新版高中数学北师大版必修1习题第三章指数函数和对数函数检测

第三章检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1函数f(x)=2x-1的定义域是(A.(∞,0] B.[0,+∞)C.(∞,0) D.(∞,+∞)解析:要使f(x)=2x-1有意义,需2x1≥0,故x∈[0,+答案:B2若a>1,b<1,则函数y=ax+b的图像必不经过()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析:y=ax+b(a>1,b<1)的图像如图.故选B.答案:B3设集合M=yy=12x,x∈[0,+∞),N={y|y=log2A.(∞,0)∪[1,+∞) B.[0,+∞)C.(∞,1] D.(∞,0)∪(0,1)答案:C4下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是()A.y=1+x2 B.C.y=2x+12x D.y=x+解析:根据函数奇偶性的定义,易知函数y=1+x2,y=2x+12x为偶函数,y=x+1x为奇函数,所以排除选项答案:D5函数y=log2(1x)的图像是()解析:∵1x>0,∴x<1.这样可排除选项A,D.∵y=log2(1x)在定义域上是减函数,∴B选项正确.答案:B6log89logA.23 B.32 C.2 D解析:log答案:A7设函数f(x)=1+log2(2-x),x<1,2xA.3 B.6 C.9 D.12解析:∵f(2)=1+log24=3,f(log212)=2log212-1=2log2122答案:C8已知函数f(x)=logax(a>0,a≠1),若f(x1)f(x2)=1,则f(x12)f(x22)等于A.2 B.1 C.12 D.loga解析:f(x12)f(x22)=loga=2logax12logax2=2[f(x1)f(x2)]=2.答案:A9某工厂去年总产值为a,计划今后5年内每年比前一年增长10%,则这5年的最后一年该厂的总产值是()A.1.14a B.1.15aC.1.16a D.(1+1.15)a答案:B10给出下列三个等式:f(xy)=f(x)+f(y);f(x+y)=f(x)f(y);f(x+y)=f(x)+f(y).下列函数中其中不满足任何一个等式的是()A.f(x)=3x B.f(x)=log2xC.f(x)=xα(α≠1) D.f(x)=kx(k≠0)解析:利用指数函数和对数函数的运算性质可知,选项A满足第二个关系式;选项B满足第一个关系式;选项D满足第三个关系式.答案:C11函数f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a,则a的值为()A.14 B.12 C.2 D解析:函数f(x)=ax+loga(x+1),令y1=ax,y2=loga(x+1),显然在[0,1]上,y1=ax与y2=loga(x+1)同增或同减.因而[f(x)]max+[f(x)]min=f(1)+f(0)=a+loga2+1+0=a,解得a=12答案:B12设偶函数f(x)=loga|x+b|在(0,+∞)上具有单调性,则f(b2)与f(a+1)的大小关系为()A.f(b2)=f(a+1) B.f(b2)>f(a+1)C.f(b2)<f(a+1) D.不能确定解析:∵函数f(x)是偶函数,∴b=0,此时f(x)=loga|x|.当a>1时,函数f(x)=loga|x|在(0,+∞)上是增加的,∴f(a+1)>f(2)=f(b2);当0<a<1时,函数f(x)=loga|x|在(0,+∞)上是减少的,∴f(a+1)>f(2)=f(b2).综上可知,f(b2)<f(a+1).答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案:填在题中的横线上)13lg52+2lg212-1=解析:根据对数的运算法则知,lg52+2lg212-1=lg5lg2+2lg22=lg5+lg22=lg10答案:114若函数f(x)=xln(x+a+x2)为偶函数,则a=解析:∵f(x)是偶函数,∴f(1)=f(1).又f(1)=ln(1+a+1)=lna+1+1a,f(1)=因此ln(a+1+1)lna=ln(a+1于是lna=0,∴a=1.答案:115若a=log43,则2a+2a=.

解析:由a=log43,知2a+2a=2lo答案:416设函数f(x)=logax(a>0,a≠1),若f(x1x2…x2018)=8,则f(x12)+f(x22)+…+f(x2018答案:16三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)化简求值:(1)2(32×3)6+(22)4341649-1(2)lg5解(1)原式=2(213×312)6+(212×214)434×74-21(2)∵lg5·lg8000+(lg23)2=lg5(3+3lg2)+3(lg2)2=3lg5+3lg2(lg5+lg2)=lg60012lg0.36=(lg6+2)lg36100=lg6+2lg6∴原式=33=118(12分)已知函数f(x)=14x-(1)求函数f(x)的定义域;(2)若f(x)为奇函数,求a的值.解(1)∵4x1≠0,∴4x≠1.∴x≠0.∴f(x)的定义域为(∞,0)∪(0,+∞).(2)∵f(x)为奇函数,∴f(x)=f(x).∴14-x-∴2a=4x1-∴a=1219(12分)(1)已知x+x1=3(x>0),求x32+(2)已知log4(3x1)=log4(x1)+log4(3+x),求实数x的值.解(1)∵(x12+x-12)∴x1∴x32+x-32=5(31)=25.(2)∵log4(3x1)=log4(x1)+log4(3+x),∴log4(3x1)=log4[(x1)(3+x)].∴3x1=(x1)(3+x),且x>1.∴x=2.20(12分)已知函数f(x)=12(1)画出函数f(x)的图像,并根据图像写出该函数的递减区间;(2)求不等式f(x)>14的解集解(1)作函数f(x)的图像如下,函数的递减区间为(∞,0],[1,+∞).(2)令f(x)=14,解得x=±12或结合图像可知,f(x)>14xx21(12分)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图).(1)分别写出这两种产品的收益与投资额的函数关系.(2)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益?其最大收益是多少万元?解(1)设投资债券等稳健型产品的收益f(x)(万元)与投资额x(万元)的函数关系为f(x)=k1x(k1≠0,x≥0),投资股票等风险型产品的收益g(x)(万元)与投资额x(万元)的函数关系为g(x)=k2x(k2≠0,x≥0),则f(1)=0.125=k1,g(1)=0.5=k2,则k1=0.125=18,k2=0.5=1故f(x)=18x(x≥0),g(x)=12x(x(2)设投资债券类产品x万元,则投资股票类产品(20x)万元,依题意得,获得的总收益y=f(x)+g(20x)=x8+1220-x(0≤x≤20).令t=20-x(0≤t≤25),则y=20-t28+12t=18(t2)2+3,当t=2所以投资债券类产品16万元,投资股票类产品4万元时,能使投资获得最大收益3万元.22(12分)已知函数f(x)=ax-1ax(1)判断函数的奇偶性;(2)求该函数的值域;(3)证明:f(x)是R上的增函数.(1)解函数的定义域为R,f(x)+f(x)=a=1-a∴函数f(x)为奇函数.