波动.张清(北邮)

天线发射出电磁波水波地震波造成的损害声波

各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，可以用相同的数学形式来描述。第五章机械波一、机械波产生的条件（源和路）1.波源

2.连续介质波动是振动状态的传播，是能量的传播，质元并未“随波逐流”.

后面质点的振动规律与前面质点的振动规律相同，只是位相上有一个落后。5—1机械波的形成和传播二、机械波的类型1.横波：介质中质点振动的方向与波的传播方向垂直2.纵波：介质中质点振动的方向与波的传播方向平行1)横波只能在固体中。2）纵波在所有物质中都可以传播。波速注意1、有些波既不是横波也不是纵波。如：水表面的波既非横波又非纵波。水波中的质元是做圆（或椭圆）运动的。结论：机械波传播的是波源的振动状态和能量。三、波长、波的周期和频率波速1、波长l—同一时刻，两个相邻的相位差为2的振动质点间的距离。3、频率n—单位时间内波向前传播的完整波的数目.(1s内向前传播了几个波长）2、波的周期T—波传过一个波长的时间。

周期或频率只决定于波源的振动

在波动过程中，某一振动状态在单位时间内传播的距离。波速由介质的弹性性质和惯性性质决定。4、波速：钢铁中水中例如，声波在空气中波线波面波面波线波面波线波线波面平面波球面波★各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直。★沿波线方向各质点的振动相位依次落后。四、波线和波面五、简谐波简谐波是最基本的波动，波源和介质的各质点均作简谐振动。数学上的傅里叶分解法告诉我们，任何非简谐振动都可以分解为许多简谐振动的组合。因此，研究简谐波特别重要。*六、物体的弹性形变（略）一、平面简谐波的波函数1、右行波的波动方程：（1）已知O点振动表达式：P点在t时刻的振动状态,与O点在(t-x/u)时刻的振动状态相同。§5－2平面简谐波的波动方程

（O点不一定是波源）或P点的相位比O点相位落后。参考点O（滞后效应）（2）如图，已知P点的振动方程：或思考（1）已知O点振动表达式：或思考2、左行波的波动方程：（超前效应）（2）如图，已知P点的振动方程：或思考注意：（波具有时间的周期性）当x

固定时:（波具有空间的周期性）当t一定时:1、t一定时的波形图（快照）

t时刻

t+时刻讨论各质点在给定时刻的振动方向二、波函数的物理意义例1：如图所示，为一简谐波在t=0时刻的波形图。试写出O、1、2、3点的初位相解：画出下一时刻的波形图t+∆txyt=0uO123图1yt=0uO123x图2t+∆t（1）（2）t讨论质点在某一时刻的振动方向

质点的振动速度2、x一定，t变化。表示点处质点的振动方程（的关系）

t时刻

t+时刻波速即波形平移的速度！3、t、x都变化时：对应跑动的波形（行波）通常：lx1x2例2：一平面简谐波某时刻的波形图如下，则OP之间的距离为多少厘米。0p220cm解题思路：YO设波向右传播（P点落后于O点)思考：若设波朝左传，则YO例3：一平面波在介质中以速度u=20m/s

沿x轴正方向传播，已知在传播路径上某点a点的振动方程为ya=3cos4t(m)（1）以a为坐标原点写出波动方程。（2）以距a点5m处的o点为坐标原点，写出波动方程。

(3)求出oc

两点之间的位相差0a5mxc8m

0a5mxc8m解：ya=3cos4t（1）a为坐标原点：(2)0点为坐标原点：0点振动方程p(x)(3)求出oc

两点之间的位相差0a5mxc8m例4：沿X轴正方向传播的平面简谐波、在t=2s

时的波形如图，已知A、u及，问：1）原点O的初相及P点的初相各为多大？2）写出波动方程。解题思路：思考:求O、P两点之间的位相差。

0pt=2sYOt=2s§5-3波的能量

胡克定律：在弹性限度内，应力和应变成正比。比例系数E随材料的不同而不同，叫杨氏模量。补充：ll+

l

振动动能xOyO以固体棒中传播的纵波为例分析波的能量.xOyO弹性势能*任意时刻，体元中动能与势能相等，同相地随时间变化。这不同于孤立振动系统。总能：能量极小能量极大弹性势能与媒质元的相对形变量的平方成正比，也就是与波形图上的斜率平方成正比。体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能均最大.体积元的位移最大时，动能、势能和总机械能均最小.波的能量密度：平均能量密度：随时间变化

也适用于球面波平均能流三、能流和能流密度1、能流—单位时间内通过某一截面的能量。udtS2、能流密度（波的强度I）－通过垂直于波速方向的单位面积的平均能流。波强是矢量，其方向与波速方向相同。波强是与振幅的平方成正比，其单位是W/m2。能流电流能量电量能流密度电流密度例：如图，某一点波源发射功率为40瓦，求球面波上单位面积通过的平均能流。r解：（1）在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在行进方向上振幅不变。证明：因为所以在单位时间内通过和面的能量应该相等所以,平面波振幅相等。

平面波和球面波的振幅

设距波源单位距离的振幅为A，则距波源r处的振幅为（2）球面波振幅与它离波源的距离成反比。一、惠更斯原理：波阵面上的每一点，都是发射子波的新波源，其后任意时刻，这些子波的包络面就是新的波阵面。S2S1用惠更斯原理解释波的传播行为§5-4惠更斯原理波的叠加和干涉

波的衍射

水波通过狭缝后的衍射

波在传播过程中遇到障碍物时，能绕过障碍物的边缘，在障碍物的阴影区内继续传播.惠更斯原理解释波的衍射：如你家在大山后,听广播和看电视哪个更容易?(若广播台、电视台都在山前侧)

1、若有几列波同时在介质中传播，则它们各自将以原有的振幅、频率和波长独立传播；并不因为其它波的存在而改变。

2、在几列波相遇处，质元的位移等于各列波单独传播时在该处引起的位移的矢量和。二、波的叠加原理：细雨绵绵独立传播能分辨不同的声音正是这个原因；叠加原理的重要性在于可以将任一复杂的波分解为简谐波的组合。三、波的干涉相干条件:相同的频率恒定的初相位差振动方向相同传播到P点引起的振动：

波源S1:波源S2:S1S2P1)

合振动的振幅（波的强度）在空间各点的分布随位置而变，但是稳定的.其他振动始终加强振动始终减弱2)干涉加强干涉减弱称为波程差如图示，S1S2r1r2SS2S1当两相干波源为同相波源,即时解：例1：如图S1、S2为两平面简谐波相干波源，S2的位相比S1的位相超前，

S1在P点引起的振幅为0.3m，S2在P点引起的振幅为0.2m，求P点的合振幅。例2、如图所示，波源S发出的一列简谐波沿X轴方向传播，在其传播路径上有一障碍物，其上有两个关于S对称的小孔S1和S2，间距a=S1S2=4

，

是波源发出的波的波长。求：图示轴上干涉加强与减弱的位置。SS2S1x解：S1、S2为两个相干波源，且初位相相同。设：两波相遇时,S1P=x则加强：加强点的分布：SS2S1xPxr减弱：减弱点的分布：SS2S1xPxr一、产生驻波的演示实验§15-6驻波

Bmg现象：

AB弦线被分成几段长度相等的作稳定振动的部分，有些点始终静止，另一些点振动最强。驻波是入射波与反射波干涉的结果。说明:二、驻波方程设：求出驻波的表达式：合振动的振幅项（1）各点都在作简谐振动，振幅：（2）波节位置：讨论：相邻波节（腹）间距：波腹位置：

3）相邻两波节之间质点振动同相位，任一波节两侧振动相位相反，在波节处产生

的相位跃变.（与行波不同，无相位的传播）.为波节例当波由波密煤质入射到波疏煤质，在反射点，入射波和反射波的位相相同（即无半波损失）波疏煤质三、相位跃变

（半波损失）波密煤质界面入射波在界面上反射时，引起周相相反（周相有p跃变）例1：如图，若o、处分别有两个相干波源，其振动方程分别为：yox求波腹和波节的位置。解题思路：在范围内形成驻波。驻波右行波左行波对其中的任一点xx例2、如图所示，已知：O点的振动方程为求：反射波的波动方程。Ol1xB解：（1）取O点为坐标原点，则入射波的波动方程为：反射波的波动方程为：Ol1xBx入射波在B点的振动方程反射波在B点的振动方程反射波在O点的振动方程(2)能形成驻波的两列相干波，传播方向相反，已知入射波的波动方程为则反射波的波动方程必可设为在B点，x＝l1处是波节+Ol1xBoL疏密例3：如图，已知原点O处质点的振动方程为：求反射波方程。解题思路：x例4：在弹性媒质中有一沿X轴正向传播的平面波，其波动方程为：若在X＝5.00m处有一媒质分解面，且在分解面处位相突变，设反射波的强度不变，试写出反射波的波动方程。解题思路：由题意知，在X＝5.00m处是一波节，即弦线上形成的驻波波长不连续。一系列的驻波就是弦线的可能振动方式此称简正模式。四、振动的简正模式n取最小值的波叫基波，其它为二次谐波、三次谐波…。两端固定的弦振动的简正模式一端固定一端自由的弦振动的简正模式§15－7声波、超声波、次声波声波是机械纵波。次声波超声波可闻波20000Hz20Hz一、超声波1、特性：频率高，波长短，定向性好；穿透本领大，在液体、固体中传播时，衰减很小，能量高等。2、应用：定位、测距、探伤、显象等。切削、焊接，钻孔，清洗机件，还可用来处理种子和催化。超声波的传播速度对于介质的密度、浓度、成分、温度、压力的变化很敏感。利用这些可间接测量其他有关物理量。大气湍流、火山爆发、地震、陨石落地、雷暴、磁暴等大规模自然活动中，都有次声波产生。特点：衰减极小、具有远距离传播二、次声波（10－4～20赫兹）15—8多普勒效应

当鸣笛的火车开向站台，站台上的观察者听到的笛声变尖，即频率升高；相反，当火车离开站台，听到的笛声频率降低。现象多普勒效应：观察者接受到的频率有赖于波源或观察者运动的现象。发射频率接收频率

接收频率——单位时间内观测者接收到的振动次数或完整波数.人耳听到的声音的频率与声源的频率相同吗？讨论只有波源与观察者相对静止时才相等.一、机械波的多普勒现象

1、声源不动设观察者（observer)相对于媒质的运动速度为（2）人远离声源运动（1）人向声源运动二、观察者不动,波源相对介质以运动设声源（sorcer)相对于媒质的运动速度为则：（1）声源向观察者移动则：（2）声源背离观察者移动观察者向波源运动+远离-波源向观察者运动-

远离

+

三波源与观察者同时相对介质运动不论是波源运动，还是观察者运动，或是两者同时运动，定性地说：结论：两者靠近，接受到的频率高于原来波源的频率两者远离，接受到的频率低于原来波源的频率应作为运动速度沿波源和观察者连线方向的分量。

当时，所有波前将聚集在一个圆锥面上，波的能量高度集中形成冲击波或激波，如核爆炸、超音速飞行等.1、报警和监测车速。医学上，测量血流速度、做超声心动等。三、应用2、跟踪人造地球卫星等。3、天文学家利用电磁波红移说明大爆炸理论；4、用于贵重物品、机密室的防盗系统；冲击波（激波)当波源向接收器运动时，接收器接收的频率比波源的频率大，但当波源的速度等于波