北京四中2018-2019学年高二上学期期中考试数学试卷

20182019学年北京四中高二上学期期中考试数学试题此卷此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题1．已知集合A={x∈Z|(x+2)(x-1)<0}，B={－2，－1），那么A∪B等于A．{－2，－1，0，1}B．{－2，－1，0}C．{－2，－1}D．{－1}2．已知数列{an）的通项公式为aA．2B．40C．56D．903．等差数列{an}的前n项和SnA．8B．10C．12D．144．若a>b>c且a+b+c=0，则下列不等式一定成立的是A．ac>bcB．ab>bcC．ab<bcD．ac<bc5．若1，a，b成等差数列，3，a+2，b+5，成等比数列，则等差数列的公差为A．3B．3或－1C．－3D．3或－36．设函数f(x)=x2                                            x≤0lgA．（－1，1）B．（－1，+∞）C．（－∞，9）D．（－∞，－1）∪（9，+∞）7．数列{an}中，“an+12=anan+2（n∈N*）”是A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．当x>1时，若不等式x+1x-1≥aA．（－∞，2]B．[2，+∞）C．（－∞，3]D．[3，+∞）9．不等式的解集为A．B．C．D．10．等差数列{an}的公差d>0，前n项和为Sn，则对nA．a1<SC．a1<an11．下列不等式：①x2+3>3x；②a2+bA．0个B．1个C．2个D．3个二、解答题12．已知：等差数列{an}的公差d≠0，a2=1，且a2、a3、a（I）求{an}（II）设数列{an}的前n项和为Sn，求使Sn>35成立的13．已知：关于x的不等式（mx－（m+1））（x－2）>0（m∈R）的解集为集合P（I）当m>0时，求集合P；（II）若{x|-3<x<2}⊆P，求m的取值范围.14．已知：等比数列{an}中，公比为q，且a1=2，a4=54，等差数列{bn}中，公差为d，b1=2，b1+b2+b3+b4=a1+a2+a（I）求数列{an}（II）求数列{bn}的前n项和S（III）设Pn=b1+b4+b7+⋯+b3n-2，Q15．已知：函数f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab，当x∈（－3，2）时，f(x)>0，当x∈（－∞，－3）∪（2，+∞（I）求a，b的值；（II）若不等式ax2+bx+c≤0的解集为R，求实数16．对于数列A：a1，a2，a3，…，定义A的“差数列”ΔA：a2-（I）若数列A：a1，a2，a3，…的通项公式an=2n-1+1，写出（II）试给出一个数列A：a1，a2，a3，…，使得ΔA是等差数列；（III）若数列A：a1，a2，a3，…的差数列的差数列Δ（ΔA）的所有项都等于1，且a19=a92=0，求a三、填空题17．命题“∀x∈R，x2+1>0”18．等差数列{an}中，a19．若不等式的解集中的整数有且仅有1，2，3，则的取值范围是20．数列{an}是公比为2的等比数列，其前n项和为Sn。若a2=1221．甲、乙两人同时从A地出发沿同一路线走到B地，所用时间分别为t1、t2，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走（m≠n）；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，则t1、22．对一切实数x，不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，则实数a23．数列{an}中，若a1=1，an24．能够说明“若等比数列{an}是递增数列，则公比q>1”是假命题的首项a125．数列{an}满足：an=2nn2，若对任意正整数n，都有an20182019学年北京四中高二上学期期中考试数学试题数学答案参考答案1．B【解析】由A={x∈Z|(x+2)(x-1)<0}得A={-1,0}，结合B={-2,-1}点睛：研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.解指数或对数不等式要注意底数对单调性的影响，在求交集时注意区间端点的取舍.熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.2．B【解析】【分析】分别令选项中的数等于n2-n，解得【详解】由题意令an=n2-n=2,可得n=2为正整数，即2同理令an=n2-n=40,可得n不为正整数，即40令an=n2-n=56，可得n=8为正整数，即56令an=n2-n=90，可得n=10是正整数，即90故选：B．【点睛】本题考查数列的通项公式的定义，注意数列通项公式中n必须是正整数．3．C【解析】试题分析：假设公差为d,依题意可得3×2+12×3×2d=12,∴d=2.所以a考点：等差数列的性质.视频4．D【解析】【分析】由条件可得a＞0，c＜0，再利用不等式的基本性质可得结论．【详解】∵a＞b＞c，且a+b+c=0，∴a＞0，c＜0，b不确定，∴ac<bc,故选：D．【点睛】本题考查不等式与不等关系，不等式的基本性质的应用，判断a＞0，c＜0，是解题的关键.5．A【解析】【分析】由题意列关于a，b的方程组，求得a，b后可得等差数列的公差．【详解】∵1，a，b成等差数列，3，a+2，b+5成等比数列，则2a=1+ba+22=3b+5，解得∵3，a+2，b+5成等比数列,故b+5≠0,即b≠-5，∴a=-2b=-5即a=4b=7∴等差数列的公差为ba=3故选：A．【点睛】本题考查了等差数列,等比数列的性质，考查了等差数列的定义.属于基础题.6．D【解析】【分析】由分段函数可得x0≤0x【详解】若f（x0）＞1则x0≤0x即x0≤0x解得x0<1或x0故选：D．【点睛】本题考查二次不等式和对数不等式的解法，考查对数函数单调性的运用，解对数不等式将式子化为同底的对数，再由单调性列出不等式即可得到结果.7．B【解析】试题分析：若数列{an}是等比数列，根据等比数列的性质得：∀n∈N*,a反之，若“∀n∈N*,an+12=anan+2”，当∴“∀n∈N*,an+12=anan+2”是故选B．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．8．D【解析】试题分析：设f(x)=x+1x-1，因为x>1，所以f(x)=x-1+1x-1+1≥2(x-1)×1x-1+1=3，所以f(x)min=3考点：均值不等式．9．A【解析】试题分析：不等式等价于解得，所以选A.考点：分式不等式的解法.视频10．A【解析】【分析】用首项和公差分别表示出Snn和an，由公差d>0和n【详解】数列{an}为等差数列，则S即Snn因为d>0,n>2，所以n-1d>n-1故a1故选：A.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式.11．C【解析】【分析】逐一对每个命题进行判断即可得到结论.【详解】①x2+3-3x=x-②a2+b③ba+ab≥2，只有当综上恒成立的个数为2个，故选：C.【点睛】本题考查不等式性质和基本不等式的应用.12．（Ⅰ）an=2n-3；（Ⅱ【解析】试题分析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由a32（Ⅱ）由Sn=n试题解析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d因为a2，a3，a6即(1+d)2解得d=2，或d=0（舍去）.所以{an}（Ⅱ）因为an所以Sn依题意有n2解得n>7．使Sn>35成立的n的最小值为13．（I）见解析；（II）-【解析】【分析】（I）通过比较两根大小进行分类讨论，利用二次函数的图像即可得到不等式的解集；

（Ⅲ）依题意，当x∈（3，2）时，不等式（mx－（m+1））（x－2）>0恒成立，分类讨论即可求出m的范围．【详解】（I）当m>0时，原不等式变为(x-m+1m)当0<m<1时，m+1m>2，不等式的解为x<2或x>当m=1时，m+1m=2，不等式的解为x<2或x>2当m>1时，m+1m<2，不等式的解为x<m+1m或x综上所述，当0<m≤1时，P=（－∞，2）∪（m+1m，+∞当m>l时，P=（－∞，m+1m）∪（2，+∞）。（II）当m>0时，由（I）知，满足{x|－3<x<2}⊆P，需要0<m≤1；当m=0时，不等式变为-(x-2)>0，则P=（－∞，2），满足条件；当m<0时，不等式变为(x-m+1m)(x-2)<0，此时m+1m<2，则P=（满足{x|－3<x<2}⊆P，需要m+1m≤-3，则-综上所述：-【点睛】本题考查集合之间关系的应用，考查一元二次不等式的解法.14．（I）an=2·3n-1；（II）Sn=3n2+n2；（III）当n≤18时，Pn<Q【解析】【分析】（I）先由{an}的a1，a4求出公比q，再由等比数列的通项公式即可得结果;（II）等差数列{bn}满足b1+b2+b3+b4=26进而求出d，得到bn利用等差数列的前n项和公式可得结果；（III）由已知可得b1，b4，b7，b3n2组成以b1=2为首项，3d为公差的等差数列，而b10，b12，b14，b2n+8组成以b10=29为首项，2d为公差的等差数列，求出Pn和Qn后，作差得到关于n的函数关系式，讨论n的情况可得结果．【详解】（I）等比数列{an}中，a4=a1q3，则q3=27，即q=3，则an=a（II）由（I）知：a∵数列{bn}是等差数列，∴b∴b1∴d=3，∴bn=3n-1，∴前n项和（III）由题知：b1,b4,b则Pn同理b10,b12,b14,…Qn则Pn则当n≤18时，Pn<Qn；当n=19时，Pn=【点睛】本题考查等差数列等比数列的通项公式，考查等差数列前n项和公式的应用.15．（I）a=-3,b=5；（II【解析】【分析】（I）由题意得3，2是方程ax2+（b8）xaab=0的两根，利用韦达定理可解得a和b；（II）不等式ax2+bx+c≤0的解集为R，即a<0Δ=b2-4ac≤0成立，将（【详解】（I）由题目知f(x)的图象是开口向下，交x轴于两点A（－3，0）和B（2，0）的抛物线，即当x=－3和x=2时，有y=0，解得：a=0b=8或a=-3由已知可得函数为二次函数，故a=0b=8∴a=-3b=5（II）令g(x)=-3x2+5x+c，要使g(x)≤0则需要方程-3x2+5x+c=0的根的判别式Δ≤0，即解得c≤-2512∴当c≤-2512时，【点睛】本题考查二次函数的性质，一元二次不等式的解法,将一元二次不等式和一元二次方程和二次函数相联系，采用数形结合的方法，是解决此种问题的关键．16．（I）1，2，4；（II）数列A：2，2，2，2，…；（III）819【解析】【分析】（I）先计算数列A的前4项，然后利用差数列的定义写出ΔA的前3项；（II）由差数列定义知常数列即满足题意；（III）根据差数列的定义利用累加法可求得数列an的通项公式，然后利用数列的第19项和第92项即可求得首项的值【详解】（I）数列A：2，3，5，9，数列ΔA：1，2，4（II）数列A：2，2，2，2，…（III）数列Δ（ΔA）：1，1，1，1，…，设数列ΔA：k，k+1，k+2，k+3，…则数列A：a2－a1=ka3－a2=k+1…an-a即a则a19=18k+17×9+a【点睛】本题考查等差数列定义和通项公式的应用，考查学生推理能力和计算能力.17．∃x∈R，x【解析】试题分析：本小题给出的命题是全称命题，它的否定是特称命题“∃x∈R，x2考点：本小题主要考查含有一个量词的命题的否定.点评：对于此类问题，要主要特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题.18．4【解析】【分析】利用等差数列的性质进行化简即可得到结果.【详解】数列a∴a1+a3故答案为：43【点睛】本题主要考查等差数列的性质ap+aq19．【解析】由得由整数有且仅有1，2，3知，解得20．2n-331【解析】∵a2=a1×2=12,∴a21．t【解析】【分析】本题考查不等式的应用与作差法比较大小，由题意知，可分别根据两人的运动情况表示出两人走完全程所用的时间，再对两人所用的时间用作差法比较大小即可得出正确选项.【详解】设从出发地到指定地点的路程为S，甲乙两人走完全程所需时间分别是t1,t2，则t12m+t12n=S，∴t1-∵S,m,n都是正数，且m≠n，∴t1t2<0即t1<t2故答案为：t1【点睛】本题考查利用不等式的性质比较大小，熟练掌握比较大小的方法作差法,作商法.22．[－2，+∞）【解析】【分析】根据题意，分x=0与x≠0两种情况讨论，①x=0时，易得原不等式恒成立，②x≠0时，原式可变形为a≥（|x|+1x），由基本不等式的性质，易得a的范围，综合两种情况可得答案【详解】根据题意，分两种情况讨论；①x=0时，原式为1≥0，恒成立，则a∈R；②x≠0时，原式可化为a|x|≥（x2+1），即a≥（|x|+1x）又由|x|+1x≥2，则（|x|+1x）