新版高中数学人教A版选修2-1习题第二章圆锥曲线与方程2.2.2

2.2.2椭圆的简单几何性质课时过关·能力提升基础巩固1已知点(3,2)在椭圆x2a2+y2b2=A.点(3,2)不在椭圆上B.点(3,2)不在椭圆上C.点(3,2)在椭圆上D.无法判断点(3,2),(3,2),(3,2)是否在椭圆上解析:由椭圆以坐标轴为对称轴,以原点为对称中心可知,点(3,2)在椭圆上,故选C.答案:C2已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)有两个顶点在直线x+2y=A.(±3,0) B.(0,±3) C.(±5,0) D.(0,±5)答案:A3已知椭圆x25+y2k=1的离心率e为105,A.3 B.3或25C.5 D.15答案:B4已知椭圆中心在原点,一个焦点为(3,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是()A.x24+y2=1 B.x2+yC.x23+y2=1 D.x2+y解析:∵一个焦点为(3,0),∴焦点在x轴上且c=3.又∵长轴长是短轴长的2倍,即2a=2×2b,即a=2b.故选A.答案:A5已知椭圆的焦点在x轴上,长、短半轴长之和为10,焦距为45,则该椭圆的标准方程为()A.x236+y216=C.x26+y24=答案:A6设F1,F2是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=3a2上一点,△F2PF1是底角为A.12 B.23 C.34解析:∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,∴∠PF2A=60°,|PF2|=|F1F2|=2c.∴|AF2|=c.∴2c=32a∴e=34,故选C答案:C7以坐标轴为对称轴,且过点(5,0),离心率e=255的椭圆的标准方程是.答案:x225+y258已知F1,F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,若△ABF2是正三角形,求该椭圆的离心率.分析不妨设椭圆的焦点在x轴上,如图,由AB⊥F1F2,且△ABF2是正三角形,得出在Rt△AF1F2中,∠AF2F1=30°.令|AF1|=x,则|AF2|=2x,由勾股定理,求得|F1F2|=3x=2c.而|AF1|+|AF2|=2a,即可求出离心率e.解:不妨设椭圆的焦点在x轴上,如图.∵AB⊥F1F2,且△ABF2为正三角形,∴在Rt△AF1F2中,∠AF2F1=30°.令|AF1|=x,则|AF2|=2x.故|F1F2|=|AF2|由椭圆定义可知,|AF1|+|AF2|=2a.因此,e=2c9椭圆ax2+by2=1与直线x+y1=0相交于A,B两点,C是AB的中点,若|AB|=22,OC的斜率为22,求椭圆的方程.解:法一设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程,得ax12+by12ax22+by22=由②①,得a(x1+x2)(x2x1)+b(y2+y1)(y2y1)=0.而y2-y1x2-x1=kAB=1,y2∵|AB|=1+k2|x2x1|=2|x2x1|=2∴|x2x1|=2.又由ax2+by2=1,x+y∴x1+x2=2ba+b,x1x∴|x2x1|2=(x1+x2)24x1x2=2ba+b24将b=2a代入,得a=13,b=2故所求的椭圆方程为x23+23解:法二由直线方程和椭圆方程联立,得ax2+by2=1,x+y=1设A(x1,y1),B(x2,y2).则|AB|=(=24∵|AB|=22,∴a+b-aba设C(x,y),则x=x1+x22=∵OC的斜率为22,∴a代入①式,得a=13,b=2故所求的椭圆方程为x23+23能力提升1过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=A.22 B.3C.12 D.解析:由点P-c,±b2a,∠F1PF2=60°,得3b2a=2答案:B2设AB是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴,若把线段AB分为100等份,过每个分点作AB的垂线,分别交椭圆的上半部分于点P1,P2,…,P99,F1为椭圆的左焦点,则|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P99A.98a B.99a C.100a D.101a解析:由椭圆的定义及其对称性可知|F1P1|+|F1P99|=|F1P2|+|F1P98|=…=|F1P49|+|F1P51|=|F1A|+|F1B|=2a,|F1P50|=a,故结果应为50×2a+|F1P50|=101a.答案:D3椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,D是它短轴的一个端点,若3DFA.12 B.13 C.14解析:由题意,A(a,0),F1(c,0),F2(c,0),不妨设D(0,b).∵3DF1=DA∴3(c,b)=(a,b)+2(c,b),∴a=5c.∴e=ca=15答案:D4中心在原点,焦点坐标为(0,±52)的椭圆被直线3xy2=0截得的弦的中点的横坐标为12,则椭圆的方程为()A.2x225+2y2C.x225+y275=解析:由题意,可设椭圆方程为y2a2+x2b2=1,且a2=50将直线3xy2=0代入,整理成关于x的二次方程,由x1+x2=1可求得b2=25,a2=75.故选C.答案:C5已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交椭圆C于点D,且BF=2FD,则椭圆C的离心率为.

解析:如图,不妨设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),B(0,b)为上顶点,F(c,0)为右焦点,由BF=2FD,得(c,b)=2(xc,y),即c则D3c由点D在椭圆上,知3c22解得a2=3c2,即e2=13,故e=3答案:36已知椭圆x29+y25=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上的一点,且∠F1PF2=60°,则△PF1F解析:如图,设|PF1|=m,|PF2|=n,由椭圆的定义,得m+n=2a=6,两边平方,得m2+n2+2mn=36.①在△PF1F2中,由余弦定理,得|F1F2|2=m2+n22mncos60°=(2c)2,即m2+n2mn=16.②由①②,得3mn=20.故S△PF1F2=12·答案:5★7椭圆x24+y2=1的长轴为A1A2,短轴为B1B2,将坐标平面沿y轴折成一个二面角,使点A1在平面B1A2B2上的射影恰为该椭圆的一个焦点,则此二面角的大小是.解析:如图所示,设翻折后点A1变为A'1.由题意,可知F2O⊥y轴,A'1O⊥y轴,则∠A'1OF2就是二面角A'1B1B2F2的平面角.又在Rt△A'1OF2中,|A'1O|=2,|OF2|=3,得|A'1F2|=1.故∠A'1OF2=30°.答案:30°8已知直线y=12x+2和椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A,B两点,M为线段AB的中点,若|AB|=25解:由y=-12(a2+4b2)x28a2x+16a24a2b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系,得x1+x2=8a2a2+4b2,又设M(xM,yM),则xM=x1yM=12xM+2=8因为kOM=yMxM=12,所以2b2a从而x1+x2=8a2a2+4b2=4,x1x2=又因为|AB|=25,所以1+14×(即52×16-4(8-2b所以a2=4b2=16,故所求的椭圆方程为x216+★9设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,过点F的直线l与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60(1)求椭圆C的离心率;(2)如果|AB|=154,求椭圆C的方程解:设A(x1,y1),B(x2,y2),由直线l的倾斜角为60°及AF=2FB,知y1<0,y2>0.(1)直线l的方程为y