2023-2024学年高中数学人教A版2019课后习题6-3-5平面向量数量积的坐标表示

第六章平面向量及其应用6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.5平面向量数量积的坐标表示课后篇巩固提升必备知识基础练1.(多选题)设向量a=(1,0),b=12,12,A.|a|=|b| B.a·b=2C.a∥b D.ab与b垂直答案ABC解析A项,|a|=1,|b|=22,故|a|≠|b|B项,a·b=1×12+0×1C项,1×12≠0×1D项,ab=12,-12,(ab)·b=12×12-2.在平行四边形ABCD中,AB=(1,0),AC=(2,2),则AD·BD等于(A.4 B.4 C.2 D.2答案A解析如图,由向量的加减,可得AD=BC=AC-AB=(1,2),故AD·BD=(1,2)·(0,2)=0+4=3.在矩形ABCD中,AB=23,AD=2,点E为线段BC的中点,点F为线段CD上的动点,则AE·AF的取值范围是(A.[2,14] B.[0,12]C.[0,6] D.[2,8]答案A解析如图,A(0,0),E(23,1),设F(x,2)(0≤x≤23),所以AE=(23,1),AF=(x,2),因此AE·AF=23设f(x)=23x+2(0≤x≤23),f(x)为增函数,则f(0)=2,f(23)=14,故2≤f(x)≤14,AE·AF的取值范围是4.(2021河南模拟)若非零向量a,b满足|a|=3|b|,(2a+3b)⊥b,则a与b的夹角为()A.π6 B.π3 C.2π答案C解析根据题意,设a与b的夹角为θ,|b|=t(t>0),则|a|=3|b|=3t.若(2a+3b)⊥b,则(2a+3b)·b=2a·b+3b2=6t2cosθ+3t2=0,即cosθ=12.又由0≤θ≤π,则θ=2π3.5.设向量a=(x+1,x),b=(1,2),且a⊥b,则|a|=.

答案5解析因为a⊥b,所以a·b=0,则x+1+(x)×2=0,解得x=1,则|a|=226.已知a=(1,3),b=(1,y).若a与b的夹角为45°,则y=.

答案2解析a·b=1+3y,|a|=10,|b|=1+y∵a与b的夹角为45°,∴cos45°=a·解得y=2或y=12(舍去)7.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,x)(x∈R).(1)若a∥b,求|ab|;(2)若a与b的夹角为锐角,求x的取值范围.解(1)因为a∥b,所以xx(2x+3)=0,解得x=0或x=2.当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),所以ab=(2,0),则|ab|=2.当x=2时,a=(1,2),b=(1,2),所以ab=(2,4),则|ab|=25.综上,|ab|=2或25.(2)因为a与b的夹角为锐角,所以a·b>0,即2x+3x2>0,解得1<x<3.又当x=0时a∥b,故x的取值范围是(1,0)∪(0,3).8.已知三个点A(2,1),B(3,2),D(1,4).(1)求证:AB⊥AD;(2)若四边形ABCD为矩形,求点C的坐标及矩形ABCD两对角线所夹的锐角的余弦值.证明∵A(2,1),B(3,2),D(1,4),∴AB=(1,1),AD=(3,3).又AB·AD=1×(3)+1×3∴AB⊥AD,∴AB⊥(2)解∵AB⊥AD,四边形ABCD为矩形,∴设点C的坐标为(x,y),则DC=(x+1,y4).又AB=(1,1),∴x+1=1,∴点C的坐标为(0,5).∴AC=(2,4),BD=(4,2),∴|AC|=25,|BD|=25,AC·BD=8+8=16.设AC与BD的夹角为θ,则cosθ=AC·关键能力提升练9.已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=1,梯形所在平面内一点P满足BA+BC=2BP,则PC·PDA.2 B.1 C.2 D.22答案B解析建立如图所示的平面直角坐标系,因为AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=1,所以B(0,0),A(0,2),C(2,0),D(1,2),所以BA=(0,2),BC=(2,0),因为BA+BC=2BP,所以2BP=(0,2)+(2,0)=(2,2),故BP=(1,1),故P(1,1),PD=(0,1),PC=所以PC·PD=0×1+1×(1)=10.已知a,b,c均为单位向量,且|a+b|=1,则(ab)·c的取值范围是()A.[0,1] B.[1,1]C.[3,3] D.[0,答案C解析由a,b为单位向量和|a+b|=1的几何意义,可知|ab|=3,设ab与c的夹角为θ,则(ab)·c=|ab||c|·cosθ=3cosθ,∵cosθ∈[1,1],∴(ab)·c的取值范围为[3,311.已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|PA+3PB|的最小值为()A.3 B.5 C.7 D.8答案B解析如图,以D为原点,DA,DC分别为x,y轴建立平面直角坐标系,设DC=a,则A(2,0),B(1,a),C(0,a),D(0,0),设P(0,x)(0≤x≤a),则PA+3PB=(2,x)+3(1,ax)=(5,3a4x),所以|PA+3PB|=25+(3a-4x)2≥5,当且仅当x=34a时,等号成立.故12.(多选题)(2021江苏南京期中)如图,4×6的方格纸中有一个向量OA(以图中的格点O为起点,格点A为终点),则下列说法正确的有()A.分别以图中的格点为起点和终点的向量中,与OA是相反向量的共有11个B.满足|OA-OB|=10的格点B共有C.满足OA·OB=1的格点B共有D.存在格点B,C,使得OA答案BCD解析对于A,分别以图中的格点为起点和终点的向量中,与OA是相反向量的共有18个,故A错误;以O为原点建立平面直角坐标系,则A(1,2),设B(m,n)(3≤m≤3,2≤n≤2,且m∈Z,n∈Z).对于B,若|OA-OB|=则(1m)2+(2n)2=10(3≤m≤3,2≤n≤2,且m∈Z,n∈Z),得B的坐标可以为(0,1),(2,1),(2,1),共三个,故B正确;对于C,若OA·OB=1,则m+2n=1(3≤m≤3,2≤n≤2,且m∈Z,n∈得B的坐标可以为(1,0),(3,1),(1,1),(3,2),共4个,故C正确;对于D,根据向量加法的平行四边形法则可知,当B,C的坐标满足B(1,0),C(0,2)或B(0,2),C(1,0)时,OA=OB+OC成立,故选BCD.13.已知向量a=(3,1),b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=3,则b=.

答案1解析设b=(x,y).∵|b|=x2+y2=1,∴x2+y∵a·b=3x+y=3,∴x2+[3(1x)]2=1.∴4x26x+2=0.∴2x23x+1=0.∴x1=1,x2=12,∴y1=0,y2=3∵当b=(1,0)时,b是与x轴平行的向量,舍去,∴b=1214.如图,在△ABC中,AB·AC=0,|AB|=8,|AC|=6,l为线段BC的垂直平分线,l与BC交于点D,E为l上异于D(1)求AD·CB(2)判断AE·CB的值是否为一个常数,解(1)以点D为坐标原点,BC所在直线为x轴,直线l为y轴建立平面直角坐标系(图略),由题意易知|BC|=10,则D(0,0),B(5,0),C(5,0),A75此时AD=-7所以AD·CB=75×(10)+-245(2)是一个常数.理由如下:设点E的坐标为(0,y)(y≠0),此时AE=所以AE·CB=75×(10)+y-245×0=14,15.已知向量a=(1,2),b=(cosα,sinα),设m=a+tb(t∈R).(1)若α=π4,求当|m|取最小值时实数t的值(2)若a⊥b,问:是否存在实数t,使得向量ab与向量m的夹角为π4?若存在,求出实数t;若不存在,请说明理由解(1)当α=π4时,b=22,22,a∴|m|=(=t2∴当t=322时,|m|(2)存在.假设存在满足条件的实数t.由条件得cosπ4∵a⊥b,∴|ab|=(a|a+tb|=(a(ab)·(a+tb)=5t,∴5-∴t2+5t5=0,且t<5,得t=-5±3∴存在t=-5±35学科素养创新练16.已知向量a,b满足|a|=5,b=(1,3),且(2a+b)⊥b.(1)求向量a的坐标;(2)求向量a与b的夹角.解(1)设a=(x,y),因为|a|=5,则x2+y又因为b=(1,3),且(2a+b)⊥b,2a+b=2(x,y)+(1,3)=(2x+1,2y3),所以(2x+1,2y3)·(1,3)=2x+1+(2y3)×(3)=0,即x3y+5=0,②由①②解得x所以a=(1,2)或a=(2,1).(2)设向量a与b的夹角为θ,所以cosθ=a·b或cosθ=a·b|因为0≤θ≤π,所以向量a与b的夹角θ=3π17.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=22,-22,n=(s