高中数学二十九个导数题型归纳

1高中数学----二十九个导数题型归纳2题型1导数的定义 4题型2导数的几何意义 5题型3导数几何意义与参数 6题型4曲线上动点到直线距离的最值问题 9题型5公切线问题 10题型6导数几何意义与函数性质综合 13题型7两条曲线上动点距离最值 18题型8导数几何意义综合 21题型9函数的单调性求参数 23题型10极值与参数 27题型11最值与参数 30题型12极值点偏移 33题型13恒成立问题求参数 37题型14任意存在问题 41题型15存在性问题 42题型16恒成立问题 43题型17零点问题 46题型18多次求导 48题型19换元法的应用 533题型20导函数为零的替代 54题型21多变量问题的主变元 57题型22多变量的解题策略 59题型23极值点偏移的解题方法 65题型24零点判断与参数 68题型27多次求导的灵活应用 78题型28导数与不等式的综合 82题型29导数与放缩法 864题型1导数的定义x0xlimf(2+x)f(2)的值为(x0x直线与曲线y=f(x)切于点A(2,3)x2xx2x点(1,f(1))处的切线的斜率为()ABCD．2【解析】y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为x0x巩固2已知函数f(x)在x=x0处可导，若limf(x0+3x)f(x0)=1，则f(x0)x0x()AB．【解析】由已知可得5fxB题型2导数的几何意义x【解析】曲线y=xexxeb2eb2e巩固3己知曲线y=x2+2x2在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是()【解析】y=x2+2x2的导数为y=2x+2设M(m,n)，则在点M的切线斜率为2m+2由于在点M处的切线与x轴平行巩固4如果曲线y=x4x在点P处的切线垂直于直线y=x，那么点P的坐标为()CD6CD3232题型3导数几何意义与参数率的最小值是()BCD7A．2B．－1C．1D．－2ykx线y=x3+2ax+b相切于点(1,4)()．巩固8函数f(x)=〈23巩固8函数f(x)=〈23，若方程f(x)=kx+1有四个不相等实根，则实数k范围()【解析】作出f(x)=〈23的图象如图所示【解析】作出f(x)=〈23的图象如图所示fxkx于函数f(x)的图象与直线y=kx+1有四个交点ykx两段曲线相切时8x巩固9已知函数f(x)=〈|l，若f(x)－mx≥0，则实数mAB．[－1，2]C．[－ln3，2]D．[－ln2，2]【解析】如图所示：画出函数f(x)的图像9题型4曲线上动点到直线距离的最值问题nx上有一点Q，则线段PQ长度的最小值为()行这两条平行线间的距离为d=故线段PQ长度的最小值为，选C)BCD题型5公切线问题m为()ABCD．yaxa)与两个函数f(x)=lnx+与g(x)=x2+1图象的切(|g,(x2)=2x2=ayaxxx+1公共点，且在该点处的切线相同，当实数m变化时，实数a的取值范围为()若f(x)的图象在点A(x1,f(x1))处的切线与g(x)的图象在点B(x2,g(x2))处的切线重合，则a的取值范围是()42224222n值范围是()所以切线方程为y_lnx1=(x_x1)(1a题型6导数几何意义与函数性质综合例题6已知函数f(X)=X3+aX2+bX+C的图象的对称中心为(0,1)，且f(X)的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7)，则b=()【解析】∵函数f(X)=X3+aX2+bX+C的图象的对称中心为(0,1)，所以f(−X)+fX=2∴fX=X3+bX+1,f'X=3X2+b又∵fX的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7)222∴f'1=f7，即3+b=，解得b=1，选A在点A，B处的切线重合，则实数a的最小值是()k范围是yfxy=k(x+)有4个公共点即可(1-x(1(1-x(1巩固16已知函数f(x)=〈(e2x2-1,x>0,若|f(x)|>mx恒成立，则实数m的取值范l-x-2x-2,x共0,【解析】作出函数|f(x)|的图象如图所示；x上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数g(x)的图象，则函数y=g(x)-零点的个数为()D一条对称轴fxsin2x+2cos2x=4sin2x+))|，由图象变换可得，x+3冗x+3冗xx+3冗题型7两条曲线上动点距离最值小 该点到直线l的距离为1+e2小小值为()则()B．M的最小值为20小值为为线y=lnx上的点与以C(一2,3)为圆心，以1为半径的圆上的点距离平方最小值可以求曲线y=lnx上的点与圆心C(一2,3)的距离的最小值，在曲线y=lnx上取一点kCMkm+2mm巩固2221【解析】因为曲线y=2ex与曲线互为反函数，其图象关于直线y=x对称，故可先求点P到直线y=x的最近距离，函数y=2ex的导数为y=2ex，由y=2ex=1得，题型8导数几何意义综合例题8设曲线y=xn+1(nN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令巩巩固21不等式kx≥，x>0恒成立，则k的最小值为()AB．C．D．1【解析】令f(x)=，则f'(x)=，很明显函数fx的周期为2由导函数的符号可得函数在区间0,2上具有如下单调性在区间0,和,2上单调递增，在区间,上单调递减，绘制函数图像如图所示22考查临界条件，满足题意时，直线y=kX恒在函数f(X)=的图像的上方临界条件为直线与曲线相切的情况，此时k=f'0=，即k的最小值为，选A(((1)xABC．[－ln3，2]D．[－ln2，2]巩固22已知函数f(x)=〈|l，若f(x)－mx≥0，则实数m的取值范围是()【解析】如图所示：画出函数f(x)的图像.23题型9函数的单调性求参数(2)当k>1时，讨论函数f(x)零点的个数gxxxx单调递增.x点fenkenknknkenknk当n为较大的整数时)n为较大整数时)于是下面讨论f(x2)的正负情况：f(x2)=x2_ln2x2_klnx2_=x2_ln2x2_(x2_lnx2)lnx2_=lnx=lnx_xlnx+x_22222224 x(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)共0，求a的取值范围w上递减上递减(2)由(1)当a＝0时，f(x)＝﹣x2_x≤0，符合题意，a1]25巩固24已知函数f(x)=(x2+a)exa(x+1)(1)当a=0时，求函数f(x)在(1，f(1))处的切线方程(2)若a>2，证明：当x>0时，f(x)>0afxx2ex，f,(x)=(x2+2x)ex，f,(1)=3e，f(1)=e：函数f(x)的图象在(1,f(1))处的切线方程ye=3e(x1)，即3exy2e=0(2)证明：f,(x)=(x2+2x+a)exa，令g(x)=(x2+2x+a)exa，则g,(x)=(x2+4x+a+2)exa>2，：当x>0时，(x2+4x+a+2)ex>(x2+4x)ex>0，即g,(x)>0且不恒为零：g(x)在[0，+)上是增函数，故g(x)>g(0)=0，即f,(x)>0：f(x)在[0，+)上是增函数，：f(x)>f(0)=0，即f(x)>0故若a>2，则当x>0时，f(x)>026(1)讨论f(x)的单调性(2)定义：对于函数f(x)，若存在x0，使f(x0)=x0成立，则称x0为函数f(x)的不动-a-a2-4-a+a2-22w(2)27题型10极值与参数(1)若x1为f(x)的极值点，且f(x1)=f(x2)(x1丰x2)，求2x1+x2的值(2)求证：当m>0时，f(x)有唯一的零点【解析】(1)由题得f,(x)=x2+2x+m可知h(x)在(_w,_2)和(0,+w)上单调递增，在[_2,0]上单调递减，28因此x3+x2=m(x+1)有且只有一个交点即f(x)=x3+x2+mx+m有唯一的零点29(1)当a=0时，求函数f(x)的极大值与极小值所以f,(x)=x2-2x(2)由题,f(x)=x3-x230题型11最值与参数xfx个极值点，求函数f(x)的单调区间axeef(x)<0成立，求实数b的取值范围+w)，f,(x)=2ax_1+(ii)a>时，由f,(x)<0可得，0<x<1，函数在f(x)(0,1)上单调递减，由f,(x)>0可422a422a31h,,(x)=_2_=<0，则h,(x)在(1,e)上单调递减，所以h,(x)<h,(1)=0xxx所以h(x)在(1,e)上单调递减，x)1，h(x))0h(x)<0，即g,(x)<0gxegxgeeebee2(1)当a>0时，若直线y=x是曲线y=f(x)的切线，求ab的最大值【解析】1)设直线y=x与曲线y=f(x)相切于点P(x0,2ln(ax0+b))又因为点P在切线y=x上，所以2ln(ax0+b)=x0.所以2ln2a=x0a32(2)函数g(x)=(ax+1)2+a(ax+1)_f(x)(a=R,a丰0)有两个不同的零点等价于方程2ln(ax+1)=(ax+1)2+a(ax+1)有两个不相等的实根w所以p(t)有两个不同的零点，符合题意，所以a的最大整数值为_133在是上单调递增，在令在是上单调递增，在令题型12值点偏移例题12已知函数f(x)=axlnx+2(a0).(1)求函数f(x)的最值(2)函数f(x)图像在点(1,f(1))处的切线斜率为1,g(x)=f(x)x证：x1+x2>4上单调递减，在在上单调递增，有最小值【上单调递减，在在上单调递增，有最小值当时，在上单调递减，有最大值上单调递减，在在上单调递减，有最大值上单调递减，在上单调递增当时，无最小值(2)依题知的两个零点，必然一个小于，一个大于的两个零点，必然一个小于，一个大于，不妨设所以变形为欲证，只需证欲证，则只需证对任意的都成立34令令所以在上单增，即对任意的都成立所以(Ⅰ)求实数a的取值范围(Ⅱ)求证：12x(Ⅱ)求证：12(III)求证：f(x1)+f(x2)>2【解析】Ⅰ)f(x)=ex-x2-ax，：f,(x)=ex-x-a当a>1时，g(0)=1-a<0，且当x)-w时，g(x))+w；当x)+w时，g(x))+w：当函数f(x)有两个极值点时，a的取值范围为(1,+w)．xex35 IIIxxgx，x1<0<x2，g(x)在(-w,0)上函数f(x)在(x1，0)上也单调递减，：f(x1)>f(-x2)：要证f(x1)+f(x2)>2，只需证f(-x2)+f(x2)>2，即证ex2+e-x2-x-2>0：k(x)在(0,+w)上单调递增，：k(x)>k(0)=0：f(-x2)+f(x2)>2，：f(x1)+f(x2)>2巩固29已知函数f(x)=kx-lnx(1)若函数f(x)在区间(1,+w)上单调递增，求k的取值范围(2)若函数f(x)有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2>e2【解析】(1)∵f(x)=kx-lnx，函数f(x)在区间(1,+w)上单调递增(2)证明：不妨设x1>x2>036∴原不等式成立37题型13恒成立问题求参数f(x) (1)求函数y=g(x)的极小值xaRw求正整数m的最大值f(x)x2-5x+1【解析】(1)y=g(x)=ex，x=Rfx3xex38w恒成立，39fxxlnxk)x+k_2(k=Z)(1)当k=2时，求函数f(x)的单调区间(2)若当x>1时，总有f(x)>0，求k的最大值(2)由题当x>1时，f(x)>0恒成立gxgx=xx数x0=(3,4)，满足h(x0)=0，即lnx0=x0_240所以k<x0+2，又知kZ，所以整数k的最大值为541题型14任意存在问题axxax(1)证明：函数f(x)与g(x)的图象存在一个公共的定点，且在公共定点处有一条公切线求出k的取值范围，否则说明理由个公共定点O(0,0)线，为直线y=ax 0224042题型15存在性问题ex(1)求f(x)的极大值(3)是否存在实数k=N，使得方程f(x)=(x+1)g(x)在(k,k+1)上有唯一的根，若存在，求出所有k的值，若不存在，说明理由xaaaa43exex题型16恒成立问题例题16已知函数f(x)=ex.(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程 ：e3如1.78 【解析】(1)已知函数f(x)=ex，则(1,f(1))处即为(1,e)，又f,(x)=ex，k=f,(1)=exxmxxx4412e240h()2e322e3321.7813所以存在x0,，使hx02ex00.即h(x)的最小值为hx02ex011，令1t(,2)，00000000xaa00x002巩固31已知函数f(x)exx28x4(1)求函数f(x)的单调区间(2)若关于x的不等式mmsinx在[0,)上恒成立，且m0，求【解析】(1)依题意，xR，f(x)exx28x42x8exx210x4令f(x)0，即x210x40，解得x5fxx(5,)，f(x)0f(x)的单调递增区间为(,5)和(5,)，单调递减区间为4542增42增存在x1,x2仁[0,2]，使得f(x1)一f(x2)>M，求整数M的最大值st2]，都有f(t)共g(s)，求a的取值范围46【解析】(1)f,(x)=3x(x-),x=[0,2]，令f,(x)=0得x1=0,x2=当x变化时，f,(x)和f(x)的变化情况如下：x0232f,(x)0-0+f(x)-3单调递减极小值单调递增1可得：f(x)max=1，f(x)min=f()=-，要使存在x1,x2=[0,2]，使得f(x1)-f(x2)>M恒成立只需M共f(x)max-f(x)min=，故整数M的最大值为4．(2)由(1)知，在[,2]上，f(x)max=f(2)=1，要满足对任意的s,t=[,2]，都有f(t)共g(s)，只需g(x)>1在[,2]上恒成立，即+xlnx>1在[,2]上恒成立，nxpx=1-x-2xlnx在[,2]上递减，又因p(1)=0，则可知当xhxhxx],h,(x)<0,h(x)单调递减，所以h(x)在题型17零点问题例题17已知函数f(x)=lnx-ax2-bx(a,b=R).(2)设x1，x2为f(x)的两个不同零点，证明：f(x1+x2)<x1+x2-3.4712121212论两边乘以，得ln，即2x248令m(0,1)，则ax1x22bx1x2h(m)在(0,1)单调递增，h(m)h(1)0由(i)(ii)可得lnx1x2ax1x22bx1x2x1x23，fx1x2x1x23题型18多次求导例题18已知函数fxmlnxxmR(1)讨论fx的单调性【解析】(1)由题意得x0,，fxm1x2mxxxx1x2m0,x1x2m0,则x10,x20224950m时f(x)有两个极值点x1,x2，mmx1+x2m-2mm-2m-2x1+x2m-2mm-2m-2mmmm5152af(x)的单调区间53不满足题意题型19换元法的应用(1)若不等式f(x)<0恒成立，求实数t的取值范围xxx合题意综上可得，实数t的取值范围是(0,2]54x递增题型20导函数为零的替代例题20设kR，函数g(x)=k(x-e)，其中e为自然对数的底数(1)设函数f(x)=①若k=-1，试判断函数f(x)与g(x)的图像在区间(1,)上是否有交点②求证：对任意的kR，直线y=g(x)都不是y=f(x)的切线(2)设函数h(x)=2x-xlnx+xg(x)-ekx，试判断函数h(x)是否存在极小值，若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由【解析】(1)①当k=-1时，函数g(x)=-x+eFx间断曲线，故函数F(x)在区间(1,)上有零点fx)与g(x)的图象在区间(1,)上有交点②证明：假设存在kR，使得直线y=k(x-e)是曲线y=f(x)的切线55则切线y=f(x)在点x=x0切线方程为y=f,(x0)(x一x0)+f(x0)exxhx故h(x)在x=e处取得极大值，不合题意(ii)k>0时，则m(x)在(0,)递减，在(，+w)递增56故在(，)内存在x0，使得m(x0)=0故h(x)在(，x0)上递减，在(x0，+w)递增，故h(x)在x=x0处取得极小值②由(1)知k=，=e故h,(x)在(0,e)递减，在(e,+w)递增故h(x)在x=e处取极小值，符合题意57题型21多变量问题的主变元(1)讨论函数f(x)的单调性xx若a共0,f¢(x)>0恒成立,所以f(x)在(0,+¥)上单调递增xagxxxf(x)=b有两个不相等的实数根x1,x2∴58f59题型22多变量的解题策略相同的切线(1)求f(x)的解析式范围2ees s=ae因为x1，x2为函数g(x)的两个极值点，所以x1，x2是方程2x2-2x+m=0的两个不等实根222g(x2)=(x2-1)2+2x1x2lnx2=(x2-1)2+2(1-x2)x2lnx2=1-x+2x222112xx11260(1)61(1)讨论f(x)的单调性(2)当a=1时，设f(x)的两个极值点为x1，x2，证明:f(x1)一f(x2)＜1+13x1一x2x1x2xx2a2a62综上所述：即a>时，f(x)在(0,+)上单调递增2a2aafx减3699x(2)当a=1时，f(x)=1x2x+2lnx，f'(x)=3x29x+2，又因为f3699xxxxx2xxxx又因为1+1=x1+x2=9，故要证f(x1)f(xxxx2xxxx12121212xx22xx2212x<，不妨设x1>x2>0，要证<lnx1lnx21<，不妨设x1>x2>0，要证<12121212下面证明不等式x12121212 xxxxxx即证lnx1lnx2<x1x2，即证lnx1<x1x2，令t=x1(t> xxxxxx12221263，，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递增上单调递减上单调递增，综上所述，当或时，在上单调递增，在，，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递增上单调递减上单调递增，综上所述，当或时，在上单调递增，在上单调递减恒成立.在上单调递减在在时 3所以x1一x2222，得证3【解析】1)①当时，，②当时，，③当时，上单调递增当时，(2)，依题意，而在上单调递增，64，得与在上均单调递增，，得与矛盾综上所述，实数的取值范围是65题型23极值点偏移的解题方法例题例题23已知函数f(x)=x2-aex-1(1)若f(x)有两个不同的极值点x1，x2，求实数a的取值范围(2)在(1)的条件下，求证：ex1+ex2>f(x)有两个不同的极值点x1，x2，则f，(x)有两个不同的零点，即方程a=有两个不同的实根即直线y=a与y=的图象有两个不同的交点所以当0<a<时，直线y=a与y=的图象有两个不同的交点，f(x)有两个不同的66(1)求实数a的取值范围；(2)求证：x1+x2>2；(3)求证：x1x2<1x12xx126722巩固巩固37已知函数f(x)=et_ax2(a=R).(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)若函数f(x)在区间(0,+w)有两个零点，分别为x1，x2，求证：x1+x2>4.【解析】(1)由f,(x)=ex_2ax，有f,(0)=1,f(0)=1.曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x+1tx_x_xt_1t_1x68可得函数g(x)单调递增.所以g(x)>g(1)=0.故若函数f(x)在区间(0,+w)有两个零点，必有：x1+x2>4题型24零点判断与参数(2)试讨论函数f(x)的零点个数没有零点692yyh(x)有且仅有一个零点，且总有h(x)>0恒成立？如果存在，试确定a的个数；如果不不存在，请说明理由.单调递减2222一个零点70点不满足题意立上根的个数，即为满足题意的a的个数ttlnttt71则方程(ⅰ)存在唯一的一个根题型24ex与lnx共存的解题方法fx极值点个数，并说明理由xx7