6.1.1向量的概念（原卷版）

6.1.1向量的概念TOC\o"13"\h\z\u题型1平面向量的几何表示 3题型2平面向量概念的辨析 4题型3相等向量与共线向量 6知识点一.向量的概念1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量.2．数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．注意:（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．知识点二.向量的表示法1．有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．2．向量的表示方法：（1）字母表示法：如等.（2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量.注意:（1）用字母表示向量便于向量运算；（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．知识点三.向量的有关概念1．向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).注意:（1）向量的模．（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小．2．零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的．3．单位向量：长度等于1个单位的向量.注意:（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．4．相等向量：长度相等且方向相同的向量.注意:在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．知识点四.向量的共线或平行方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定：与任一向量共线.注意:1.零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别.2.平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.3．共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．题型1平面向量的几何表示【方法总结】（1）向量不仅有大小，而且有方向．大小是代数特征，方向是几何特征．看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素，二者缺一不可.（2）要准确画出向量，应先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的大小确定向量的终点.【例题1】（2023·全国·高一假期作业）已知向量a如图所示，下列说法不正确的是（

）A．也可以用MN表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M【变式11】1.（2023·高一课时练习）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了2003(1)作出AB、BC、CD（图中1个单位长度表示100m）；(2)求DA的模．【变式11】2.（2022·高一课时练习）在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量．(1)OA=3，点A在点O北偏西45°(2)OB=2【变式11】3.（2023·高一课时练习）在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1．(1)试以B为终点画一个有向线段，设该有向线段表示的向量为AB，使AB=(2)在图中画一个以A为起点的有向线段，设该有向线段表示的向量为AM，且|AM|=5【变式11】4．（2019·高一课时练习）中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字.如图，在中国象棋的半个棋盘（4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形）中，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量AA题型2平面向量概念的辨析【方法总结】解决与向量概念有关问题的方法解决与向量概念有关问题的关键是突出向量的核心——方向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任一向量共线.只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题.【例题2】（2023下·海南·高一校考期中）下列各物理量表示向量的是（

）A．质量 B．距度 C．力 D．体重【变式21】1．（2022·全国·高一专题练习）给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是(

)A．①②③是数量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是数量，①③⑤是向量C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量【变式21】2．（2022下·新疆塔城·高一乌苏市第一中学校考阶段练习）给出下列四个命题，其中正确的命题有（

）A．时间、距离都是向量B．两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同C．所有的单位向量都相等D．共线向量一定在同一直线上【变式21】3．(多选)（2023下·贵州遵义·高一校考阶段练习）下列说法错误的是（

）A．有向线段AB与BA表示同一向量B．两个有公共终点的向量是平行向量C．零向量与单位向量是平行向量D．单位向量都相等【变式21】4．（2023·全国·高一随堂练习）在平面直角坐标系xOy中有三点A1,0，B-1,2，题型3相等向量与共线向量【方法总结】a=b，就意味着|a|=|b|，且a与b的方向相同.（2）任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，与有向线段的始点无关.（3）由向量相等的定义知，对于一个非零向量，只要不改变它的大小和方向，是可以平行移动的.（4）因为零向量的方向不确定，因此通常规定零向量与任意向量平行.（5）向量平行不同于平面几何中两直线的平行，两个平行向量的基线可以平行，也可以重合.（6）共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量．【例题3】（2023·高一课时练习）设O是正方形ABCD的中心，则（

）A．向量AO，BO，OC，OD是相等的向量B．向量AO，BO，OC，OD是平行的向量C．向量AO，BO，OC，OD是模不全相等的向量D．AO=OC【变式31】1（2023下·高一课时练习）如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，对角线AC，BD交于点O，过点O作MN//AB，交AD于点M，交BC于点N，则在以A，B，C，D，M，O，N为起点或终点的所有有向线段表示的向量中，相等向量有对.【变式31】2．（2022·全国·高一专题练习）设O是正方形ABCD的中心，则①AO＝OC；②AO//AC；③AB与CD共线；④OC⊥【变式31】3．（2023·全国·高一课堂例题）已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图所标出的向量中：(1)试找出