（江苏版）高考数学一轮复习 专题11.8 不等式选讲（练）理-人教版高三全册数学试题

专题11.8不等式选讲1.在实数范围内，不等式||x－2|－1|≤1的解集为________．【答案】[0,4]【解析】依题意得－1≤|x－2|－1≤1，即|x－2|≤2，解得0≤x≤4.2.若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|<a无解，则实数a的取值范围是________．【答案】a≤8.【解析】|x－5|＋|x＋3|≥|(x－5)－(x＋3)|＝8，故a≤8.3.若对任意的a∈R，不等式|x|＋|x－1|≥|1＋a|－|1－a|恒成立，则实数x的取值范围是________．【答案】x≤－eq\f(1,2)或x≥eq\f(3,2).4.已知eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则利用柯西不等式判断a2＋b2与(x＋y)2的大小关系为________．【答案】a2＋b2≥(x＋y)2【解析】∵eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，∴a2＋b2＝(a2＋b2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)))≥eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a·\f(x,a)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b·\f(y,b)))))2＝(x＋y)2.5.已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．【答案】2【解析】(am＋bn)(bm＋an)＝ab(m2＋n2)＋mn(a2＋b2)≥2abmn＋mn(a2＋b2)＝4ab＋2(a2＋b2)＝2(2ab＋a2＋b2)＝2(a＋b)2＝2(当且仅当m＝n＝eq\r(2)时取等号)．6.已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝－|x＋3|＋m.若函数f(x)的图像恒在函数g(x)图像的上方，则m的取值范围为________．【答案】(－∞，5)【解析】函数f(x)的图像恒在函数g(x)图像的上方，即为|x－2|>－|x＋3|＋m对任意实数x恒成立，即|x－2|＋|x＋3|>m恒成立．因为对任意实数x恒有|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5，所以m<5，即m的取值范围是(－∞，5)．7.已知实数t，若存在t∈[eq\f(1,2)，3]使得不等式|t－1|－|2t－5|≥|x－1|＋|x－2|成立，求实数x的取值范围．【答案】[eq\f(3,4)，eq\f(9,4)]．【解析】解：∵t∈[eq\f(1,2)，3]，∴|t－1|－|2t－5|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－t＋4，t≥\f(5,2)，,3t－6，1<t<\f(5,2)，,t－4，t≤1，))可得其最大值为eq\f(3,2).∴只需解不等式|x－1|＋|x－2|≤eq\f(3,2)即可，当x≥2时，可解得2≤x≤eq\f(9,4)，当1<x<2时不等式恒成立，当x≤1时可解得eq\f(3,4)≤x≤1，综上可得x的取值范围为[eq\f(3,4)，eq\f(9,4)]．8.设x，y，z均为实数，则eq\f(2x＋y－z,\r(x2＋2y2＋z2))的最大值是________．【答案】eq\f(\r(22),2)9.已知，求的最大值.【答案】【解析】由柯西不等式，得．．．．．．．．．．．．．．6分因为，所以．所以，所以的最大值为，当且仅当等号成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分10.选修4—5：不等式选讲解不等式：|x－2|＋x|x＋2|＞2【答案】{x|－3＜x＜－1或x＞0}．11.已知：a≥2，x∈R．求证：|x－1＋a|＋|x－a|≥3．【答案】详见解析【解析】证明：因为|m|+|n|≥|m－n|，所以|x－1＋a|＋|x－a|≥|x－1＋a－(x－a)|＝|2a－1|．…8又a≥2，故|2a－1|≥3所以|x－1＋a|＋|x－a|≥3．…………………10分12.求函数f(x)＝5＋的最大值．【答案】6【解析】函数定义域为[0，4]，且f(x)≥0．13.设为实数，求证：﹒【答案】详见解析【解析】证明：因为右—左=…………2分=…………4分=，…………8分所以，原不等式成立．…………10分14.已知，（其中是自然对数的底数），求证：.【答案】详见解析【解析】证明:因为，，所以