6.3.5平面向量数量积的坐标表示（6大题型）（原卷版）

6.3.5平面向量数量积的坐标表示1、掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算；2、能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题。一、平面向量数量积的坐标表示若，，则两个向量的数量积：等于它们对应坐标乘积的和。二、两个向量垂直的坐标表示若两个向量垂直，则三、用坐标表示的三个重要公式1、向量的模公式：若a=(x2、两点间的距离公式：若A(x1,y3、向量的交角公式：设两个非零向量a=(x1,y1)，b则cos题型一平面向量数量积的坐标计算【例1】（2023·新疆喀什·高一校考期末）已知，，，分别求下列各式的值：（1）；（2）；（3）．【变式11】（2023·北京平谷·高一统考期末）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（）A．11B．7C．3D．【变式12】（2023·河北沧州·高一校联考阶段练习）如图所示的图形中，每一个小正方形的边长均为1，则（）A．B．C．0D．4【变式13】（2023·江西宜春·高一校联考阶段练习）已知边长为2的菱形中，，点E是BC上一点，满足，则（）A．B．C．D．【变式14】（2023·甘肃武威·高一天祝藏族自治县第一中学校考阶段练习）在中，，且，是的中点，是线段的中点，则的值为（）A．0B．C．D．2题型二利用坐标研究向量垂直问题【例2】（2023·云南迪庆·高一统考期末）（多选）下列向量中，与不垂直的向量是（）A．B．C．D．【变式21】（2023·云南保山·高一统考期中）已知向量，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【变式22】（2023·陕西咸阳·高一校考期中）已知向，，若向量与垂直，则实数（）A．B．C．D．【变式23】（2023·山东青岛·高一校联考期中）已知向量，若，则（）A．B．1C．D．题型三利用坐标研究向量的模长【例3】（2023·安徽滁州·高一统考期末）已知平面向量，，则（）A．1B．2C．D．3【变式31】（2023·四川巴中·高一统考期中）已知向量，，，则实数的值为（）A．B．C．D．【变式32】（2023·湖北荆门·高三月考）已知平面向量，，满足，，且.若，则（）A．B．C．D．【变式33】（2023·河南·高一校考阶段练习）已知，，.（1）求；（2）求的模的最小值.题型四利用坐标研究向量的夹角【例4】（2023·河北邢台·高一邢台市第二中学校考阶段练习）已知点，，向量，，则与的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【变式41】（2023·江苏苏州·高一昆山中学校考期末）向量，且，则．【变式42】（2023·浙江金华·高一东阳中学校联考阶段练习）已知，，则向量在方向上的投影向量的坐标为.【变式43】（2023·福建龙岩·高一校联考期中）如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则的余弦值为．题型五利用坐标求投影向量【例5】（2023·天津和平·高一统考期末）已知向量，则向量在方向上的投影向量的坐标为.【答案】【解析】向量，则，所以向量在方向上的投影向量为【变式51】（2023·广东佛山·高一统考期中）向量在向量上的投影向量是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，，所以，，所以向量在向量上的投影向量为.故选：B【变式52】（2023·内蒙古巴彦淖尔·高一统考期末）已知向量，，且，则在方向上的投影向量的坐标为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为向量，，所以，解得，则，则，所以在方向上的投影向量为，故选：C【变式53】（2023·河北保定·高一统考期中）已知平面向量，，，且．（1）求的坐标；（2）求向量在向量上的投影向量的模．【答案】（1）；（2）【解析】（1）设，因为，所以．又，解得，，所以．（2），所以，则向量在向量上的投影向量的模为.题型六利用坐标求数量积的最值范围【例6】（2023·四川成都·高一成都市第四十九中学校校考期中）已知是边长为1的正的边上的动点，为的中点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】取AC的中点O，以O为原点，直线AC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，，，且，时，取最小值；时，取最大值，∴的取值范围是，故选：A.【变式61】（2023·天津滨海新·高一塘沽第一中学校考期中）在矩形ABCD中，若，，且，则的值为（）A．B．1C．D．2【答案】D【解析】建立如图所示坐标系，设，，，，，，由可得：，由，可得，解得，或舍去，则．故选：D．【变式62】（2023·河北石家庄·高一校考期中）等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，，，，P为腰AD所在直线上任意一点，则的最小值是（）A．B．1C．D．【答案】C【解析】等腰梯形ABCD中，作垂直于于点，作垂直于于点，又，，，则，，，，则建立如图所示平面直角坐标系，则，，，，又P为腰AD所在直线上任意一点，则设，，则点P的坐标为，所以，，又关于的二次函数的对称轴为，则在上单调递减，所以当，即点P和点D重合时，取得最小值．故的最小值是．故选：C．【变式63】（2023·浙江温州·高一校联考期中）如图，已知直角梯形ABCD，，，，P是斜腰BC边（含端点）上的动点，的最小值为（）A．0B．C．D．【答案】D【解析】因为四边形为直角梯形，则以为坐标原点建立如图所示直角坐标系，因为，所以，则，设直线的方程为，则代入坐标有，解得，则直线的方程为，则可设，，则，则，因为，则其最小值为，故选：D.【变式64】（2023·广东东莞·高一东莞中学松山湖学校月考）在扇形中，，，