高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修一）专题5.13三角函数的应用（重难点题型精讲）

专题5.13三角函数的应用（重难点题型精讲）1．函数，中各量的物理意义在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与函数中的常数有关.2．三角函数的简单应用(1)三角函数应用的步骤(2)三角函数的常见应用类型

①三角函数在物体简谐运动问题中的应用.

物体的简谐运动是一种常见的运动，它的特点是周而复始，因此可以用三角函数来模拟这种运动状态.

②三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用.

物体的旋转显然具有周期性，因此也可以用三角函数来模拟这种运动状态.

③三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用.

大海中的潮汐现象、日常生活中的气温变化、季节更替等都具有周期性，因此常用三角函数模型来解决这些问题.【题型1三角函数在物体简谐运动问题中的应用】【方法点拨】物体的简谐运动是一种常见的运动，它的特点是周而复始，因此可以用三角函数来模拟这种运动状态.【例1】（2022·全国·高三阶段练习（文））如图所示是某弹簧振子做简谐运动的部分图象，则下列判断错误的是（

）A．该弹簧振子的振幅为2cmB．该弹簧振子的振动周期为1.6sC．该弹簧振子在0.2s和1.0s时振动速度最大D．该弹簧振子在0.6s和1.4s时的位移为零【解题思路】由简谐运动图象可得出该弹簧振子的振幅、最小正周期，可判断AB选项的正误，再根据简谐振动的几何意义可判断CD选项的正误.【解答过程】由图象及简谐运动的有关知识知，该弹簧振子的振幅为2cm，振动周期为2×1−0.2当t=0.2s或1.0s时，振动速度为零，该弹簧振子在0.6s和1.4s时的位移为零.所以，ABD选项正确，C选项错误.故选：C.【变式11】（2021·全国·高一专题练习）在图中，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时．则物体对平衡位置的位移x（单位：cm）和时间t（单位：s）之间的函数关系式为（

）A．x=32sinC．x=32sin【解题思路】设x=ft=Asinωt+φω>0，根据振幅确定A，根据周期确定ω【解答过程】设位移x关于时间t的函数为x=ft根据题中条件，可得A=3，周期T=2πω=3由题意可知当x=0时，ft取得最大值3，故3sinφ=3所以x=3sin故选：D．【变式12】（2022·湖南·高一课时练习）如图为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是A．该质点的振动周期为0.7B．该质点的振幅为−5C．该质点在0.1s和0.5D．该质点在0.3s和0.7s【解题思路】由简谐运动得出周期和振幅，质点位移为零时，速度最大，加速度最小；位移最大时，速度最小，加速度最大.振动图象上某点的切线斜率的正负代表速度的方向，根据以上知识可判断出各选项命题的正误.【解答过程】对于A、B选项，由图可得知振幅为5cm，周期为2×0.7−0.3对于C选项，质点在0.1s和0.5s时刻，质点的位移为最大值，可知速度为零，C选项错误；对于D选项，质点在0.3s和0.7s时刻，质点的位移为0，则质点受到的回复力为0，所以加速度为0，D选项正确.故选D.【变式13】（2022·宁夏·高三阶段练习（理））我们来看一个简谐运动的实验：将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成一个简易单摆．在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象．它表示了漏斗对平衡位置的位移s（纵坐标）随时间t（横坐标）变化的情况．如图所示．已知一根长为Lcm的线一端固定，另一端悬挂一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是s=2cosgLt，其中g≈980cm/s2A．3.6 B．3.8 C．4.0 D．4.5【解题思路】由图象观察得出函数s=2cosglt的最小正周期为【解答过程】解：由题意，函数关系式为s=2cos由图象可知，函数s=2cosglT=2πgl故选：C.【题型2三角函数在圆周运动问题中的应用】【方法点拨】这类题一般明确地指出了周期现象满足的变化规律，例如，周期现象可用形如或的函数来刻画，只需根据已知条件确定参数，求解函数解析式，再将题目涉及的具体的数值代入计算即可.【例2】（2022·浙江温州·高二期中）一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时，则点P距离水面的高度h（米）与tA．ℎ=2sinπ30C．ℎ=2sinπ30【解题思路】依据题给条件去求一个函数解析式即可解决.【解答过程】设点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的一个函数解析式为ℎ=Asin由A+B=3−A+B=−1，可得A=2B=1，由T=2由t=0时h=0，可得2sinφ+1=0，则sinφ=−12则点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的一个函数解析式为ℎ=2sin故选：A.【变式21】（2022·全国·高一课时练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为4m，筒车转轮的中心O到水面的距离为2m，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即P0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.设盛水筒M从点P0运动到点P时所经过的时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m），则点P第一次到达最高点需要的时间为（

）s.A．2 B．3 C．5 D．10【解题思路】设点P离水面的高度为ℎ(t)=Asin(ωt+φ)+2，根据题意求出A,ω,φ，再令【解答过程】设点P离水面的高度为ℎ(t)=Asin依题意可得A=4，ω=8π60=所以ℎ(t)=4sin令ℎ(t)=4sin(2π15t−π6得t=15k+5，k∈Z，因为点P第一次到达最高点，所以0<t<2π所以k=0,t=5s故选：C.【变式22】（2022·北京·高一期末）石景山游乐园“梦想之星”摩天轮采用国内首创的横梁中轴结构，风格现代简约.“梦想之星”摩天轮直径88米，总高约100米，匀速旋转一周时间为18分钟，配有42个球形全透视360度全景座舱.如果不考虑座舱高度等其它因素，该摩天轮的示意图如图所示，游客从离地面最近的位置进入座舱，旋转一周后出舱.甲乙两名同学通过即时交流工具发现，他们两人进入各自座舱的时间相差6分钟.这两名同学在摩天轮上游玩的过程中，他们所在的高度之和的最大值约为（

）A．78米 B．112米 C．156米 D．188米【解题思路】角速度为2πft=44sin【解答过程】因为角速度为2π所以游客从离地面最近的位置进入座舱，游玩中到地面的距离为ft由题意可得甲乙在摩天轮上游玩的过程中他们所在的高度之和g=112+44=112+44sin因为0≤t≤18，所以π6所以−12≤所以90≤112+44sin所以gtmax=156故选：C.【变式23】（2022·上海市高三期中）如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要30min.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，则在转动一周的过程中，高度H关于时间t的函数解析式是（

）A．H=55B．H=55C．H=−55D．H=−55【解题思路】根据题意，设Ht【解答过程】解：根据题意设，Ht因为某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m所以，该摩天轮最低点距离地面高度为10m，所以A+B=120−A+B=10，解得A=55,B=65因为开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要30min，所以，T=2πω=30因为t=0时，H0=10，故10=55sinφ+65，即所以，H故选：B.【题型3三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用】【方法点拨】大海中的潮汐现象、日常生活中的气温变化、季节更替等都具有周期性，因此常用三角函数模型来解决这些问题.【例3】（2021·全国·高一专题练习）如图是某市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y=Asinωx+φ+BA．25°C B．26°C C．27°C【解题思路】由函数图像分析：由图像的最高点和=最低点求A,B，由周期求ω，根据特殊点求φ,得到函数解析式，把x=12带入即可求出中午12时天气的温度.【解答过程】对于函数y=Asin−A+B=10A+B=30解得：A=10从x=6到x=14为函数的半个周期，即T2所以T=16，即2πω=16，解得：所以y=10又有图像经过14,30，所以10sin(所以y=10sin当x=12时，y=10sin故选：C.【变式31】（2022·全国·高三专题练习）夏季来临，人们注意避暑．如图是某市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y=Asinωx+φ+B，则该市这一天中午12A．25∘C B．26∘C C．【解题思路】根据函数的图象求出y=10sin(π【解答过程】解：由题意以及函数的图象可知，A+B=30，−A+B=10，所以A=10，B=20.∵T2=14−6，∴T=16.∵T=2πω∴y=10sin∵图象经过点(14,30)，∴30=10sin∴sin(∴φ可以取34π，∴当x=12时，y=10sin故选：C.【变式32】（2022·全国·高一专题练习）某市一年12个月的月平均气温y与月份x的关系可近似地用函数y=a+Acosπ6x−6（x=1,2,3,⋅⋅⋅,12）来表示，已知该市6月份的平均气温最高，为28∘A．25.5∘C B．22.5∘C C．【解题思路】根据已知条件列方程可求得a和A的值，可得函数解析式，将x=8代入即可求解.【解答过程】由题意可得：f6=a+Acosπ6所以fx所以该市8月份的平均气温为f8故选：A.【变式33】（2021·全国·高一专题练习）月均温全称月平均气温，气象学术语，指一月所有日气温的平均气温．某城市一年中12个月的月均温y（单位：∘C）与月份x（单位：月）的关系可近似地用函数y=Asinπ6x−3+a（x=1,2,3,⋯,12）来表示，已知6月份的月均温为29∘C，A．20∘C B．20.5∘C C．【解题思路】由题意得出关于A、a的方程组，可得出函数解析式，在函数解析式中令x=10可得结果.【解答过程】由题意可得Asinπ2所以，函数解析式为y=6sin在函数解析式中，令x=10，可得y=6sin因此，10月份的月均温为20∘故选：A.【题型4用拟合法建立三角函数模型】【方法点拨】数据拟合问题的实质是根据题目提供的数据画出简图，求相关函数的解析式进而研究实际问题.在求解与三角函数有关的函数拟合问题时，需弄清楚的具体舍义，只有掌握了这三个参数的含义，才可以实现符号语言(解析式)与图形语言(函数图象)之间的相互转化.【例4】（2022·全国·高一课时练习）某港口的水深y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是该港口的水深数据：t03691215182124y10139.9710139.9710一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5m(1)若有以下几个函数模型：y=at+b，y=Asinωt+ϕ(2)如果船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？【解题思路】(1)通过题目数据拟合函数图像，可判断函数模型y=Asinωt+ϕ(2)根据题意已知可求出水深y范围，解三角函数不等式可得答案，船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1时进港，而下午的17时离港.【解答过程】（1）y=Asinωt+ϕ+K函数模型更好地刻画根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数y=Asin从拟合曲线可知，函数y=Asinωt+ϕ+K∴函数的最小正周期为12，因此2πω又∵当t=0时，y=10；当t=3时ymax∴K=10,A=13−10=3,ϕ∴所求函数的表达式为y=3（2）由于船的吃水深度为7m，船底与海底的距离不少于4.5m，故在船舶航行时，水深y应大于或等于7+4.5=11.5(m).令y=3sin可得sinπ∴12k+1⩽t⩽12k+5(k∈Z)取k=0，则1≤t≤5；取k=1，则13≤t≤17；取k=2时，25≤t≤29（不符合题意，舍去).∴当1≤t≤5与13≤t≤17时，船能够安全进港，船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1时进港，而下午的17时离港，在港内停留的时间最长为16h.【变式41】（2023·全国·高三专题练习）“八月十八潮，壮观天下无．”——苏轼《观浙江涛》，该诗展现了湖水涨落的壮阔画面，某中学数学兴趣小组进行潮水涨落与时间的关系的数学建模活动，通过实地考察某港口水深y（米）与时间0≤t≤24（单位：小时）的关系，经过多次测量筛选，最后得到下表数据：t（小时）03691215182124y（米）10.013.09.97.010.013.010.17.010.1该小组成员通过查阅资料、咨询老师等工作，以及现有知识储备，再依据上述数据描成曲线，经拟合，该曲线可近似地看成函数图象．(1)试根据数据表和曲线，求出近似函数的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船底与水面的距离）为8米，请你运用上面兴趣小组所得数据，结合所学知识，给该船舶公司提供安全进此港时间段的建议．【解题思路】（1）根据数据,画出散点图、连线，结合正弦型函数的性质进行求解即可；（2）根据正弦型函数的单调性进行求解即可.【解答过程】（1）画出散点图，连线如下图所示：设y=Asinωt+b，根据最大值13，最小值7，可列方程为：再由T=2πω=12y=3sin（2）3sin∵0≤t≤24，∴0≤π∴π6≤解得1≤t≤5，或13≤t≤17，所以请在1：00至5：00和13：00至17：00进港是安全的．【变式42】（2021·全国·高一专题练习）某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y（米）随着时间t（0≤t≤24，单位：小时）而周期性变化．每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：t（时）03691215182124y（米）1.01.41.00.61.01.40.90.41.0(1)试在图中描出所给点；(2)观察图，从y=at+b，y=Asinωt+φ+b(3)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．【解题思路】（1）利用表格数据直接描点即可；（2）根据散点图可确定应选择y=Asin（3）令y=25sin【解答过程】(1)散点图如下，(2)由散点图可知：应选择y=Asin则A=1.4−0.62=25，b=1将0,1代入可得：1=25sin∴该模型的解析式为：y=2(3)令y=25sin∵0≤t≤24，∴0≤π∴0≤π6t≤7π6解