数列高考题汇编

2009年高考数学试题分类汇编——数列一、选择题1.〔2009广东卷理〕等比数列满足，且，那么当时，A.B.C.D.【解析】由得，，那么，，选C.2.(2009年广东卷文)等比数列的公比为正数，且·=2，=1，那么=A.B.C.D.2【答案】B【解析】设公比为,由得,即,又因为等比数列的公比为正数，所以,故,选B3.〔2009福建卷理〕等差数列的前n项和为，且=6，=4，那么公差d等于A．1BC.-2D3【答案】：C[解析]∵且.应选C4.〔2009安徽卷文〕为等差数列，，那么等于〔〕 A.-1 B.1 C.3 D.7【解析】∵即∴同理可得∴公差∴.选B。【答案】B5.〔2009江西卷文〕公差不为零的等差数列的前项和为.假设是的等比中项,,那么等于A.18B.24C.60D.90答案：C【解析】由得得,再由得那么,所以,.应选C6.〔2009湖南卷文〕设是等差数列的前n项和，，，那么等于【C】A．13B．35C．49D．63解:应选C.或由,所以应选C.7.〔2009辽宁卷文〕为等差数列，且－2＝－1,＝0,那么公差d＝〔A〕－2〔B〕－〔C〕〔D〕2【解析】a7－2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝2d＝－1d＝－【答案】B8.〔2009辽宁卷理〕设等比数列{}的前n项和为，假设=3，那么=〔A〕2〔B〕〔C〕〔D〕3【解析】设公比为q,那么＝1＋q3＝3q3＝2于是【答案】B9.〔2009宁夏海南卷理〕等比数列的前n项和为，且4，2，成等差数列。假设=1，那么=〔A〕7〔B〕8〔3〕15〔4〕16解析：4，2，成等差数列，,选C.10.〔2009湖北卷文〕古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。以下数中及时三角形数又是正方形数的是A.289B.1024C.1225D.1378【答案】C【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项，同理可得正方形数构成的数列通项，那么由可排除A、D，又由知必为奇数，应选C.11.〔2009湖北卷文〕设记不超过的最大整数为[],令{}=-[]，那么{}，[],A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列【答案】B【解析】可分别求得，.那么等比数列性质易得三者构成等比数列.12.〔2009四川卷文〕等差数列｛｝的公差不为零，首项＝1，是和的等比中项，那么数列的前10项之和是A.90B.100C.145D.190【答案】B【解析】设公差为，那么.∵≠0，解得＝2，∴＝10013.〔2009宁夏海南卷文〕等差数列的前n项和为，，,那么〔〕〔A〕38〔B〕20〔C〕10〔D〕9【答案】C【解析】因为是等差数列，所以，，由，得：2－＝0，所以，＝2，又，即＝38，即〔2m－1〕×2＝38，解得m＝10，应选.C。14.〔2009重庆卷文〕设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，那么的前项和=〔〕A． B． C． D．【答案】A解析设数列的公差为，那么根据题意得，解得或〔舍去〕，所以数列的前项和15.〔2009安徽卷理〕为等差数列，++=105，=99，以表示的前项和，那么使得到达最大值的是〔A〕21〔B〕20〔C〕19〔D〕18[解析]：由++=105得即，由=99得即，∴，，由得，选B16.〔2009江西卷理〕数列的通项，其前项和为，那么为A．B．C．D．答案：A【解析】由于以3为周期,故应选A17.〔2009四川卷文〕等差数列｛｝的公差不为零，首项＝1，是和的等比中项，那么数列的前10项之和是A.90B.100C.145D.190【答案】B【解析】设公差为，那么.∵≠0，解得＝2，∴＝100二、填空题1.〔2009全国卷Ⅰ理〕设等差数列的前项和为，假设,那么=。解:是等差数列,由,得.2.〔2009浙江理〕设等比数列的公比，前项和为，那么．答案：15【解析】对于3.〔2009浙江文〕设等比数列的公比，前项和为，那么．【命题意图】此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式，通过对数列知识点的考查充分表达了通项公式和前项和的知识联系．【解析】对于4.〔2009浙江文〕设等差数列的前项和为，那么，，，成等差数列．类比以上结论有：设等比数列的前项积为，那么，，，成等比数列．答案：【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列中等差数列和等比数列的知识，也考查了通过条件进行类比推理的方法和能力【解析】对于等比数列，通过类比，有等比数列的前项积为，那么，，成等比数列．5.〔2009北京文〕假设数列满足：，那么；前8项的和.〔用数字作答〕【解析】此题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题.属于根底知识、根本运算的考查.，易知，∴应填255.6.〔2009北京理〕数列满足：那么________；=_________.【答案】1，0【解析】此题主要考查周期数列等根底知识.属于创新题型.依题意，得，.∴应填1，0.7.〔2009江苏卷〕设是公比为的等比数列，，令，假设数列有连续四项在集合中，那么=.【解析】考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。有连续四项在集合，四项成等比数列，公比为，=-98.(2009山东卷文)在等差数列中,,那么.【解析】:设等差数列的公差为,那么由得解得,所以.答案:13.【命题立意】:此题考查等差数列的通项公式以及根本计算.9.〔2009全国卷Ⅱ文〕设等比数列{}的前n项和为。假设，那么=×答案：3解析：此题考查等比数列的性质及求和运算，由得q3=3故a4=a1q3=3。10.(2009湖北卷理)数列满足：〔m为正整数〕，假设，那么m所有可能的取值为__________。11.【答案】4532【解析】〔1〕假设为偶数，那么为偶,故①当仍为偶数时，故②当为奇数时，故得m=4。〔2〕假设为奇数，那么为偶数，故必为偶数，所以=1可得m=512.〔2009全国卷Ⅱ理〕设等差数列的前项和为，假设那么9.解：为等差数列，13.〔2009辽宁卷理〕等差数列的前项和为，且那么【解析】∵Sn＝na1＋n(n－1)d∴S5＝5a1＋10d,S3＝3a1＋3d∴6S5－5S3＝30a1＋60d－(15a1＋15d)＝15a1＋45d＝15(a1＋3d)＝15a4【答案】14.〔2009宁夏海南卷理〕等差数列{}前n项和为。+-=0，=38,那么m=_______解析：由+-=0得到。答案1015.〔2009陕西卷文〕设等差数列的前n项和为,假设,那么.答案:2n解析:由可得的公差d=2,首项=2,故易得2n.16.(2009陕西卷理)设等差数列的前n项和为,假设,那么.答案：117.〔2009宁夏海南卷文〕等比数列{}的公比,=1，，那么{}的前4项和=【答案】【解析】由得：，即，，解得：q＝2，又=1，所以，，＝。18.(2009湖南卷理)将正⊿ABC分割成〔≥2，n∈N〕个全等的小正三角形〔图2，图3分别给出了n=2,3的情形〕，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三普及平行于某边的任一直线上的数〔当数的个数不少于3时〕都分别一次成等差数列，假设顶点A,B,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，那么有f(2)=2，f(3)=，…，f(n)=(n+1)(n+2)【答案】：【解析】当n=3时，如下图分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知即进一步可求得。由上知中有三个数，中有6个数，中共有10个数相加，中有15个数相加….，假设中有个数相加，可得中有个数相加，且由可得所以=19.〔2009重庆卷理〕设，，，，那么数列的通项公式=．【答案】:【解析】由条件得且所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，那么三、解答题1.(2009年广东卷文)〔本小题总分值14分〕点〔1，〕是函数且〕的图象上一点，等比数列的前项和为,数列的首项为，且前项和满足－=+〔〕.〔1〕求数列和的通项公式；〔2〕假设数列{前项和为，问>的最小正整数是多少?【解析】〔1〕,,,.又数列成等比数列，，所以；又公比，所以；又,,；数列构成一个首相为1公差为1的等差数列，，当，；()；〔2〕；由得，满足的最小正整数为112.2.〔2009全国卷Ⅰ理〕〔本小题总分值12分〕〔注意：在试题卷上作答无效〕在数列中，〔I〕设，求数列的通项公式〔II〕求数列的前项和分析：〔I〕由有利用累差迭加即可求出数列的通项公式:()〔II〕由〔I〕知,=而,又是一个典型的错位相减法模型，易得=评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和根底知识、根本方法根本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。3.〔2009浙江文〕〔此题总分值14分〕设为数列的前项和，，，其中是常数．〔I〕求及；〔II〕假设对于任意的，，，成等比数列，求的值．解析：〔Ⅰ〕当，〔〕经验，〔〕式成立，〔Ⅱ〕成等比数列，，即，整理得：，对任意的成立，4.〔2009北京文〕〔本小题共13分〕设数列的通项公式为.数列定义如下：对于正整数m，是使得不等式成立的所有n中的最小值.〔Ⅰ〕假设，求；〔Ⅱ〕假设，求数列的前2m项和公式；〔Ⅲ〕是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.【解析】此题主要考查数列的概念、数列的根本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法．此题是数列与不等式综合的较难层次题.〔Ⅰ〕由题意，得，解，得.∴成立的所有n中的最小整数为7，即.〔Ⅱ〕由题意，得，对于正整数，由，得.根据的定义可知当时，；当时，.∴.〔Ⅲ〕假设存在p和q满足条件，由不等式及得.∵,根据的定义可知，对于任意的正整数m都有，即对任意的正整数m都成立.当〔或〕时，得〔或〕，这与上述结论矛盾！当，即时，得，解得.∴存在p和q，使得；p和q的取值范围分别是，.5.〔2009北京理〕〔本小题共13分〕数集具有性质；对任意的，与两数中至少有一个属于.〔Ⅰ〕分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；〔Ⅱ〕证明：，且；〔Ⅲ〕证明：当时，成等比数列.【解析】此题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法．此题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.〔Ⅰ〕由于与均不属于数集，∴该数集不具有性质P.由于都属于数集，∴该数集具有性质P.〔Ⅱ〕∵具有性质P，∴与中至少有一个属于A，由于，∴，故.从而，∴.∵，∴，故.由A具有性质P可知.又∵，∴，从而，∴.〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕知，当时，有，即，∵，∴，∴，由A具有性质P可知.，得，且，∴，∴，即是首项为1，公比为成等比数列.6.〔2009江苏卷〕〔本小题总分值14分〕设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足。〔1〕求数列的通项公式及前项和；〔2〕试求所有的正整数，使得为数列中的项。【解析】本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。总分值14分。〔1〕设公差为，那么，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，,(2)〔方法一〕=,设，那么=,所以为8的约数〔方法二〕因为为数列中的项，故为整数，又由〔1〕知：为奇数，所以经检验，符合题意的正整数只有。7.〔2009江苏卷〕〔此题总分值10分〕对于正整数≥2，用表示关于的一元二次方程有实数根的有序数组的组数，其中〔和可以相等〕；对于随机选取的〔和可以相等〕，记为关于的一元二次方程有实数根的概率。〔1〕求和；〔2〕求证：对任意正整数≥2，有.【解析】[必做题]本小题主要考查概率的根本知识和记数原理，考查探究能力。总分值10分。8.(2009山东卷理)〔本小题总分值12分〕等比数列{}的前n项和为，对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上.〔1〕求r的值；〔11〕当b=2时，记证明：对任意的，不等式成立解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,,当时,,又因为{}为等比数列,所以,公比为,〔2〕当b=2时，,那么,所以下面用数学归纳法证明不等式成立.当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立.假设当时不等式成立,即成立.那么当时,左边=所以当时,不等式也成立.由①、②可得不等式恒成立.【命题立意】:此题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及求的基此题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式.9.(2009山东卷文)〔本小题总分值12分〕等比数列{}的前n项和为，对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上.〔1〕求r的值；〔11〕当b=2时，记求数列的前项和解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上.所以得,当时,,当时,,又因为{}为等比数列,所以,公比为,所以〔2〕当b=2时，,那么相减,得所以【命题立意】:此题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及求的基此题型,并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前项和.10.〔2009全国卷Ⅱ文〕〔本小题总分值10分〕等差数列{}中，求{}前n项和.解析：此题考查等差数列的根本性质及求和公式运用能力，利用方程的思想可求解。解：设的公差为，那么即解得因此11.〔2009广东卷理〕〔本小题总分值14分〕曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．〔1〕求数列的通项公式；〔2〕证明：.解：〔1〕设直线：，联立得，那么，∴〔舍去〕，即，∴〔2〕证明：∵∴由于，可令函数，那么，令，得，给定区间，那么有，那么函数在上单调递减，∴，即在恒成立，又，那么有，即.12.〔2009安徽卷理〕〔本小题总分值13分〕首项为正数的数列满足〔I〕证明：假设为奇数，那么对一切都是奇数；〔II〕假设对一切都有，求的取值范围.解：本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题总分值13分。解：〔I〕是奇数，假设是奇数，其中为正整数，那么由递推关系得是奇数。根据数学归纳法，对任何，都是奇数。〔II〕〔方法一〕由知，当且仅当或。另一方面，假设那么；假设，那么根据数学归纳法，综合所述，对一切都有的充要条件是或。〔方法二〕由得于是或。因为所以所有的均大于0，因此与同号。根据数学归纳法，，与同号。因此，对一切都有的充要条件是或。13.〔2009安徽卷文〕〔本小题总分值12分〕数列{}的前n项和，数列{}的前n项和〔Ⅰ〕求数列{}与{}的通项公式；〔Ⅱ〕设，证明：当且仅当n≥3时，＜【思路】由可求出，这是数列中求通项的常用方法之一，在求出后，进而得到，接下来用作差法来比拟大小，这也是一常用方法。【解析】(1)由于当时,又当时数列项与等比数列,其首项为1,公比为(2)由(1)知由即即又时成立,即由于恒成立.因此,当且仅当时,14.〔2009江西卷文〕〔本小题总分值12分〕数列的通项，其前n项和为.(1)求;(2)求数列｛｝的前n项和.解:(1)由于,故,故()(2)两式相减得故15.〔2009江西卷理〕〔本小题总分值14分〕各项均为正数的数列，，且对满足的正整数都有〔1〕当时，求通项〔2〕证明：对任意，存在与有关的常数，使得对于每个正整数，都有解：〔1〕由得将代入化简得所以故数列为等比数列，从而即可验证，满足题设条件.(2)由题设的值仅与有关,记为那么考察函数,那么在定义域上有故对，恒成立.又,注意到,解上式得取,即有.16.〔2009天津卷文〕〔本小题总分值12分〕等差数列的公差d不为0，设〔Ⅰ〕假设,求数列的通项公式；〔Ⅱ〕假设成等比数列，求q的值。〔Ⅲ〕假设【答案】〔1〕〔2〕〔3〕略【解析】〔1〕解：由题设，代入解得，所以〔2〕解：当成等比数列，所以，即，注意到，整理得〔3〕证明：由题设，可得，那么①②①-②得，①+②得，③③式两边同乘以q，得所以〔3〕证明：=因为，所以假设，取i=n，假设，取i满足，且，由〔1〕〔2〕及题设知，，且当时，，由，即，所以因此当时，同理可得因此综上，【考点定位】本小题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列通项公式与前n项和等根本知识，考查运算能力和推理论证能力和综合分析解决问题的能力。17.(2009湖北卷理)〔本小题总分值13分〕〔注意：在试题卷上作答无效〕数列的前n项和〔n为正整数〕。〔Ⅰ〕令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；〔Ⅱ〕令，试比拟与的大小，并予以证明。19.解析：〔I〕在中，令n=1，可得，即当时，，..又数列是首项和公差均为1的等差数列.于是.(II)由〔I〕得，所以由①-②得于是确定的大小关系等价于比拟的大小由可猜测当证明如下：证法1：〔1〕当n=3时，由上验算显示成立。〔2〕假设时所以当时猜测也成立综合〔1〕〔2〕可知，对一切的正整数，都有证法2：当时综上所述，当，当时18.〔2009四川卷文〕〔本小题总分值14分〕设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。〔I〕求数列与数列的通项公式；〔II〕设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？假设存在，找出一个正整数；假设不存在，请说明理由；〔III〕记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；【解析】〔I〕当时，又∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴，…………………3分〔II〕不存在正整数，使得成立。证明：由〔I〕知∴当n为偶数时，设∴当n为奇数时，设∴∴对于一切的正整数n，都有∴不存在正整数，使得成立。…………………8分〔III〕由得又，当时，，当时，…………………14分19.〔2009全国卷Ⅱ理〕〔本小题总分值12分〕设数列的前项和为〔I〕设，证明数列是等比数列〔II〕求数列的通项公式。解：〔I〕由及，有由，．．．①那么当时，有．．．．．②②－①得又，是首项，公比为２的等比数列．〔II〕由〔I〕可得，数列是首项为，公差为的等比数列．，评析：第〔I〕问思路明确，只需利用条件寻找．第〔II〕问中由〔I〕易得，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：，主要的处理手段是两边除以．总体来说，09年高考理科数学全国I、Ⅱ这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新数列〔全国I还考查了利用错位相减法求前n项和的方法〕，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和根底知识、根本方法根本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。20.〔2009湖南卷文〕〔本小题总分值13分〕对于数列,假设存在常数M＞0,对任意的，恒有,那么称数列为数列.〔Ⅰ〕首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由;〔Ⅱ〕设是数列的前n项和.给出以下两组判断：A组：①数列是B-数列,②数列不是B-数列;B组：③数列是B-数列,④数列不是B-数列.请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题.判断所给命题的真假，并证明你的结论；(Ⅲ)假设数列是B-数列，证明：数列也是B-数列。解:〔Ⅰ〕设满足题设的等比数列为,那么.于是==所以首项为1，公比为的等比数列是B-数列〔Ⅱ〕命题1：假设数列是B-数列，那么数列是B-数列.此命题为假命题.事实上设=1，，易知数列是B-数列，但=n，.由n的任意性知，数列不是B-数列。命题2：假设数列是B-数列，那么数列不是B-数列。此命题为真命题。事实上，因为数列是B-数列，所以存在正数M，对任意的，有,即.于是,所以数列是B-数列。〔注：按题中要求组成其它命题解答时，仿上述解法〕(Ⅲ)假设数列是B-数列，那么存在正数M，对任意的有.因为.记，那么有.因此.故数列是B-数列.21.〔2009辽宁卷文〕〔本小题总分值10分〕等比数列{}的前n项和为，,,成等差数列〔1〕求{}的公比q；〔2〕求－＝3，求解：〔Ⅰ〕依题意有由于，故又，从而5分〔Ⅱ〕由可得故从而10分22.〔2009陕西卷文〕〔本小题总分值12分〕数列满足，.令，证明：是等比数列；(Ⅱ)求的通项公式。〔1〕证当时，所以是以1为首项，为公比的等比数列。〔2〕解由〔1〕知当时，当时，。所以。23.(2009陕西卷理)〔本小题总分值12分〕数列满足，.猜测数列的单调性，并证明你的结论；(Ⅱ)证明：。证〔1〕由由猜测：数列是递减数列下面用数学归纳法证明：〔1〕当n=1时，已证命题成立〔2〕假设当n=k时命题成立，即易知，那么=即也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合〔1〕和〔2〕知，命题成立〔2〕当n=1时，，结论成立当时，易知24.〔2009四川卷文〕〔本小题总分值14分〕设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。〔I〕求数列与数列的通项公式；〔II〕设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？假设存在，找出一个正整数；假设不存在，请说明理由；〔III〕记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；【解析】〔I〕当时，又∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴，…………………3分〔II〕不存在正整数，使得成立。证明：由〔I〕知∴当n为偶数时，设∴当n为奇数时，设∴∴对于一切的正整数n，都有∴不存在正整数，使得成立。…………………8分〔III〕由得又，当时，，当时，…………………14分25.〔2009湖北卷文〕〔本小题总分值12分〕{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55,a2+a7＝16.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式：〔Ⅱ〕假设数列{an}和数列{bn}满足等式：an＝＝，求数列{bn}的前n项和Sn解〔1〕解：设等差数列的公差为d，那么依题设d>0由a2+a7＝16.得①由得②由①得将其代入②得。即〔2〕令两式相减得于是=-4=26.(2009湖南卷理)〔本小题总分值13分〕对于数列假设存在常数M＞0,对任意的，恒有那么称数列为B-数列首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由;请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题判断所给命题的真假，并证明你的结论；设是数列的前项和，给出以下两组论断；A组：①数列是B-数列②数列不是B-数列B组：③数列是B-数列④数列不是B-数列请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。判断所给命题的真假，并证明你的结论；〔3〕假设数列都是数列，证明：数列也是数列。解〔1〕设满足题设的等比数列为,那么，于是因此｜-｜+｜-｜+…+｜-｜=因为所以即故首项为1，公比为的等比数列是B-数列。〔2〕命题1：假设数列是B-数列，那么数列是B-数列次命题为假命题。事实上，设，易知数列是B-数列，但由的任意性知，数列是B-数列此命题为。命题2：假设数列是B-数列，那么数列是B-数列此命题为真命题事实上，因为数列是B-数列，所以存在正数M，对任意的有即。于是所以数列是B-数列。〔III〕假设数列{}是数列，那么存在正数，对任意的有注意到同理：记，那么有因此