新教材数学高中必修一课时素养评价3-2-1基本不等式的证明

课时素养评价十一基本不等式的证明(15分钟35分)1.已知a+2b=2(a>0,b>0),则ab的最大值为 ()A.QUOTE B.2 C.3 D.QUOTE【解析】选A.因为a>0,b>0,所以a+2b≥2QUOTE,所以2QUOTE≤2,所以ab≤QUOTE,当且仅当a=1,b=QUOTE时,等号成立.2.不等式QUOTE+(x2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是 ()A.x=3 B.x=6C.x=5 D.x=10【解析】选C.由基本不等式知等号成立的条件为QUOTE=x2,即x=5(x=1舍去).3.设非零实数a,b,则“a2+b2≥2ab”是“QUOTE+QUOTE≥2”成立的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.因为a,b∈R时,都有a2+b22ab=(ab)2≥0,即a2+b2≥2ab,而QUOTE+QUOTE≥2⇔ab>0,所以“a2+b2≥2ab”是“QUOTE+QUOTE≥2”的必要不充分条件.4.函数y=12xQUOTE(x<0)的最小值为________.

【解析】因为x<0,所以y=12xQUOTE=1+(2x)+QUOTE≥1+2QUOTE=1+2QUOTE,当且仅当x=QUOTE时取等号,故y的最小值为1+2QUOTE.答案:1+2QUOTE5.若0<a<1,0<b<1,a≠b,则a+b,2QUOTE,2ab,a2+b2中最大的一个是________.

【解析】因为0<a<1,0<b<1,a≠b,所以a+b>2QUOTE,a2+b2>2ab.所以四个数中最大的应从a+b,a2+b2中选择.而a2+b2(a+b)=a(a1)+b(b1).又因为0<a<1,0<b<1,所以a(a1)<0,b(b1)<0,所以a2+b2(a+b)<0,即a2+b2<a+b,所以a+b最大.答案:a+b6.已知方程ax23x+2=0的解为1,b.(1)求a,b的值.(2)求(2a+b)xQUOTE(x>0)的最小值.【解题指南】(1)利用一元二次方程根与系数的关系求a,b.(2)利用基本不等式求最小值.【解析】(1)由题意知:QUOTE解得a=1,b=2.(2)由(1)知a=1,b=2,所以(2a+b)xQUOTE=4x+QUOTE,而x>0时,4x+QUOTE≥2QUOTE=2×6=12.当且仅当4x=QUOTE,即x=QUOTE时取等号.所以(2a+b)xQUOTE(x>0)的最小值为12.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b),其全程的平均时速为v,则()A.a<v<QUOTE B.v=QUOTEC.QUOTE<v<QUOTE D.v=QUOTE【解题指南】先写出全程的平均时速为v的表达式,再利用基本不等式与作差法比较即可.【解析】选A.设甲、乙两地相距s,则小王用时为QUOTE+QUOTE,因为a<b,所以v=QUOTE=QUOTE<QUOTE=QUOTE.又va=QUOTEa=QUOTE>QUOTE=0,所以v>a.2.已知当x=a时,代数式x4+QUOTE(x>1)取得最小值b,则a+b= ()A.3 B.2 C.3 D.8【解析】选C.令y=x4+QUOTE=x+1+QUOTE5,由x>1,得x+1>0,QUOTE>0,所以由基本不等式得y=x+1+QUOTE5≥2QUOTE5=1,当且仅当x+1=QUOTE,即(x+1)2=9,即x+1=3,即x=2时取等号,所以a=2,b=1,a+b=3.3.已知不等式(x+y)QUOTE≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为 ()A.2 B.4 C.9 D.16【解析】选B.(x+y)QUOTE=1+a+QUOTE+QUOTE≥1+a+2QUOTE=(1+QUOTE)2.当且仅当QUOTE=QUOTE时取等号.所以(1+QUOTE)2≥9,所以a≥4.4.如图所示,4个长为a,宽为b的长方形,拼成一个正方形ABCD,中间围成一个小正方形A1B1C1D1,则以下说法中错误的是 ()A.(a+b)2≥4abB.当a=b时,A1,B1,C1,D1四点重合C.(ab)2≤4abD.(a+b)2>(ab)2【解析】选C.由题图可知正方形ABCD的面积不小于4个长方形的面积之和,即有(a+b)2≥4ab;正方形A1B1C1D1的面积为(ab)2,结合图形可知(a+b)2>(ab)2,且当a=b时A1,B1,C1,D1四点重合,但是正方形A1B1C1D1的面积与4个长方形的面积之和大小关系不定.因此C选项错误.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.设a,b∈R,且a≠b,a+b=2,则必有 ()A.ab>1 B.ab<1C.QUOTE<1 D.QUOTE>1【解析】选BD.因为ab≤QUOTE,a≠b,所以ab<1,又1=QUOTE=QUOTE<QUOTE,所以QUOTE>1,所以ab<1<QUOTE.6.下列推导过程,正确的为 ()A.因为a,b为正实数,所以QUOTE+QUOTE≥2QUOTE=2B.因为x∈R,所以QUOTE>1C.a<0,所以QUOTE+a≥2QUOTE=4D.因为x,y∈R,xy<0,所以QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE≤2QUOTE=2【解析】选AD.因为a,b为正实数,所以QUOTE,QUOTE为正实数,符合基本不等式的条件,故A正确;当x=0时,有QUOTE=1,故B不正确;当a<0时,QUOTE+a≥2QUOTE=4是错误的,C不正确;由xy<0,得QUOTE,QUOTE均为负数,但在推导过程中将整体QUOTE+QUOTE提出负号后,QUOTE,QUOTE均变为正数,符合基本不等式的条件,且计算正确,D正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.已知t>0,则函数y=QUOTE的最小值为________.

【解析】因为t>0,所以y=QUOTE=t+QUOTE4≥24=2,且在t=1时取等号.答案:28.规定记号“☉”表示一种运算,即a☉b=QUOTE+a+b(a,b为正实数).若1☉k=3,则k的值为________,此时QUOTE的最小值为________.

【解析】1☉k=QUOTE+1+k=3,即k+QUOTE2=0,所以QUOTE=1或QUOTE=2(舍),所以k=1.QUOTE=QUOTE=1+QUOTE+QUOTE≥1+2=3,当且仅当QUOTE=QUOTE,即x=1时等号成立.答案:13四、解答题(每小题10分,共20分)9.求t=x+QUOTE的取值范围.【解析】当x>0时,x+QUOTE≥2QUOTE=2,当且仅当x=QUOTE,即x=1时,“=”成立,所以x+QUOTE≥2.当x<0时,x+QUOTE=QUOTE≤2QUOTE=2,当且仅当x=QUOTE,即x=1时,“=”成立.所以x+QUOTE≤2.故t=x+QUOTE的取值范围为{t|t≤2或t≥2}.10.已知a>b>c,求证:QUOTE(ac)≥4.【证明】因为ac=(ab)+(bc),所以QUOTE[(ab)+(bc)]=2+QUOTE+QUOTE,又a>b>c,所以QUOTE+QUOTE≥2,故QUOTE(ac)≥4,当且仅当QUOTE=QUOTE时,取“=”.1.已知a>0,b>0,则QUOTE+QUOTE+2QUOTE的最小值是 ()A.2 B.2QUOTE C.4 D.5【解析】选C.QUOTE+QUOTE+2QUOTE≥2QUOTE+2QUOTE≥4QUOTE=4.当QUOTE即a=b=1时,等号成立,因此QUOTE+QUOTE+2QUOTE的最小值为4.2.已知x1·x2·…·x2020=1,且x1,x2,…,x2020都是