辽宁省鞍山市2024届高三上学期期末联考模拟练习数学试题（含答案解析）

辽宁省鞍山市2024届高三上学期期末联考模拟练习数学试题一、单选题1.设全集，集合，，则A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据并集的定义求得A∪B，再根据补集的定义即可求解．【详解】∵集合A={x|﹣1＜x＜5}，集合B={x|﹣2＜x＜4}，∴A∪B={x|﹣2＜x＜5}，={x|﹣5＜x≤2}，故选B．【点睛】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．2.复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】先化简，再根据共轭复数的概念求出其共轭复数为，结合复数的几何意义即可.【详解】因，所以其共轭复数为，所以对应的点的坐标为，其对应的点位于第一象限．故选：A3.关于双曲线和焦距和渐近线，下列说法正确的是A.焦距相等，渐近线相同 B.焦距相等，渐近线不同C.焦距不相等，渐近线相同 D.焦距不相等，渐近线不相同【答案】B【解析】【分析】求出两双曲线的焦距和渐近线方程，从而可得出正确选项.【详解】双曲线的焦距为，渐近线方程为.双曲线的焦距为，渐近线方程为.因此，两双曲线的焦距相等，渐近线不同.故选B.【点睛】本题考查两双曲线的焦距和渐近线的异同，考查计算能力，属于基础题.4.设数列满足，且前n项和为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先判断是等比数列，利用公式计算，再计算比值即可.【详解】由题意知，，数列是以2为公比的等比数列，故，所以．故选：A.5.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式即可得到答案.【详解】，，且，故选：D.6.已知抛物线上一点到焦点的距离与到轴的距离之差为1，则＝（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的定义求得参数．【详解】由题意到准线的距离减去到轴距离等于1，所以，．故选：B．7.有个球，其中个一样的黑球，红、白、蓝球各个，现从中取出个球排成一列，则所有不同的排法种数是（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】对黑球的个数分类讨论，分为黑球1个，2个，结合排列、组合和分类加法原理，即可求解.【详解】解：分为两种情况，（1）当4个球颜色都不同时，排列种数是,（2）当4个球包含2个黑球时，那么需在红，白，蓝球中选2个，排法种数是,所以,故选：B.8.已知函数的定义域为的图像关于对称，且为奇函数，，则下列说法正确的个数为（）①；②；③；④.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根据奇函数定义得到，进而得到的对称中心为，再根据对称轴求出周期，通过赋值得到答案.【详解】因为为奇函数，所以，则，所以对称中心为，又因为图像关于对称，则，所以，则，所以的周期，①，所以①正确；②因为，，对称中心为，所以，所以，所以②正确；③因为，所以，因为，所以，则，所以，所以③错误；④因为且周期，所以，则的周期为，因为，，，，所以，所以，所以④正确.故选：C.【点睛】结论点睛：对称性的常用结论如下：（1）若函数满足或或，则的一条对称轴为；（2）若函数满足或或，则的一个对称中心为.二、多选题9.若，则下列不等关系中，一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】运用特例法，结合不等式的性质、指数函数的单调性、幂函数的单调性逐一判断即可.【详解】对于A，设，，但，故A错误；对于B，设，，但，故B错误；对于C，因为指数函数单调递增，所以，故C正确；对于D，因为在R上单调递增，所以由可得，故D正确，故选：CD．10.下列命题为真命题的是（）A.函数的图象关于点对称B.函数不是周期函数C.设为第二象限角，则D.函数的最小值为－1【答案】ABD【解析】【分析】根据正切函数的性质可知函数的图象得对称中心判断A；由函数的解析式和奇偶性判断B；由，则，，分为偶数，为奇数两种情况检验C；由，，，结合二次函数的性质可判断D；【详解】解：对于A，根据正切函数的性质可知函数的图象关于点对称，故A正确；对于B，函数，且，其图象关于y轴对称，所以函数不是周期函数，故B正确；对于C，设是第二象限角即，则，当为偶数，，成立，当为奇数时，，，故C错误；对于D，函数，，，则当时，函数有最小值，故D正确；故选：ABD.11.有一组样本数据，其平均数、中位数、标准差、极差分别记为．由这组数据得到新样本数据，其中，其平均数、中位数、标准差、极差分别记为，则（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据数据的平均数、中位数、标准差、极差的概念，以及计算方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由，所以，所以A正确；对于B中，由，根据中位数的定义，可得，所以B错误；对于C中，由，根据数据方差的定义，可得，可得，所以C错误；对于D中，由，根据数据极差的定义得，所以D正确．故选：AD.12.如图，正方体的棱长为1，是正方形的中心，是的中点，则以下结论正确的是（）A.平面 B.平面平面C.三棱锥的体积为 D.异面直线与所成的角为【答案】ABC【解析】【分析】对于A，利用线面垂直的判定定理即可得解；对于B，利用线面平行与面面平行的判定定理即可得解；对于C，利用三棱锥的体积公式即可得解；对于D，利用异面直线的定义与余弦定理即可得解.【详解】对于，设与交于点，连接，如图，则平面，又平面，所以，又平面，所以平面，故A正确；对于，连接，因为分别是的中点，则，又平面，平面，故平面，易得，又平面，平面，故平面，又，平面，所以平面平面，故B正确；对于C，因为是的中点，所以到底面的距离为，则，故C正确；对于D，因为，所以异面直线与所成的角为或其补角，连接，则，在中，所以异面直线与所成的角不等于，故错误.故选：ABC.【点睛】关键点睛：本题C选项解决的关键是利用中点的性质得到到底面的距离，从而利用等体积法即可得解.三、填空题13.已知向量，，则的值为__________.【答案】5【解析】【分析】根据向量的坐标表示，求得，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】由题意，向量，，可得，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量的数量积的坐标运算，其中解答中熟记向量的数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.14.个人用摸彩的方式决定谁得到一张电影票，他们依次摸彩．（1）已知前两个人都没摸到，则第三个人摸到的概率为______；（2）电影票被第个人摸到的概率为______．【答案】①.②.【解析】【分析】（1）前两个人都没摸到，还有个人有机会摸到即可求得概率；（2）根据条件概率的概率公式即可求解.【详解】（1）前两个人都没摸到，还有个人有机会摸到，所以第三个人摸到的概率为．（2）设表示电影票被第个人摸到，则，故答案为：；.15.已知直线为圆在点处的切线，点是直线上一动点，点是圆上一动点，则的最小值是____.【答案】【解析】【分析】根据切线的性质求出切线方程，再由圆的性质知：的最小值为点到的距离减去半径1即可求出.【详解】解：的圆心设切点，，则切线斜率，切线为：，即：.由圆的性质知：的最小值为点到的距离减去..故答案为：.16.如图，直三棱柱中，，棱柱的侧棱足够长，点P在棱上，点在上，且，则当△的面积取最小值时，三棱锥的外接球的体积为___________.【答案】【解析】【分析】取的中点，连接，证得平面，得到，再证得平面，得到，设，求得，，得到，得到，结合基本不等式，求得时，的面积取最小值，进而得到O为三棱锥的外接球的球心，求得球的半径，利用球的体积公式，即可求解.【详解】如图所示，取的中点为，连接，因为三棱柱为直棱柱，所以平面ABC，因为平面，所以，又因为且，平面，所以平面，因为平面，所以，又因为且，平面，所以平面，因为平面，所以，设，在直角中，，同理，所以，整理得到，又由，当且仅当时等号成立，即时，的面积取最小值，因为平面，平面，所以，所以，又因为为直角三角形，故，所以为三棱锥的外接球的球心，设外接球的半径为，可得外接球的直径为，所以外接球的体积为.故答案为：.四、解答题17已知函数，.（1）若在区间上单调递增，求的最小值；（2）求函数的值域.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据余弦函数得单调性求出函数的增区间，再根据在区间上单调递增，即可得出答案；（2）利用降幂公式、两角和差的余弦定理及辅助角公式将函数化为，根据正弦函数的值域即可求解.详解】（1）令，得，在区间上单调递增，故的最小值为.（2）.，，，即所求的函数的值域为.18.一企业从某条生产线上随机抽取100件产品，测量这些产品的某项技术指标值，得到如下的频率分布表：[11，13）[13，15）[15，17）[17，19）[19，21）[21，23）频数2123438104（1）作出样本的频率分布直方图，并估计该技术指标值的平均数和众数；（2）若或，则该产品不合格．现从不合格的产品中随机抽取2件，求抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有一件的概率．【答案】（1）频率直方图见解析，平均数为，众数为18（2）【解析】【分析】（1）首先根据题意画出频率分布直方图，再根据频率分布直方图求解平均数和众数即可.（2）利用古典概型公式求解即可.【小问1详解】频率分布直方图为：估计平均值：．估计众数：18．【小问2详解】当时，共有2件，设为，当时，共有4件，设为，现从不合格的产品中随机抽取2件，共有：，，共15个基本事件，令事件：抽取的2件产品中恰有一件技术指标值小于13，事件包含，8个基本事件，所以.19.如图①，在等腰梯形ABCD中，，将沿AC折起，使得，如图②．（1）求直线BD与平面ADC所成的角；（2）在线段BD上是否存在点E，使得二面角的平面角的大小为?若存在，指出点E的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）.（2）存在,分析见解析.【解析】【分析】（1）通过线面垂直的判定证明平面ADC，直线BD与平面ADC所成的角，即为，通过即可求出结果.（2）以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，过点作垂直于平面ABC的直线为轴，建立空间直角坐标系.利用向量法求出满足的点E，使得二面角的平面角的大小为，并能求出相应的实数的值.【小问1详解】等腰梯形ABCD中，，由平面几何知识易得，,,又，，平面ADC直线BD与平面ADC所成的角，即为，.直线BD与平面ADC所成的角为.【小问2详解】在线段BD上存在点E，使得二面角的平面角的大小为.由（1）知，以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，过点作垂直于平面ABC的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.平面ADC，又平面ABC，平面ADC平面ABC，是顶角为的等腰三角形，知轴与底边上的中线平行，则,令，则，设平面ACE的法向量，则即，令，则，，平面ADC的一个法向量为.要使二面角的平面角的大小为，则，解得或（舍去）.所以在线段BD上存在点E，使得二面角的平面角的大小为，此时E在线段BD上靠近D的三等分点处.20.设等差数列的公差为，点在函数的图象上（）.（1）证明：数列是等比数列；（2）若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前项和.【答案】（1）详见解析；（2）【解析】【分析】据题设可得，.（1）当时，将相除，可得商为常数，从而证得其为等比数列.（2）首先可求出在处的切线为，令得，由此可求出，.所以，这个数列用错位相消法可得前项和.【小问1详解】由已知，.当时，.所以，数列是首项为，公比为的等比数列.【小问2详解】求导得，所以在处的切线为，令得，所以，.所以，其前项和：①两边乘以4得：②①－②得：，所以.【点睛】等差数列与等比数列及其前项和，导数的几何意义.21.设分别为椭圆C：的左右两个焦点，椭圆上的点到两点的距离之和等于4，求：（1）写出椭圆C的方程和焦点坐标（2）过且倾斜角为30°的直线，交椭圆于A，B两点，求的周长.【答案】（1）椭圆方程为．焦点坐标为；（2）周长为8.【解析】【分析】（1）由椭圆定义得，，再把点坐标代入求得后得椭圆方程，焦点坐标；（2）根据椭圆的定义得三角形周长．【详解】由题意，，又是椭圆上的点，∴，解得．．椭圆方程为．焦点坐标为．（2）由于，∴的周长为8.【点睛】本