存即刻给付）寿险定期寿险；定期生存保险；两全保险。趸缴保费厘定的假定条件

假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命是独立同分布的。假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合。假定三：保险公司可以预测将来的投资受益（即预定利率）。纯保费厘定原理原则保费净均衡原则解释所谓净均衡原则，即保费收入的期望现时值正好等于将来的保险赔付金的期望现时值。它的实质是在统计意义上的收支平衡。是在大数场合下，收费期望现时值等于支出期望现时值。

趸缴纯保费的厘定趸缴纯保费的定义在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的期望现时值

趸缴纯保费的厘定按照净均衡原则，趸缴纯保费就等于一、（趸缴保费+死亡或生存年末支付）寿险

死亡年末赔付寿险的重要意义

死亡年末陪付是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡，保险公司将在死亡事件发生的当年年末给予保险赔付。由于赔付时刻都发生在死亡事件发生的当年年末，所以死亡年末陪付时刻是一个离散随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的整值剩余寿命加一年。这正好可以使用以整值年龄为刻度的生命表所提供的生命表函数。死亡年末赔付方式是保险精算师在厘定趸缴保费时通常先假定的理赔方式。因为年末给付的寿险模型，其趸缴保费计算方便使用生命表，同时计算很容易。死亡年末赔付与死亡当即赔付两者的趸缴保费之间有固定的转换公式（后面讲），因此死亡年末赔付的趸缴保费计算在实际中有重要意义。012345KK+1n-1n赔付在第K+1年末K(x)简记为KK(x)=k,当k≤T(x)＜k+1,k=0,1,2赔付在年末的趸缴保费E(Z)（一）定期寿险死亡年末给付的趸缴纯保费（给定利率、生命表可计算）对于死亡年末赔付1个单位金额的n年定期寿险，趸缴纯保费记号请思考直观意义？活过n年将没有赔付例4.155岁的男性投保5年期的定期保险，保险额为1000元，保险金额在死亡年末给付，按中国人寿保险业经验生命（2000-2003）（男）和利率6%计算趸缴保费。解：（二）终身寿险死亡年末给付的趸缴纯保费（给定利率、生命表可计算）对于死亡年末赔付1个单位金额的终身寿险，趸缴纯保费记号一定会得到赔付（三）n年定期生存保险（生存年末给付）对于被保险人投保后生存至n年期满时，保险人在第n年末支付保险金的保险金额1元，趸缴纯保费记作：未生存到n年期满不享受给付（四）两全保险=定期寿险+定期生存险（两全保险=定期寿险+定期生存保险）相当于两险保单合同合并而成。对于死亡年末赔付1个单位金额的n年期两全保险，趸缴纯保费记号：未生存到n年期享受定期寿险，生存到n年享受定期生存险。例4.2设某男（35）投保5年期两全保险，保险金额10000元，保险金额在死亡的保单年度末给付，按中国人寿保险业经验生命表（2000-2003年），年利率i=6%,计算其趸缴保费。解死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳险种名称公式定期寿险定期生存保险两全保险终身寿险离散型终身寿险趸缴纯保费递推公式一：注：书中P65未推证推导趸缴纯保费递推公式一保险意义：保险意义：(x)的单位金额终身寿险在第一年末的价值等于(x)在第一年死亡的情况下1单位的赔付额,或生存满一年的情况下净趸缴保费。

X+1岁生命状态发生概率死亡赔付在x+1时现值赔付期望死亡生存趸缴净保费的资金流向离散型终身寿险趸缴纯保费递推公式二：推导趸缴纯保费递推公式二保险意义公式二：保险解释：个x岁的被保险人所缴的趸缴保费之和经过一年的积累，当年年末可为所有的被保险人提供次年的净趸缴保费，还可以为所有在当年去世的被保险人每人额外补贴元的保险成本。

离散型终身寿险趸缴纯保费递推公式三：推导趸缴纯保费递推公式三保险意义公式三：解释：年龄为x的被保险人在活到x+1岁时的净趸缴保费与当初岁时的净趸缴保费之差等于保费的一年利息减去提供一年的保险成本。

生存保险精算现值特定符号定义：**式直观意义如下：例4.3（p66例4.2）证明并解释以下的关系式：证明x+nxv

=1/(1+i)t1公式（1）图示x+n-tn-t证明（2）由（1）x+nxtn-tv

=1/(1+i)1二、（趸缴保费+死亡或生存即刻给付）寿险

（一）定期寿险死亡即付的趸缴纯保费对于死亡立即赔付1个单位金额的n年定期寿险，趸缴纯保费记号活过n年将没有给付（二）终身寿险死亡即付的趸缴纯保费对于死亡立即赔付1个单位金额的n年定期寿险，趸缴纯保费记号一定会得到赔付例4.4设(x)要投保终身寿险，保险金额1元，签单时其未来寿险T的密度函数为：解：（三）两全保险即付的趸缴纯保费

（两全保险=定期寿险+定期生存保险）相当于两个保险单合同合并而成。对于n年内死亡立即给付1个单位金额，n年生存给付1个单位金额的两全保险，趸缴纯保费记号未生存到n年期享受定期寿险，生存到n年享受定期生存险。（死亡或生存年末支付）寿险模型。现金流依被保险人(x)的剩余整数年寿命K(x)。优点：可以直接利用生命表进行计算，很简单。缺点：实务中保险金额一般在死亡时即刻支付。无法直接套用年末支付模型。死亡即刻支付使用续性的剩余寿命T=T(x)计算。

两难问题？（死亡或生存即刻给付）寿险模型。现金流依被保险人(x)的连续的剩余年寿命T=T(x)计算。优点：准确反映了寿险业务中死亡或生存立即给付的实际情况。缺点：由于生命表只取离散的值，无法给出计算死亡立即给付寿险的趸缴保费的求值公式，因为寿险的死亡分布函数是离散以年为单位提供的，无法计算剩余年寿命连续型情况的赔付情况。两难问题怎样解决两难问题？年末支付寿险模型即刻给付寿险模型两模型在计算趸缴保费时有无转换公式？死亡即付人寿保险与死亡年末付人寿保险的精算现值关系-----将死亡即付模型转换成年末给付模型假定死亡率在各个年龄内是均匀分布，简称UDD假设。死亡即付模型转换成年末给付模型公式表：险种名称转换公式定期寿险终身寿险两全保险*对于定期寿险、两全保险证明方法相同。例4.5设某男（35）投保5年期两全保险，保险金额10000元，保险金额在死亡或期满时立即给付，按中国人寿保险业经验生命表（2000-2003年），年利率i=6%,计算其趸缴保费。解：例4.6（p67例4.3）证明死亡即刻付终身寿险的精算现值成立下面的递推微分方程：趸缴纯保费在瞬间所产生利息具有双重效应：一方面体现了瞬间趸缴保费的增加，另一方面体现了瞬间保险金的给付情况。作业题讲义例4.5中，年龄(x)改为40岁进行计算。第二节生存年金生存年金概念上一节我们研究的是在死亡或期满时提供保障的各种人寿保险的精算现值计算。本节将研究生存情况下提供各种寿险保障的问题。生存年金是指在已知某人生存的条件下，按约定金额以一定周期进行一系列的给付保险。每次支付以生存为条件，一旦被保险人死亡，给付终止。生存年金：被保险人在合同期内生存期间，保险人支付被保险人的一系列金额。012345Kn-1n死亡时刻￥100000￥100000￥100000￥100000￥100000￥100000生存年金定义及种类生存年金的定义：以被保险人存活为条件，间隔相等的时期（年、半年、季、月）支付一次保险金的保险类型分类初付年金/期末付年金定期年金/终身年金非延期年金/延期年金生存年金与确定性年金的关系确定性年金支付期数确定的年金（利息理论中所讲的年金）生存年金与确定性年金的联系都是间隔一段时间支付一次的系列付款生存年金与确定性年金的区别确定性年金的支付期数确定生存年金的支付期数不确定（以被保险人生存为条件）（一）离散型期初付终身生存年金012…nn+1……$1$1$1$1$1$1$1$1（二）离散型期初付定期生存年金012345……n-1n$1$1$1$1$1$1$1$1期初付终身生存年金的精算现值与终身寿险精算现值关系期初付定期生存年金的精算现值与两全寿险精算现值关系趸缴生存年金纯保费的计算可转换成趸缴寿险纯保费的计算。通过公式：（三）离散型期末付终身生存年金012…nn+1……$1$1$1$1$1$1$1（四）离散型期末付定期生存年金012…nn+1……$1$1$1$1$1$1$1或（五）延期n年的终身生存年金012…nn+1……$1$1$1$1（六）延期m年的n年定期生存年金012…mm+1m+n-1……$1$1$1离散生存年金的一些基本类型年金名称现值随机变量精算现值终身生存年金……期初……期末n年定期生存年金……期初……期末例4.7（60）投保了8年定期生存年金保险，每年给付金额5000元，试用中国人寿保险业经验生命表（200