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文档简介

平面向量数量积一、学习目标1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.2.会计算平面向量的数量积，能用坐标表示平面向量的数量积.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，会表示两个平面向量的夹角.二、知识梳理1.平面向量数量积的有关概念（1）向量的夹角已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作OA=a，OB=b，则∠AOB当θ=90∘时，a与b当θ=0∘时，a当θ=180∘时，a（2）向量数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则把数量a⋅b⋅cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作规定：零向量与任一向量的数量积为0，即.（3）投影向量设θ是向量a与向量b的夹角，e为与b方向相同的单位向量，则叫做向量a在向量b上的投影向量.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示已知两个非零向量a=x1,y1，b=模a=a=夹角cosθcosθ=a⊥a⋅a⋅b与a⋅b≤x1x2注意e⋅a=a⋅e=当a与b反向时，a⋅3.平面向量数量积的运算律交换律a⋅结合律λa分配律a+b⋅c知识拓展有关向量夹角的两个结论（1）若两个向量a与b的夹角为锐角，则a⋅（2）若两个向量a与b的夹角为钝角，则a⋅b＜三、典例探究考点一平面向量数量积的运算例1已知向量a,b的夹角为π3，且a=2，bA.−1 B.33C.−2 D.1变式：a=1,2，b=A.−32 B.3C.−52 D.方法感悟求非零向量a，b数量积的三种方法（1）定义法：a⋅（2）坐标法：①若已知向量的坐标，则直接利用坐标运算求解，即设a=x1,y（3）几何法：灵活运用平面向量的数量积的几何意义进行求解.考点二平面向量数量积的性质及应用例2已知a=3，b=2，a变式：若向量a，b满足a=3，a−b=5例3已知单位向量a，b，c满足a+b=c，则向量A.2π3 B.π2 C.π3变式：已知向量a=3,1，向量a−A.30∘ B.60∘ C.120∘ 例4已知OA=3,OB=2,OC=mOA+nOB,若OA与A.16 B.14 C.6 D.变式：已知向量a=3,1，b=1,四、达标练习1.已知向量a,b满足a=1,b=3,A.−2 B.−1 C.1 D.2.向量a=2,t，b=−1A.−∞,23 B.C.−∞,−6∪−6,−3.已知向量a=3,1，b=1,3，且A.−2 B.−1 C.1 D.24.b满足b⋅a+b=3，且a=1，b=2，则向量A.π6 B.π3 C.2π35.定义：a×b=absinθ，其中θ为向量a与b的夹角.若aA.6 B.−6 C.−8 D.6.已知向量a=3,4,b=1,0,A.−6 B.−5C.5 D.6

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