（江苏版）高考数学一轮复习 专题4.6 正余弦定理（测）-江苏版高三全册数学试题

专题4.6正余弦定理一、填空题1．在△ABC中，若eq\f(sinC,sinA)＝3，b2－a2＝eq\f(5,2)ac，则cosB的值为【解析】由题意知，c＝3a，b2－a2＝eq\f(5,2)ac＝c2－2accosB，所以cosB＝eq\f(c2－\f(5,2)ac,2ac)＝eq\f(9a2－\f(15,2)a2,6a2)＝eq\f(1,4).2．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若S＋a2＝(b＋c)2，则cosA等于3．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是【解析】由正弦定理得eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，∴sinB＝eq\f(bsinC,c)＝eq\f(40×\f(\r(3),2),20)＝eq\r(3)>1.∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．4．已知△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A＝eq\f(π,3)，b＝2acosB，c＝1，则△ABC的面积等于【解析】由正弦定理得sinB＝2sinAcosB，故tanB＝2sinA＝2sineq\f(π,3)＝eq\r(3)，又B∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,3)，又A＝eq\f(π,3)＝B，则△ABC是正三角形，所以S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×1×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4).5．(2017·渭南模拟)在△ABC中，若a2－b2＝eq\r(3)bc且eq\f(sinA＋B,sinB)＝2eq\r(3)，则A＝【解析】因为eq\f(sinA＋B,sinB)＝2eq\r(3)，故eq\f(sinC,sinB)＝2eq\r(3)，即c＝2eq\r(3)b，则cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(12b2－\r(3)bc,4\r(3)b2)＝eq\f(6b2,4\r(3)b2)＝eq\f(\r(3),2)，所以A＝eq\f(π,6).6．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且eq\f(c－b,c－a)＝eq\f(sinA,sinC＋sinB)，则B＝【解析】根据正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，得eq\f(c－b,c－a)＝eq\f(sinA,sinC＋sinB)＝eq\f(a,c＋b)，即a2＋c2－b2＝ac，所以cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(1,2)，故B＝eq\f(π,3).7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c＝1，B＝45°，cosA＝eq\f(3,5)，则b＝________.【答案】eq\f(5,7)【解析】因为cosA＝eq\f(3,5)，所以sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2)＝eq\f(4,5)，所以sinC＝sin[180°－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(4,5)cos45°＋eq\f(3,5)sin45°＝eq\f(7\r(2),10).由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得b＝eq\f(1,\f(7\r(2),10))×sin45°＝eq\f(5,7).8．在△ABC中，若b＝2，A＝120°，三角形的面积S＝eq\r(3)，则三角形外接圆的半径为________．【答案】2【解析】由面积公式，得S＝eq\f(1,2)bcsinA，代入数据得c＝2，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝22＋22－2×2×2cos120°＝12，故a＝2eq\r(3)，由正弦定理，得2R＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(2\r(3),\f(\r(3),2))，解得R＝2.9．在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则eq\f(sin2A,sinC)＝________.【答案】110．在△ABC中，B＝120°，AB＝eq\r(2)，A的角平分线AD＝eq\r(3)，则AC＝________.【答案】eq\r(6)【解析】如图，在△ABD中，由正弦定理，得eq\f(AD,sinB)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，∴sin∠ADB＝eq\f(\r(2),2).由题意知0°<∠ADB<60°，∴∠ADB＝45°，∴∠BAD＝180°－45°－120°＝15°.∴∠BAC＝30°，C＝30°，∴BC＝AB＝eq\r(2).在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(AC,sinB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，∴AC＝eq\r(6).二、解答题11．(2017·河北三市联考)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asinB＝－bsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3))).(1)求A；(2)若△ABC的面积S＝eq\f(\r(3),4)c2，求sinC的值．12．(2017·郑州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos2C－cos2A＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋C))·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－C)).(1)求角A的值；(2)若a＝eq\r(3)且b≥a，求2b－c的取值范围．解：(1)由已知得2sin2A－2sin2C＝2eq\f(3,4)cos2C－eq\f(1,4)sin2C，化简得sinA＝eq\f(\r(3),2)，故A＝eq\f(π,3)或eq\f(2π,3).(2)由题知，若b≥a，则A＝eq\f(π,3)，又a＝eq\r(3)，所以由正弦定理可得eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(a,sinA)＝2，得b＝2sinB，c＝2sinC，故2b－c＝4sinB－2sinC＝4sinB－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－B))＝3sinB－eq\r(3)cosB＝2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6))).因为b≥a，所以eq\f(π,3)≤B＜eq\f(2π