专题17学科交汇讲义-2024年高三数学二轮专题复习

考向一数学与地理专题17学科交汇考向一数学与地理例1.(2023·湖北省黄冈市·联考题)圭表(如图甲)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺(称为“圭”)，当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图乙是一个根据某地的地理位置设计的主表的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角(即∠ABC)大约为15°，夏至正午时太阳高度角(即∠ADC)大约为60°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长)为a，则表高(即AC的长)为(注：sin15∘=6-A.2-3a B.3+34a【拓展提升】练11(2023·北京市市辖区·期中考试)地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M，已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E1和E2，则E1EA.(1,2) B.(5,6) C.(7,8) D.(15,16)练12(2023·贵州省·月考试卷)“一三五七八十腊，三十一天永不差；四六九冬三十整，唯有二月会变化．”月是历法中的一种时间单位，传统上都是以月相变化的周期作为一个月的长度．在旧石器时代的早期，人类就已经会依据月相来计算日子．而星期的概念起源于巴比伦，罗马皇帝君士坦丁大帝在公元321年宣布7天为一周，这个制度一直沿用至今，若某年某月星期一比星期三多一天，星期二和星期天一样多，则该月3日可能是星期(

)A.一或三 B.二或三 C.二或五 D.四或六练13(2023·陕西省西安市·月考试卷)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD=80，∠ADB=135°，∠BDC=∠DCA=15°，∠ACB=120°，求A，B两点间的距离．练14(2023·广东省·期中考试)在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化．如图，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射点的纬度(太阳直射北半球时取正值，太阳直射南半球时取负值)，φ为当地的纬度值．(1)若φ=45∘，δ=20∘，求θ的值，并直接写出用φ，(2)某科技小组以某年春分(太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间)为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值．下面是该科技小组的三处观测站成员在春分后第45天测得的当地太阳高度角数据：观测站ABC观测站所在纬度φ/度40.000023.43930.0000观测站正午太阳高度角θ/度66.387082.946473.6141太阳直射点的纬度δ/度16.385716.3859太阳直射点的纬度平均值y/度

请根据数据补充完成上面的表格(计算结果精确到0.0001)；(3)设第x天时太阳直射点的纬度平均值为y.该科技小组通过对数据的整理和分析，推断y与x近似满足函数y=23.392911sin 0.01720279x，经计算T=2πω≈365.2422，已知2023年春分是3月21(4)定义从某年春分到次年春分所经历的时间为一个回归年，估计每400年中，应设定多少个闰年，可使这400年与400个回归年所含的天数最为接近(精确到1)．考向二考向二数学与化学【典例精讲】例2.(2023·安徽省·单元测试)十二水硫酸铝钾是一种无机物，又称明矾，是一种含有结晶水的硫酸钾和硫酸铝的复盐。我们连接一个正方体各个面的中心，可以得到明矾晶体的结构，即为一个正八面体E-ABCD-F(如图)。假设该正八面体的所有棱长均为2，则二面角E-AB-F的余弦为(

)A.-32 B.12 C.练21(2023·福建省·模拟题)萃取是有机化学实验室中用来提纯和纯化化合物的手段之一．研究发现，用总体积相同的有机萃取液对某化合物进行萃取，采用少量多次的方法比全量一次的萃取率高．已知萃取率E与萃取次数n满足1-EV水溶液D⋅V有机萃取液+V水溶液n，D为分配比．现欲用有机萃取液CHCl3对含四氧化锇(OsO4)A.4 B.5 C.6 D.7练22(2023·浙江省·同步练习)下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图.其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A，B，C，D是其中四个圆的圆心，则AB⋅CD=(

)

32 B.28 C.26 D.24练23(2023·四川省·月考试卷)化学平衡是指在一定条件下，可逆反应的正反应速率和逆反应速率相等时，体系所处的状态.根据计算系统的吉布斯自由能变化(△G)的热力学公式Gibbs-Helmholtz方程和Van'tHoff方程，可以得到温度(T)与可逆反应的平衡常数(K)的关系式：△H-T△S=△G=-RTlnK式中△H为焓变(在一定温度变化范围内视为定值)，△S为熵变，R为气体常数.利用上述公式，我们可以处理不同温度下，有关多重可逆反应的平衡常数之间关系的计算.已知当温度为T1时，可逆反应的平衡常数为K1；当温度为T2时，可逆反应的平衡常数为K2.△H(T1-T2)RT1练21(2023·江苏省·模拟题)（多选）金刚石是天然存在的最硬的物质，如图1所示是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示．这就是说，图2中有AE=BE=CE=DE，若正四面体ABCD的棱长为a，则(

)

A.|AE|=26a9 B.探究3：数学与物理例3.(2023·广西壮族自治区·月考试卷)航天之父、俄罗斯科学家齐奥科夫斯基(K⋅E⋅Tsiolkovsky)于1903年给出火箭最大速度的计算公式v=V0ln(1+Mm0).其中，V0是燃料相对于火箭的喷射速度，M是燃料的质量，m0是火箭(除去燃料)的质量，v是火箭将燃料喷射完之后达到的速度．已知V0=2km/sA.e5 B.e5-1 C.【拓展提升】练31(2023·湖南省·期末考试)开普勒第一定律也称椭圆定律､轨道定律，其内容如下：每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上.将某行星H看作一个质点，H绕太阳的运动轨迹近似成曲线x2m+y2n=1(m>n>0)，行星H

在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，距离太阳最远的距离称为远日点距离.若行星H

的近日点距离和远日点距离之和是18(距离单位：亿千米)，近日点距离和远日点距离之积是16A.39 B.52 C.86 D.97练32(2023·陕西省·期末考试)英国化学家、物理学家享利·卡文迪许被称为第一个能测出地球质量的人，卡文迪许是从小孩玩的游戏(用一面镜子将太阳光反射到墙面上，我们只要轻轻晃动一下手中的镜子，墙上的光斑就会出现大幅度的移动，如图1)得到灵感，设计了卡文迪许扭秤实验来测量万有引力，由此计算出地球质量，他在扭秤两端分别固定一个质量相同的铅球，中间用一根韧性很好的钢丝系在支架上，钢丝上有个小镜子，用激光照射镜子，激光反射到一个很远的地方，标记下此时激光所在的点，然后用两个质量一样的铅球同时分别吸引扭秤上的两个铅球(如图2)，由于万有引力作用，扭秤微微偏转，但激光所反射的点却移动了较大的距离，他用此计算出了万有引力公式中的常数G，从而计算出了地球的质量．在该实验中，光源位于刻度尺上点P处，从P出发的光线经过镜面(点M处)反射后，反射光线照射在刻度尺的点Q处，镜面绕M点顺时针旋转α角后，反射光线照射在刻度尺的点Q'处，若△PMQ是正三角形．PQ=a,QQ'=b(如图3)，则下列等式中成立的是

(

)

A.tanα=3b2a+b B.tanα=3练33(2023·重庆市·模拟题)（多选）麦克斯韦妖(Maxwell＇s demon)，是在物理学中假想的妖，能探测并控制单个分子的运动，于1871年由英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的．当时麦克斯韦意识到自然界存在着与熵增加相拮抗的能量控制机制，但他无法清晰地说明这种机制，他只能诙谐地假定一种“妖”，能够按照某种秩序和规则把作随机热运动的微粒分配到一定的相格里．麦克斯韦妖是耗散结构的一个雏形．可以简单地这样描述，一个绝热容器被分成相等的两格，中间是由“妖”控制的一扇小“门”，容器中的空气分子作无规则热运动时会向门上撞击，“门”可以选择性地将速度较快的分子放入一格，而较慢的分子放入另一格，这样，其中的一格就会比另外一格温度高，可以利用此温差，驱动热机做功．这是第二类永动机的一个范例．而直到信息熵的发现后才推翻了麦克斯韦妖理论．设随机变量X所有取值为1，2，…，n，且P(X=i)=Pi>0(i=1,2,…,n)，i=1nPi=1，定义A.n=1时H(X)=0

B.n=2时，若P1∈(0,12)，则H(X)与P1正相关

C.若P1=P2=12n-1，Pk+1=2Pkk≥2,k∈N，34(2023·北京市·模拟题)正弦信号是频率成分最为单一的信号，复杂的信号，例如电信号，都可以分解为许多频率不同、幅度不等的正弦型信号的叠加．正弦信号的波形可以用数学上的正弦型函数来描述：V(t)=Asin(2πft+φ)，其中V(t)表示正弦信号的瞬时大小电压V(单位：V)是关于时间t(单位：s)的函数，而A>0表示正弦信号的幅度，f是正弦信号的频率，相应的T=1f为正弦信号的周期，φ为正弦信号的初相．由于正弦信号是一种最简单的信号，所以在电路系统设计中，科学家和工程师们经常以正弦信号作为信号源(输入信号)去研究整个电路的工作机理．如图是一种典型的加法器电路图，图中的三角形图标是一个运算放大器，电路中有四个电阻，电阻值分别为R1，R2，R3，R4(单位：Ω)V1(t)和V2(t)是两个输入信号，V0(t)表示的是输出信号，根据加法器的工作原理，V0(t)与V1(t)和V2(t)的关系为：Vo(t)=(1+R4R3)⋅R2⋅V1(t)+R1⋅V2(t)R1+R2．

例如当R1=R2=R3=R4=1Ω，输入信号V1(t)=sint，V2(t)=cost时，输出信号：Vo(t)=(1+11)⋅1⋅sint+1⋅cost1+1=sint+cost【答案解析】例1.解：设表高为

h

，则

BC=h⋅1tan15∘

，而

sin15∘=6-24

故

DB=(2+3得

h=3-故选：D．练11解：lgE=4.8+1.5M，

∴lgE1=4.8+1.5×8=16.8，lgE2=4.8+1.5×7.5=16.05，

∴E1=1016.8，E2=1016.05，

∴E1练12解：一个月有28天、29天、30天、31天．

28天刚好分为4周，不存在星期一比星期三多的一天;

29天分为四周多一天，假如那一天为星期一，则刚好符合题干.(星期一比星期三多一天，星期二与星期天一样多，为4天)，该情况3号为星期三．

30天分为四周多两天，无法符合题意．

31天分为四周多三天，假如那三天分别为星期一、星期二、星期天(让本月1日为星期天)，那么31刚好为星期二，星期一与星期二一样多，比星期三多一天，星期二与星期天一样多.该情况3号为星期二。

故3号可能为星期二或三，

故选B．练13解：如图，在△BCD中，CD=80，∠BDC=∠DCA=15°，

则∠BCD=∠DCA+∠ACB=15°+120°=135°，

所以∠CBD=30°，

由正弦定理得BDsin∠BCD=CDsin∠CBD，

则BD=CDsin∠CBD·sin∠BCD=8012×22=802，

在△ACD中，CD=80，∠BDC=∠DCA=15°，∠ADB=135°，

则∠ADC=∠ADB+∠BDC=150°，

所以∠CAD=15°，所以AD=CD=80，

在△ABD中，由余弦定理得AB练14解：(1)

∵φ=45∘

，

δ=20∘

，由图形可知用

φ

，

δ

表示

θ

的关系式为：

θ=9(2)观测站ABC观测站所在纬度

φ

/度40.000023.43930.0000观测站正午太阳高度角

θ

/度66.387082.946473.6141太阳直射点的纬度

δ

/度16.387016.385716.3859太阳直射点的纬度平均值

y

/度16.3862(3)夏至与春分相距

T4≈91.31因为春分是3月21日，3月、5月有31天，4月、6月有30天，10+30+31+21=92天，所以夏至大概是6月21日；(4)

∵400(T-365)≈96.88

，故应在400年中设定97个闰年．例2解：如图，连接AC，BD交于点O，连接EF，易知EG过点O，取AB的中点G，连接EG，FG，根据正八面体的几何特征，

可知EG⊥AB，FG⊥AB，又EG

⊂

平面ABE，FG

⊂

平面ABF，平面ABE

∩

平面ABF=AB，∴∠EGF为二面角E-AB-F的平面角.易知EF⊥平面ABCD，则EF⊥AC，∴△AOE是直角三角形，又AO=

2

，AE=2，∴OE=

2

，∴EF=

2在等边三角形AEB中，EG=

32

AE=

3

，同理

在△EGF中，cos∠EGF=

EG故选C．练21解：依题意，V水溶液=60mL，V有机溶液=10mL，D=14，E=99.7%，

代入公式可得1-0.997=(6014×10+60)n，即0.003=(310)n，

对等式两边同时取对数，得lg0.003=lg(310练22解：如图所示，建立以a,b为一组基底的基向量，其中|a|=|b|=1且a,b的夹角为60°，

∴AB=2a练23解：温度(T)与可逆反应的平衡常数(K)的关系式：△H-T△S=△G=-RTlnK，

由题意可得△H-T1△S=-RT1lnK1△H-T2△S=-RT2练24解：如图，O是顶点A在下底面的射影，AM是斜高，AO是四面体的高，

OB是下底面的外接圆半径，OM是下底面内切圆的半径，则点E在AO上，

则BM=12a，OM=13×32a=36a，OB=33a，AO=a2-(33a)2=63a，

对于A，∵12ABAE=AOAB，∴AE=AB22AO=例3.解：由题意可知，V0=2km/s，v=10km/s，

代入v=V0ln(1+Mm0)，可得10=2ln(1+Mm0)，

所以ln(1+Mm0)=5，解得1+Mm0=e5，

所以M=练31解：根据椭圆方