数学人教A版必修3学案第三章概率本章小结

本章小结一、随机事件及概率随机事件的概率是指大量重复进行同一试验，随机事件A发生的频率eq\f(m,n)(n是试验的总次数，m是事件A发生的次数)接近的常数，记作P(A)，它反映的是这个事件发生的可能性的大小．即一个随机事件的发生既有随机性又有规律性．规律性体现在eq\f(m,n)的值具有稳定性，当随机试验的次数不断增加时，eq\f(m,n)的值总在某个常数附近摆动且摆动的幅度越来越小，由于0≤m≤n，故0≤eq\f(m,n)≤1，于是可得0≤P(A)≤1.[例1]某射击运动员为2016年里约热内卢奥运会做准备，在相同条件下进行射击训练，结果如下：射击次数n102050100200500击中靶心次数m8194492178455击中靶心的频率0.80.950.880.920.890.91(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？(3)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？[解](1)由题意知击中靶心的频率在0.9左右摆动，故概率约为0.9.(2)击中靶心的次数大约为300×0.9＝270(次)．(3)不一定．二、互斥事件和对立事件互斥和对立都是反映事件相互关系的重要概念．互斥事件、对立事件的概率公式是基本公式，必须学会正确运用．应用互斥事件的概率加法公式时，首先要确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，应用互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)求解；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))求解．[例2]从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是()A.eq\f(1,10)B.eq\f(3,10)C.eq\f(3,5)D.eq\f(9,10)[解析]设3个红球分别为红1，红2，红3,2个白球分别为白1，白2，则从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球的取法有(红1，红2，红3)，(红1，红2，白1)，(红1，红2，白2)，(红1，红3，白1)，(红1，红3，白2)，(红1，白1，白2)，(红2，红3，白1)，(红2，红3，白2)，(红2，白1，白2)，(红3，白1，白2)，共10种，其中不含白球的只有(红1，红2，红3)1种，所以不含白球的概率为eq\f(1,10)，所以至少有1个白球的概率为P＝1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).[答案]D三、古典概型古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概型的基础，这也是我们在学习、生活中经常遇到的题型，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性与等可能性，用以判断该题目是否属于古典概型．事件A在古典概型中发生的概率P(A)＝eq\f(m,n)，其中n为试验的基本事件总数，m为事件A包含的基本事件数，应用公式的关键是正确理解基本事件与事件A的关系，从而求出m、n.下面举例说明．[例3]为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了m位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35]，频率分布直方图如图所示．已知生产的产品数量在[20,25)之间的工人有6位．(1)求m；(2)工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是多少？[分析](1)利用数量在[20,25)内矩形的面积等于样本中落在该组的频率求出m；(2)生产低于20件产品的工人有两组[10,15)，[15,20)，分别求出两组的人数，利用古典概型求出概率．[解](1)根据频率分布直方图可知产品件数在[20,25)内的频率为5×0.06＝0.3，则有0.3m＝6，解得m(2)根据频率分布直方图可知产品件数在[10,15)，[15,20)内的人数分别为5×0.02×20＝2,5×0.04×20＝4，设生产产品件数在[10,15)内的2人分别是A，B，设生产产品件数在[15,20)内的4人分别是C，D，E，F，则从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人的结果有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．2位工人不在同一组的结果有：(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，共8种．则选取这2人不在同一组的概率为eq\f(8,15).四、几何概型当一随机试验的可能结果有无数个，并且每个结果的出现都是等可能的，我们把这样的试验称为几何概型．由于试验的结果不能一一列举出来，所以在计算概率时可利用试验的全部结果构成的区域和所求事件的结果构成的区域的几何度量的比值来计算．常用的几何度量有长度、面积、体积和角度等，解题时要适当选择．[例4]在区间[－3,3]上随机取一个数x，使得lg(x－1)<lg2成立的概率为________．[解析]由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1>0，,lgx－1<lg2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>1，,x<3.))所以在区间[－3,3]上不等式lg(x－1)<lg2的解集为(1,3)，其长度为2.又因为x∈[－3,3]，其长度为6，由几何概型知识，得P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).[答案]eq\f(1,3)[例5]节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4)D.eq\f(7,8)[解析]设两串彩灯同时通电后，第一次闪亮的时刻分别为x，y，则0≤x≤4,0≤y≤4，而事件A“它们第一次闪亮的时刻相差不超过2s”，即|x－y|≤2，其表示的区域为如图所示的阴影部分．由几何概型概率公式，得P(A)＝eq\f(42－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×2)),42)＝eq\f(3,4).[答案]C五、概率与统计的综合问题概率与统计相结合，是新课标数学高考试题的一个亮点，其中所涉及的统计知识是基础知识，所涉及的概率是古典概型，虽然是综合题，但是难度不大，属于中档以下难度．[例6]随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示．(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)计算甲班的样本方差；(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．[分析](1)茎叶图中的数据越集中在上部，则说明该班的平均身高较高；(2)先求出平均数，再代入方差公式即可；(3)写出所有基本事件，再统计基本事件的总数和所求事件包含的基本事件的个数，利用古典概型计算概率．[解](1)由茎叶图可知：甲班身高集中于160～179之间，而乙班身高集中于170～180之间，因此乙班平均身高高于甲班．(2)甲班的平均身高：eq\x\to(x)＝eq\f(1,10)(158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋182)＝170，甲班的样本方差为：s2＝eq\f(1,10)[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2.(3)设身高为176cm的同学被抽中的事件为A，用(x，y)表示从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学的身高，则所有的基本事件有：(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)