2023中考数学练习 06 五大常考相似模型（学生版+解析版）

专题06五大常考相似模型

一、【知识回顾】

模型一：A字模型

模型二：8字模型

模型三：子母模型（射影定理）

模型四：一线三等角模型

4.一线三等角

模型五：手拉手模型（旋转模型）

二、【考点类型】

考点1：A字模型

典例1:（2021秋•安徽安庆•九年级安庆市石化第一中学校考期中）图，AB"GH〃CD、点、H在BC

AC与BD交于■点G,AB=2,CD=3,求G”的长.

【变式1］（2022•广东深圳•深圳市华胜实验学校校考一模）如图，在回。中，今8=弁C，C7M48于点F,交

团。于点。，NO的延长线交CZ）于点£

⑴求证：AE^BCi

(2)求证：DF=EF:

-DF3ɪBF…

⑶右正二‘求正的值•

【变式2］（2023春・安徽六安•九年级校联考阶段练习）如图，在一ABC中，ZC=90%AO平分NcAB交BC

于点£>,A£）的垂直平分线交AB于点O,以点。为圆心，以长为半径作回0,交AB于点E.

（1）求证：BC是回。的切线；

（2）已知8E=2,AC=4.8,求回0的半径.

【变式3］（2023•全国•九年级专题练习）如图，在Rt..A3C中，ZACB=90o,AC=BC=6,。是AB上一点,

点、E在BC上,连接8,AE交于点F,若NCFE=45o,BD=2AD,则CE=.

考点2：8字模型

ARCB

典例2：(2021秋•重庆•九年级校联考期末)如图AO与CE交于8,且器

(1)求证：ABCDBE.

(2)若AC=8,BC=6,CE=9,求OE的长.

【变式1】39.(2021春・全国•九年级专题练习)已知：如图，在AABC中,点D、E分别在边AB、AC±,

DE0BC,点F在边AB上，BC2=BF∙BA,CF与DE相交于点G.

(1)求证：DF∙AB=BC∙DG;

(2)当点E为AC中点时，求证：2DF∙EG=AF∙DG.

【变式2](2023•山西太原•山西实验中学校考一模)如图所示，在。中,两条弦AS、CD相交于点E,连

接A£＞、BC,则下列说法中错误的是()

AEADAEDE

A.ZA=ZCB.ZB=ZDC.~EC~~BED.~EC~BE

考点3：子母模型（射影定理）

典例3：（2022,辽宁营口•一模）如图，AB,CO是。的直径，CM为。的切线，C为切点，连接8C,

过点。作。E_LAB于点E,延长OE交BC于点F,交；。于点G,交CM于点”，连接CG.

⑴求证：CH=HF；

⑵若。半径为5,CG=2,求”E的长.

【变式1］（2022・陕西西安•西北大学附中校考模拟预测）如图，ABC是（O的内接三角形，过点C作,。的

切线交AB的延长线于点O,OELBC于点E,交8于点尸.

⑴求证：ZA+ZOFC=90°；

(2)若OE=2,BC=6,求线段CF的长.

AC

【变式2］（2022•江苏•九年级专题练习）如图，在RtEWBC中，EL4C8=90。，点。在/8上,AD_

~AC~~AB

(1)求证^ACDWABC；

(2)若4。=3,BD=2,求CZ)的长.

考点4：一线三等角模型（重点）

典例4：（2020秋•宁夏银川•九年级校考阶段练习）将一副三角尺如图①摆放，在∕⅛ΔA8C中,

ZΛCB=90,ZB=60；在RfADEF中,NEO尸=90,NE=45,点。为AB的中点，DE交AC于点P,DF

经过点C∙

(1)求NADE的度数；

(2)如图②，将ΔDEF绕点。顺时针方向旋转角α(0o<a<60o).此时的等腰直角三角尺记为ΔE>EF,

D?交AC于点M,D尸交BC于点N,试判断UPM的值是否随着α的变化而变化？如果不变，请求出P会M

CNCN

的值；反之，请说明理由.

【变式1](2023春•广东佛山•九年级校考阶段练习)如图，在等边I3/8C中，P为BC上一点，。为ZC上一

点，且EWPz)=60°,2BP=3CD,BP=I.

(1)求证EW8R33PC。；

(2)求GWBC的边长.

BP

【变式2】(2023•全国•九年级专题练习)如图，四边形ABCO是矩形，点尸是对角线ZC上一动点(不与/、

C重合)，连接PB,过点P作PE_LPB,交DC于点、E,已知AD=3,AC=5.设AP的长为x.

（I）AB=:当x=I时，求而的值；

PE

（2）试探究：急是否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由;

⑶当PCE是等腰三角形时，请求出X的值.

【变式3］（2020春•重庆沙坪坝•九年级重庆八中校考阶段练习）如图，点RE是正AABC两边上的点，将

ΔβQE沿直线OE翻折，点B的对应点恰好落在边AC上，当AC=4A尸时，乌乌的值是（）

考点5：手拉手模型（重点）

典例5：（2023春•湖北襄阳•九年级统考阶段练习）（1）问题探究：如图1,ABC,VADE均为等边三角形,

连接8。、CE,求证：BD=CE.

（2）类比延伸：如图2,在Rt∆ASC和Rt∆ADE中,ZACB=ZAED=90o,ZABC=ZADE=30°,连接BD、

CE,求证：BD=ICE.

（3）拓展迁移：如图3,在四边形ABC。中，AClBC,SLAC^BC,8=4,若将线段D4绕点。按逆

时针方向旋转90。得到DA,连接BA,求线段S4，的长.

【变式1］（2021秋•重庆渝北•九年级统考期末）如图，在等边三角形A5C中，点O,E分别是边AC,BC

上的点.将一ABC沿OE翻折，点C正好落在线段AB上的点尸处，使得AF:8尸=1:2.若BE=2,则CE的

长度为（）

【变式2］（2020•江苏常州・统考一模）如图，在平面直角坐标系中，0AOB中,13AoB=90°,E）ABo=30°,顶

点A在反比例函y=3（x>0）上运动，此时顶点B也在反比例函数y=工上运动，则m的值为（）

A.-9B.-12C.-15D.-18

巩固训练

一、单选题

1.（2021•山东临沂•三模）如图，在EWBC中，DE^BC,若ZE=2,EC=3,则豳。E与EL48C的面积之比为

)

A.4：25B.2：3C.4：9D.2：5

2.（2023,全国•九年级专题练习）如图,AB∕∕CD,AE∕∕FDfAE9分别交3C于点G,H9则下列结论

DHCHGECGAFHGFHBF

A.------=-----B.------=-----

FHBHDFCB~CE~~CG~AG~~FA

3.（2013・海南•中考真题）直线/电/姗3,且//与/2的距离为1，/2与〃的距离为3,把一块含有45。角的直角

三角形如图放置，顶点/,B,C恰好分别落在三条直线上，ZC与直线〃交于点D,则线段80的长度为

252025

aλ∙TB.—C.—DY

344

4.（2023•河北秦皇岛•统考一模）如图，在ABC中，AB=AC,点。为线段BC上一动点（不与点8,C重

合），连接AO,作ZAQE=NB=40。，OE交线段AC于点E.

下面是某学习小组根据题意得到的结论:

甲同学：∕∖ABDADCE;

乙同学：若AD=DE,则BO=CE;

丙同学：当。E工AC时，。为BC的中点.

则下列说法正确的是（）

A

A.只有甲同学正确B.乙和丙同学都正确

C.甲和丙同学正确D.三个同学都正确

5.（2023秋•河南平顶山•九年级统考期末）如图，已知点4B,C,D,E均在方格纸的格点上，则C

与JIBC的面积比为（）

1ɪ

C.一D.

69

6.（2023・全国•九年级专题练习）如图，在.ABC中，Zfi4C=60o,NABC=90。，直线4〃4〃4，4与4之

间距离是1,4与4之间距离是2,且4，4，％分别经过点4B,C,则边AC的长为（）

r3√ΣT

4DW

7∙（2022∙广东深圳•深圳市大鹏新区华侨中学校考二模）如图，已知。、E分别是MBC中AB、AC边上的

AΓ）1

点，小〃”且布=铲VADE的周长2,则ABC的周长为（）

A.4B.6C.8D.18

8.（2023秋•安徽六安•九年级统考期末）如图，在YABCo中，E为BC上一点，且BE:EC=I:2,则BF:FZ）=

（）

9.（2023・贵州遵义•校考一模）如图，在ΛBC中，。是AB边上的点，AB=ZACD,AC:AB=I:及，则

∆ADC与ΛBC的面积比是（）

A.lι√2B.1：2C.1：3D.1：4

10.（2022秋•四川遂宁•九年级统考期末）如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线乙，,A,A±,若直

线/,〃/,〃/2〃/,且间距相等，AB=4,BC=3,贝IJtane的值为（）

11.（2020秋•广西桂林•九年级校考阶段练习）如图，正方形ABCD中，回ABC绕点A逆时针转到_A'3'C,

AB',AC'分别交对角线BD于点E,F,若AE=4,则E6E£＞的值为（）

A.8B.12C.16D.20

12.（2022秋•九年级单元测试）如图，在平行四边形ABCD中，E为边4D的中点，连接/C,BE交于点、F.若

EWE尸的面积为2,则0/18C的面积为（）

A.8B.10C.12D.14

13.（2021•江苏无锡•九年级专题练习）如图，正方形ABa）的对角线AC、BZ）相交于点O,E是BC的中

点，DE交Ae于点尸，若DE=I2,则。尸等于（）

S

A.3B.4C.6D.8

14.（2022•浙江•九年级专题练习）如图,扇形/08中，财08=90。.在扇形内放一个RZSEAR其中。E=

10,DF=9,直角顶点O在半径08上,OO=208,点E在半径OI上，点尸在弧AB上.则半径。!的长

为（）

_27√85n27√85

A.√85B.2底L.----------U.----------

1417

15.（2020•海南省直辖县级单位•统考模拟预测）如图，将正方形纸片NBCD沿EF折叠，折痕为EG点/

的对应点是点4,点B的对应点是点B',点、夕落在边CD上,若。9:Cz）=I:3,且AF=Io,则EF的长为（)

A.2√10B.6√5C.6√10D.12√2

二、填空题

16.（2022秋•黑龙江哈尔滨•九年级校考期中）如图，ABC中，点。在AB上，NB=2NBCD,若BD=2,

BC=5,则线段Co的长为.

94

17.（2022春,九年级课时练习）如图，在R/EL48C中，BACB=90°,CDEI48于点。，已知NZ）=M,3。=丁

那么BC=.

18.（2020•海南海口•统考二模）如图，在OABC中，?B90?,AB=6,BC=4,点。在AC边上，。与

边加8C分别切于点0E,则詈的值为----------

19.（2022秋•江苏扬州•九年级统考期末）如图，在边长为6的等边区4BC中，。是边BC上一点，将

沿跖折叠使点力与点。重合，若8。：。£=2:3,则CE=.

20.（2020秋•福建泉州•九年级福建省南安市侨光中学校考阶段练习）如图，MQB是直角三角形，AAOB=90，

O8=2OA,点A在反比例函数y=2的图象上.若点B在反比例函数y="的图象上，则k的值为

21.（2019•辽宁沈阳•统考中考真题）如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E,且CE=4AE,点F在DC

的延长线上，连接EF,过点E作EGEIEF,交CB的延长线于点G,连接GF并延长，交AC的延长线于点P,

若AB=5,CF=2,则线段EP的长是.

22.（2019秋•浙江杭州•九年级期末）如图，已知AABC和ΔDCE是等边三角形，连接BE,连接D4并延长

交CE于点尸，交8E于点G,CD=6,EF=2,那么EG的长为.

23.（2022•江苏•九年级专题练习）如图，正方形NBC。中，点尸是8C边上一点，连接/尸，以/F为对角

线作正方形NEFG,边FG与NC相交于点4,连接OG.以下四个结论:

①M∕8=EI8FE=EΣMG;

（2）a4C∕T3EWZ）Gi

③AH-AC=-JlAE1;

（4）DG0JC.

其中正确的是.（写出所有正确结论的序号）

24.（2021春•全国•九年级专题练习）已知正方形OEFG的顶点尸在正方形/88的一边/D的延长线上,

连结∕G,CE交于点“，若AB=3,DE=y∕2,则C4的长为.

25.（2023秋•湖北襄阳•九年级统考期末）如图,在,ABC中，AB=AC=8,BC=4,点。在边AC上，BD=BC,

则4。的长为.

三、解答题

26.(2023秋•安徽六安•九年级校考期末)如图，在ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高.求证:

7ACB尔AED.

27.(2022・江苏•九年级专题练习)如图，直线”8经过回O上的点C,并且0/=08,CA=CB,直线。8交回O

于点E、D,连接EC、CD.

(1)试判断直线/8与回。的位置关系，并加以证明;

(2)求证：BC1=BDBE-.

(3)若tanE=g,SIO的半径为3,求04的长.

28.(2022秋•北京房山•九年级统考期中)如图，/O与5C交于O点，Z4=ZC,BO=4,DO=2,AB=3,

求8的长.

29.（2018•湖北武汉•统考一模）如图，以/。为直径的回。交/8于C点，8。的延长线交回。于E点，连CE

交/O于尸点，若力C=8C.

（1）求证：AC=CE;

DFR

（2）若=丁，求tan团CEf）的值.

DF2

30.（2021秋•广东佛山.九年级佛山市第十四中学校考阶段练习）在矩形/88中,E为OC边上一点,把VAz）E

沿AE翻折，使点。恰好落在8C边上的点尺

(1)求证：MABF~&FCE；

(2)若AB=2后,AD=A,求EC的长.

31.(2020•河南商丘•校考模拟预测)如图，NBA尸的一边A3经过。的圆心，另一边与(O交于点F,作

/84F的平分线与。交于点D,过点。作，。的切线，交AF的延长线于点E.

(1)求证：DELAF

(2)若AB=10.

①若AE=8,则OE的长为______：

②AF∙E尸的最大值为_____.

备用图

32.(2023•全国•九年级专题练习)【问题发现】(1)如图1,在RJABC中，AB=AC,。为Be边上一点(不

与点B、C重合)将线段Ao绕点4顺时针旋转90。得至UAE,连接EC,则线段8。与CE的数量关系是.

【探究证明】⑵如图2,在RtA3C和RtAr)E中，AB=AC,AO=4E将一AZ)E绕点Z旋转，当点C,

D,E在同一直线时，3。与CE具有怎样的位置关系，并说明理由；

【拓展延伸】(3)如图3,在RjBCD中，ZBCD=90o,BC=2CD=4,将^ACO绕顺时针旋转，点C对应

点、E,设旋转角NeAE为α(0o<a<360o),当点C,D,E在同一直线时，画出图形，并求出线段班的

长度.

33.（2023∙全国•九年级专题练习）某校数学活动小组探究了如下数学问题:

⑴问题发现：如图LABC中，ZBAC=90o,AB=AC.点尸是底边8C上一点，连接/P,以/P为腰

作等腰RtAAPQ,且NP42=90。，连接C。、则8P和C0的数量关系是；

⑵变式探究：如图2,ABC中，ZBAC=90o,AB=AC.点尸是腰上一点，连接CP,以CP为底边

作等腰RtACPQ,连接40,判断BP和40的数量关系，并说明理由；

⑶问题解决：如图3,在正方形Z8C。中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF,点Q是正方

形。PE尸两条对角线的交点，连接CQ.若正方形。PE尸的边长为Ji6,Cβ=√2,求正方形488的边长.

34.（2023•全国•九年级专题练习）一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、

A,。在同一条直线上），发现3E=£）G且5E2DG.

小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：

（1）将正方形用’G绕点/按逆时针方向旋转（如图1）,还能得到BE=。G吗？若能，请给出证明，请说

明理由；

（2）把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD,将菱形A£FG绕点/按顺时针方向旋转（如图2）,

试问当NEAG与ZBAD的大小满足怎样的关系时，BE=DG;

ApΔΩ2

（3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABC。，且三=三=：,AE=2a,AB=2b（如图

AGAD3

3）,连接OE,BG.试求D6+BG2的值（用α,6表示）.

35.（2023春•陕西西安•九年级统考阶段练习）如图，AB是半圆。的直径，。为半圆。上的点（不与A,B

重合)，连接A。，点。为50的中点，过点C作CZ7LAO,交AO的延长线于点尸，连接瓦7,AC交于点

E.

⑴求证：FC是半圆。的切线；

(2)若AF=3,ΛC=2√3,求半圆。的半径及AE的长.

专题06五大常考相似模型

一、【知识回顾】

模型一：A字模型

模型二：8字模型

模型三：子母模型（射影定理）

模型四：一线三等角模型

4.一线三等角

模型五：手拉手模型（旋转模型）

5.手拉手相似

旋转相似，成对出现

△AB—"DEOH=KNBAD=NCAE=乙4BDSAACE

ACAE

二、【考点类型】

考点1：A字模型

典例1:（2021秋•安徽安庆•九年级安庆市石化第一中学校考期中）图，AB"GH〃CD、点、H在BC

AC与BD交于■点G,AB=2,CD=3,求G”的长.

【答案】I

【分析】根据平行线分线段成比例定理，由他〃G”,可证用"S女他由性质得出翳=黑，由

GH//CD,可证ABG"Sz^βQC,由性质得出绊=桨，将两个式子相加，即可求出G”的长.

CDBC

【详解】解：∙∙∙AB〃。//,

ΛZJ=Z∕∕GC,ZABC=ZGHC1

：.ACGHsRCAB,

.GHCH

•・方一记‘

VGH〃CD,

ΛZD=ZHGBfNDCB=NGHB,

ABGHS4BDC,

.GH一BH

'u~CD~~BC

.GHGHCHBH

..+=——+——=11,

ABCDBCBC

∖'AB=2fCZ)=3,

.GHGH,

・・---1---=1,

23

解得：GH=？.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的

关键.

【变式1】(2022•广东深圳•深圳市华胜实验学校校考一模)如图，在。。中，/B=NC,COL/8于点F,

交©0于点。，ZO的延长线交CO于点£.

⑴求证：AELBC；

(2)求证：DF=EF-,

⑶若k=5,求同的值•

【答案】⑴见解析

⑵见解析

【分析】（I）根据弦与圆周角的关系和等腰三角形的性质可证得结论；

（2）根据圆周角定理和平行线的判定与性质证得NAZ）C=NAED,再根据等腰三角形的判定与性质可证得

结论；

ApFFΓ）P3ρρQ

（3）证明一AFES-ABM得到三=F■，再证明,BNM&CNE得到BM=CE,由已知H=I得到芸=],

ABBMFC8FC8

进而求解即可.

【详解】（1）证明：连接AC,延长AE交圆。点M,

,/片8=讣C，AE经过圆心。，

BM=CM>AB=AC,

'NBAM=NCAM.

二AELBC-.

M

(2)证明：连接A。、BM,

•・•黜=M

：.ZADC=ZAMB,

・・•AM是圆的直径，

o

・・・ZABM=90f

VCDlAB,

：.ZAFC=ZABM=90°,

JEF〃BM，

：.ZAMB=ZAED,

・•・ZADC=ZAED9

，AD=AE,

•：CDlAB9

，DF=EF↑

(3)解：tJEF//BM,

：・_AFES,ABM,AECN=AMBN,

.AFEF

∙∙AB~BM'

YAE-LBC1

ΛBN=CN9ZBNM=ZENC,又/ECN=/MBN

"BNMMCNE(ASA)

：.BM=CE,

∙∙DF3

♦FC~8,

,EF_3

"Tc^8,

・CE5

**EF^3,

,BM_5

"~EF~3f

.AF3

••二一»

AB5

.BF_2

^*E4^3-

【点睛】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定

与性质，圆周角、弧、弦的关系等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，正确作出辅助线是解答的关键.

【变式2】(2023春•安徽六安•九年级校联考阶段练习)如图，在.43C中，NC=90。，AD平分NCAB交BC

于点。，AQ的垂直平分线交AB于点O,以点。为圆心，以。4长为半径作。O,交AB于点E∙

A

⑴求证：BC是。。的切线；

（2）已知BE=2,AC=4.8,求。O的半径.

【答案】⑴见解析

（2）3

【分析】（1）连接。D,由垂直平分线的性质可知，OA=OD,易知0O经过点O,由AZ）平分/C4B,可

知NCW=NBAD,由OA=Or>,可知NBAo=NOr>A,.∙.ΛCAD=∕LODA,进而得4C〃0D，可知

NoDB=NC=（XT,易知Or）J.BC,得证BC是（。的切线；

（2）ill（1）易证/C3,,84C,可得丝=要.设，。的半径为X,则士=ML，解出方程即可得0O

的半径.

【详解】（1）证明：连接。£>，

∙.∙AD的垂直平分线交AB于点O,

OA-OD，

.∙∙0O经过点D,

,AD平分/C48,

.∙.ZCAD=ZBAD,

OA=OD,

.'.ZBAD=ZODAf

.∖ZCAD=ZODA,

:.AC//OD

,ZC=90o,

.∙.ZODB=ZC=ZODC=90o,

:.ODVBC.

.∙.8C是I。的切线；

⑵解：,ZC=90o,NoDC=90。,

.∙.NC+NODC=180°,

..OD//AC,

:.ABO*ABAC,

.ODBO

*AC-BA

设。。的半径为x,wj⅛=≡

解得XI=3,x2=-1.6（舍去）,

经检验，x=3是原分式方程的解，

故。。的半径为3.

【点睛】本题考查切线的判定，相似三角形的判定及性质，通过作辅助线，与圆心相连是解决问题的关键.

【变式3】（2023•全国•九年级专题练习）如图，在RtABC中，N4CB=9（r,AC=3C=6,。是AB上一点,

点E在BC上,连接8,AE交于点F,若NC尸£=45。,3£>=24）,则CE=.

A

C

【答案】2

【分析】过。作。“垂直AC于”点，过。作。G〃AE交BC于G点，先利用解直角三角形求出CD的长，

其次利用,CDGsCBD,求出CG的长，得出BG的氏，最后利用即GsB4£求出砥的长，最后得出答

案.

【详解】解：如图：过。作ZW垂直力C于〃点，过。作少G〃AE交BC于G点,

：在RtABC中，AC=BC=6,

∙'∙AB=yjAC12+3BC2=6√2，

又：BD=2AD,

AD=2∙j2，

在等腰直角三角形AHD中，AH=DH=2,

：.CH=6—2=4,

在RtCHD中，CD=y∣CH2+DH2=2√5，

∖∙DG//AE,

，NCFE=ZCDG=45o,ZB=45°,

NCDG=NB,

又，：ΛDCG=ΛBCD,

：.CDGSCBD,

.CDCG

"^CB~^CD,

二CD2=CGCB，

即20=6CG,

.“一生

•∙CcJ—~~，

3

1∩Q

・・・BG=BC-CG=6--=-

331

又YDG〃AE,

:、：BDGSBAE,

又「BD=2AD,

.BDBG2

9'~BA~~BE~3t

乂BG=q,

3

/.BE=BG×-=4,

2

ΛCE=6-4=2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似二角形的判定与性质综合，解题关键在于正确做

出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案.

考点2：8字模型

典例2：（2021秋・重庆•九年级校联考期末）如图AD与CE交于8,且当=g.

BDBE

（1）求证：ABCSQBE.

（2）若AC=8,BC=6,CE=9,求。E的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）4.

【分析】（1）根据相似三角形的判定解答即可;

DFBF

⑵因为AMCsmE,根据相似三角形的性质可知就=正，代入数据解答即可.

【详解】证明：（1）NDBE=ZABC,—,

BDBE

ABCsaDBE:

(2)ASCsDBE,

DEBE

----=-----,

ACBC

AC=8,BC=6,CE=9,

∙∙BE=CE-BC=3,

DE3

.∙.——=-,

86

「•DE=4∙

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键.

【变式1】39.（2021春•全国•九年级专题练习）已知：如图，在AABC中，点D、E分别在边AB、AC±,

DE〃BC,点F在边AB上，BC2=BF∙BA,CF与DE相交于点G.

（1）求证：DF∙AB=BC∙DG;

（2）当点E为AC中点时，求证：2DF∙EG=AF∙DG.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）由BC2=BF∙BA,ZABC=ZCBFIJj^IJ△BAC^ΔBCF,再由DE〃BC可判断BCFjDGF,所以

DGFSbac,然后利用相似三角形的性质即可得到结论；

（2）作AH〃BC交CF的延长线于H,如图，易得AH〃DE,由点E为AC的中点得AH=2EG,再利用AH〃DG

可判定AAHFSAzX牙，则根据相似三角形的性质得黑=芸，然后利用等线段代换即可.

DeJDb

【详解】证明：（1）VBC2=BF∙BA,

ΛBC：BF=BA:BC,

而NABC=NCBF,

BACSBCF,

VDE//BC,

：・」BCFs」DGF,

：..∖^DGF^^BAC.

ΛDF:BC=DG:BA,

ΛDF∙AB=BC∙DG;

(2)作AH〃BC交CF的延长线于H,如图,

VDE/7BC,

ΛAH/7DE,

Y点E为AC的中点，

.∙.EG为一。”的中位线，

ΛAH=2EG,

VAHZ/DG,

：.:4AHFSJDGF,

.AHAF

φβDG^DF,

.2EGAF

DG~~DF'

即2DF∙EG=AF∙DG.

HA

V∖

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中己有的公共

角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相

似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系.

【变式2］（2023•山西太原•山西实验中学校考一模）如图所示，在：O中，两条弦AB、CD相交于点E,连

接4λBC,则下列说法中错误的是（）

AEADAEDE

A.ZA=ZCB.ZB=ZD

ECBE^EC~^E

【答案】C

【分析】根据圆周角定理可得NA=NC,ZS=ZD,即可得到AAr即可得到答案;

【详解】解：由题意可得，

：弧Bz）=弧3Z），弧AC=弧AC,

ΛZA=ZC,ZB=ZD,

：..ADESeBE,

.AEDEAD

^,EC-^βF-CB,

故选C.

【点睛】本题考查圆周角定理及三角形相似的性质与判定，解题的关键是熟练掌握圆中同弧或等弧所对的

圆周角圆心角相等.

考点3：子母模型（射影定理）

典例3：（2022,辽宁营口•一模）如图，AB,CZ）是。的直径，CM为。。的切线，C为切点，连接BC,

过点。作DEJ_AB于点E,延长DE交8C于点尸，交，。于点G,交CM于点H,连接CG.

ΔG

⑴求证：CH=HF；

⑵若O半径为5,CG=I,求”E的长.

【答案】⑴见解析

⑵飙

6

【分析】（1）CO是：,。的直径，CM为。的切线，得QCLCM,所以///C户+NOCB=90。，而ΓCA3,

NCFH=4BFE,4OCB=4OBC,可得NCFH+NOCB=90°,所以NHCF=NHFC,即可得C"=〃尸；

（2）根据CD是00的直径,得NCGD=90。，根据勾股定理得DG=4#,根据垂径定理得DE=GE=2瓜.

证明DEMDCH,得丝=丝，即"一=侦，求出所以

HDCDHD106

WE=WD-DE=-√6-2√6=-√6.

66

【详解】（1）证明：C。是GO的直径，CM为（。的切线，

・•.DClCM,

.∙.NHCF+NOCB=90。,

OB=OC,

."OCB=/OBC,

DE±AB^

/.ZBEF=90o,

NEFB+/OBC=90。,

/CFH=NBFE,

:.NCFH+/OCB=时,

；.ZJdCF=/HFC,

CH=HFx

（2）解：∙.8是。的直径，

/.ZCGD=90°,

CD=20C=I0,CG=2t

「DG=y∣CD1-CG2=√102-22=4√6»

DGlAB,

∙∙∙DE=GE=2瓜,

OC=OD9

.∖OE=yCG=L

NOED=/DCH=900,ZD=NO,

DEO^DCH,

.ODDE

liD~a5

即-L=亚，

HDIO

・•・HD=-yfβ

61

.∙.∕7f=∕∕D-DE=-√6-2√6=-√6.

66

【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理及相似三角形的判定和性质等，掌握

圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键.

【变式1］（2022•陕西西安•西北大学附中校考模拟预测）如图，/8C是O的内接三角形，过点C作。的

切线交AB的延长线于点£>,OE工BC于点E,交CD于点F.

C

⑴求证：ZA+ZOFC=90°；

（2）若OE=2,BC=6,求线段CF的长.

【答案】⑴证明见解析

（2）亚

2

【分析】（1）连接OC,根据切线的性质可得NOCF=90。，再根据垂径定理可得结论；

npCF

（2）由勾股定理求出。。的长，证明eCOEsq/oc,由相似三角形的性质得出会=乒，则可得出答案.

OCCF

【详解】（1）证明：连接。C,OB

FC是。的切线，

/.OClCFf

/.ZOCF=90°,

o

.∖ZOFC+ZCOF=90t

OElBC9

,NCOE=工NCOB=NA,

2

ACOF=ZA,

/.ZA+ZOFC=90o;

(2)解：OEΛ.BC,

∙∙.CE=BE=-BC=-×6=3

22f

OE=2,

OC=yjOE2+CE2=√22+32=√13，

ZCOE=ZCOF,ZOEC=ZOCF.

:.CoESJFoC,

OECE

.∙.——=——,

OCCF

.2_3

ʌ√13=CF,

：.CF=里

2

【点睛】此题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解直角三角形.证明/COESA尸OC是

解此题的关键.

ΛΓ）AΓ

【变式2］（2022•江苏•九年级专题练习）如图，在RtA48C中，ZJCδ=90o,点。在”上，且：=■一.

ACAB

（1）求证"CDSAABC;

（2）若月。=3,BD=2,求8的长.

【答案】（1）见解析；（2）√6

【分析】(1)根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出.ACD~ABC

(2)由AeD~.ABC得NAZ)C=NACB=90°,ZACD=ZB,推出一Aa)_CBD,由相似三角形的性质得

笔=空，即可求出CZ)的长.

ADCD

AΓ)AC

【详解】(1)Y嘿=片，Z4=ZA,

ACAB

・•・_ACQ~_ABC；

(2)VACDABC,

：.ZADC=ZACB=90P,ZACD=NB,

：.ZCDB=180o-90o=90o=ZACD,

/.^ACD-CBD,

.CDBD

∙∙K=~,h即π8??=AT>∙8O=3x2=6，

ADCD

：.CD=√6.

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键.

【变式3】（2021•江苏无锡•九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB=3,8C=4,O为矩形ABCD对

角线的交点，以。为圆心，1为半径作D,P为。。上的一个动点，连接AP,OP,则AOP面积的最大

值是（）

7715

A.一B.一cD.—

42∙78

【答案】C

【分析】当P点移动到过点尸的直线平行于OA且与【。相切时，A4OP面积的最大，由于P为切点，得出Mp

垂直于切线，进而得出PMLAC,根据勾股定理先求得AC的长，进而求得OA的长，根据Δ4OV∕sMa

求得ZW的长，从而求得RW的长，最后根据三角形的面积公式即可求得.

【详解】解：当P点移动到过点P的直线平行于04且与。。相切时，ΔA0P面积的最大，如图,

「过P的直线是（。的切线,

.∙.OP垂直于切线,

延长PO交HC于〃，则DM人AC,

.,在矩形ABCD中，A8=3,BC=4,

.∙.AC=yjAB2+BC2=√32+42=5，

:.OA=~,

2

o

ZAMD=ZAf)C=90,ZDAM=ZCAD1

.∙.ΔADΛ∕c^ΔACD,

DMAD

~CD~~AC

AD=4,CD=3,AC=5»

1217

ΛPM=PD+DM=\+—=—

55

1151717

.∙.ΔAOP的最大面积=5O4PM=-×-×-=—

故选：C.

P

R≡-------------------C

【点睛】本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判

定和性质，本题的关键是判断出P处于什么位置时面积最大.

考点4：一线三等角模型(重点)

典例4：(2020秋・宁夏银川•九年级校考阶段练习)将一副三角尺如图①摆放，在及ΔABC中,

ZACB=90,ZB=60；在RtADEF中,NEO尸=90,NE=45,点。为AB的中点，DE交AC于点、P,DF

经过点C.

(1)求-4)E的度数;

(2)如图②，将ΔDEF绕点。顺时针方向旋转角α(0o<α<60o),此时的等腰直角三角尺记为ΔZ)?F,

DE交AC于点M,OU交BC于点N,试判断P票M的值是否随着。的变化而变化？如果不变，请求出PM关