苏科版七年级数学下册《高分突破 培优新方法》 专题02 平行线模型-“铅笔”模型（含答案）

专题02平行线模型-“铅笔”模型专题说明专题说明上节课利用平行线的性质和判定学习了平行线模型-“猪蹄”模型（M型），相信同学们都掌握了做题方法和技巧，本次课继续学习平行线模型-“铅笔”模型。【模型刨析】模型二：“铅笔”模型点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=360°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC=360°，则AB∥CD.【典例分析】【典例1】(2023秋•驿城区校级期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝125°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数．请写出具体求解过程．问题迁移：（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．【变式1-1】(2023春•常州期中）问题情境：如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．猜想：（1）若∠1＝130°，∠2＝150°，试猜想∠P＝°；探究：（2）在图①中探究∠1，∠2，∠P之间的数量关系，并证明你的结论；拓展：（3）将图①变为图②，若∠1+∠2＝325°，∠EPG＝75°，求∠PGF的度数．【变式1-2】(2023春•鹿邑县月考）如图，已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE的平分线相交于点F．（1）如图1，若∠E＝70°，求∠BFD的度数；（2）如图2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，写出∠M和∠E之间的数量关系，并证明你的结论．【变式1-3】(2023秋•南岗区校级月考）已知：如图，AB∥CD（1）如图1，求证：∠A+∠E+∠D＝360°；（2）如图2，若AF平分∠EAB，DF平分∠EDC．探究∠AFD与∠AED的数量关系（直接写出结论）．（3）如图3，在（2）的条件下，过A作AH∥ED交DC于点H，AD平分∠EAH，∠DAG：∠FDC＝1：2，AF延长线交CD于点G．求：∠BAH的度数．【夯实基础】1.(2023秋•朝阳区校级期末）一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝135°，则∠ABC＝度．2．(2023秋•雁塔区校级期末）如图，直线l1∥l2，若∠1＝35°，则∠2+∠3＝．3．(2023春•大兴区期末）如图，已知AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE．（1）猜想∠BED时，∠B，∠D的数量关系，并证明；（2）作∠ABE，∠CDE的角平分线BF，DF交于点F．①依题意补全图形；②直接用等式表示∠BFD与∠BED的数量关系．4．(2023秋•九江期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射的光线为n．（1）当m∥n时，若∠1＝50°，则∠2＝，∠3＝；（2）当m∥n时，若∠1＝x°（0＜x＜90），则∠3＝；（3）根据（1）（2）结果，反过来猜想：当两平面镜a，b的夹角∠3为多少度时，m∥n．请说明理由（可以在图中添加适当的角度标记进行说明）5．(2023春•普兰店区期中）直线AB∥CD，点E在AB和CD之间任一点，射线EF经过点B．（1）如图1，若DE∥AC，∠CAB＝130°，∠ABF＝80°，求∠DEB的度数；（2）如图2，若∠CAB＝a，∠CDE＝2∠ACD，若∠BED＝140°，求∠ABE的度数（用含α式子表示）．（3）如图3，若∠ABE的角平分线与∠CDE的角平分线交于点Q，试找出∠E和∠Q的数量关系并说明理由．6.(2023春•宾阳县期中）如图，AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点O在直线AB，CD之间，∠EOF＝100°．（1）如图1，求∠BEO+∠DFO的值：（2）如图2，当∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点M时，求∠EMF的度数：（3）如图3，直线MN交∠BEO、∠CFO的角平分线分别于点M，N，求∠EMN﹣∠FNM的值．7．(2023春•南昌期中）如图，已知AB∥CD，CP∥DN．（1）求证：∠BAP+∠APC+∠DCP＝360°；（2）求证：∠BAM+∠AMD﹣∠CDM＝180°；（3）当，，且∠AMD＝150°时，求∠APC的度数．【能力提升】8．(2023春•高淳区校级期中）对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k＞0，使得∠M+k∠N＝360°，则称∠N为∠M的k系补周角．若∠M＝90°，∠N＝45°，则∠N为∠M的6系补周角．（1）若∠H＝80°，则∠H的4系补周角的度数为°．（2）在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE、DE．①如图1，∠D＝60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数．②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF＝n∠ABE，∠CDF＝n∠CDE（其中n为常数且n＞1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，写出你的解题思路并求出此时的k值（用含n的式子表示）．9．(2023春•宁阳县期末）如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点．（1）如图1，若∠BAE＝35°，∠DCE＝20°，则∠AEC＝；（2）如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；（3）①如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由；②如图4，若设∠E＝m，∠BAF＝∠FAE，∠DCF＝∠FCE，请直接用含m、n的代数式表示∠F的度数．专题02平行线模型-“铅笔”模型专题说明专题说明上节课利用平行线的性质和判定学习了平行线模型-“猪蹄”模型（M型），相信同学们都掌握了做题方法和技巧，本次课继续学习平行线模型-“铅笔”模型。【模型刨析】模型二：“铅笔”模型点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=360°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC=360°，则AB∥CD.【典例分析】【典例1】(2023秋•驿城区校级期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝125°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数．请写出具体求解过程．问题迁移：（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．【解答】解：过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE＝180°﹣∠A＝45°，∠CPE＝180°﹣∠C＝55°，∴∠APC＝45°+55°＝100°；（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（2）当点P在A、M两点之间时，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；当点P在B、O两点之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．【变式1-1】(2023春•常州期中）问题情境：如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．猜想：（1）若∠1＝130°，∠2＝150°，试猜想∠P＝80°；探究：（2）在图①中探究∠1，∠2，∠P之间的数量关系，并证明你的结论；拓展：（3）将图①变为图②，若∠1+∠2＝325°，∠EPG＝75°，求∠PGF的度数．【解答】解：（1）如图①，过点P作PM∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PM，∴∠1+∠EPM＝180°，∠2+∠MPF＝180°，∵∠1＝130°，∠2＝150°，∴∠EPM＝50°，∠MPF＝30°，∴∠EPF＝∠EPM+∠MPF＝50°+30°＝80°，故答案为：80；（2）∠EPF＝360°﹣∠1﹣∠2，理由如下：如图①，过点P作PM∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PM，∴∠1+∠EPM＝180°，∠2+∠MPF＝180°，∴∠EPM＝180°﹣∠1，∠MPF＝180°﹣∠2，∴∠EPF＝∠EPM+∠MPF＝（180°﹣∠1）+（180°﹣∠2）＝360°﹣∠1﹣∠2；（3）如图②，过点P作PM∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PM，由（2）知，∠PGF＝360°﹣∠MPG﹣∠2，∵PM∥AB，∴∠1+∠EPM＝180°，∴∠EPM＝180°﹣∠1，∵∠EPG＝∠EPM+∠MPG＝75°，∴∠MPG＝75°﹣∠EPM＝75°﹣（180°﹣∠1）＝∠1﹣105°，∴∠PGF＝360°﹣∠MPG﹣∠2＝360°﹣（∠1﹣105°）﹣∠2＝465°﹣（∠1+∠2），∵∠1+∠2＝325°，∴∠PGF＝465°﹣325°＝140°．【变式1-2】(2023春•鹿邑县月考）如图，已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE的平分线相交于点F．（1）如图1，若∠E＝70°，求∠BFD的度数；（2）如图2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，写出∠M和∠E之间的数量关系，并证明你的结论．【解答】解：（1）如图1，过点E作EN∥AB，∵EN∥AB，∴∠ABE+∠BEN＝180°，∵AB∥CD，AB∥NE，∴NE∥CD，∴∠CDE+∠NED＝180°，∴∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∵∠E＝70°，∴∠ABE+∠CDE＝290°，∵∠ABE与∠CDE的平分线相交于点F，∴∠ABF+∠CDF＝（∠ABE+∠CDE）＝145°，过点F作FG∥AB，∵FG∥AB，∴∠ABF＝∠BFG，∵AB∥CD，FG∥AB，∴FG∥CD，∴∠CDF＝∠GFD，∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝145°；（2）结论：∠E+6∠M＝360°，证明：∵设∠ABM＝x，∠CDM＝y，则∠FBM＝2x，∠EBF＝3x，∠FDM＝2y，∠EDF＝3y，由（1）得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∴6x+6y+∠E＝360°，∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，∴6x+6y+∠E＝∠M+5x+5y+∠E，∴∠M＝x+y，∴∠E+6∠M＝360°．【变式1-3】(2023秋•南岗区校级月考）已知：如图，AB∥CD（1）如图1，求证：∠A+∠E+∠D＝360°；（2）如图2，若AF平分∠EAB，DF平分∠EDC．探究∠AFD与∠AED的数量关系（直接写出结论）．（3）如图3，在（2）的条件下，过A作AH∥ED交DC于点H，AD平分∠EAH，∠DAG：∠FDC＝1：2，AF延长线交CD于点G．求：∠BAH的度数．【解答】解：（1）过点E作EM∥AB，如图，∵AB∥CD，∴EM∥CD，∵EM∥AB，∴∠A+∠AEM＝180°，∵EM∥CD，∴∠DEM+∠D＝180°，∴（∠A+∠AEM）+（∠DEM+∠D）＝360°，即∠A+∠AED+∠D＝360°（2）过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，如图，∵FN∥AB，∴∠NFA＝∠BAF．∵AF平分∠EAB，∴∠EAB＝2∠BAF．∴∠EAB＝2∠NAF．∵FN∥AB，AB∥CD，∴FN∥CD．∴∠NFD＝∠FDC．∵DF平分∠EDC，∴∠EDC＝2∠FDC，∴∠EDC＝2∠NFD．∴∠BAE+∠EDC＝2（∠NFA+∠NFD）＝2∠AFD．由（1）知：∠EAB+∠AED+∠EDC＝360°．∴∠AED＝360°﹣（∠EAB+∠EDC）＝360°﹣2∠AFD，2∠AFD+∠AED＝360°；故答案为：2∠AFD+∠AED＝360°；（3）∵AD平分∠EAH，∴∠EAH＝2∠EAD，∵AF平分∠EAB，∴∠EAB＝2∠EAG，∴∠HAB＝∠EAB﹣∠EAH＝2∠EAG﹣2∠EAD＝2∠DAG，∵∠DAG：∠FDC＝1：2，∴可设∠DAG＝x°，∠FDC＝2x°，则∠HAB＝2x°，∵DF平分∠EDC，∴∠EDC＝2∠FDC＝2×2x°＝4x°，∵ED∥AH，∴∠EDC+∠AHD＝180°，∴∠AHD＝180°﹣4x°，∵AB∥CD，∴∠HAB＝∠AHD，∴2x＝180﹣4x，∴x＝30，∴∠BAH＝2×30°＝60°．、【夯实基础】1.(2023秋•朝阳区校级期末）一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝135°，则∠ABC＝度．答案:135【解答】解：如图，过点B作BF∥CD，∵CD∥AE，∴CD∥BF∥AE，∴∠1+∠BCD＝180°，∠2+∠BAE＝180°，∵∠BCD＝135°，∠BAE＝90°，∴∠1＝45°，∠2＝90°，∴∠ABC＝∠1+∠2＝135°．故答案为：135．2．(2023秋•雁塔区校级期末）如图，直线l1∥l2，若∠1＝35°，则∠2+∠3＝．答案:215°【解答】解：过点E作EF∥11，∵11∥12，EF∥11，∴EF∥11∥12，∴∠1＝∠AEF＝35°，∠FEC+∠3＝180°，∴∠2+∠3＝∠AEF+∠FEC+∠3＝35°+180°＝215°．故答案为：215°．3．(2023春•大兴区期末）如图，已知AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE．（1）猜想∠BED时，∠B，∠D的数量关系，并证明；（2）作∠ABE，∠CDE的角平分线BF，DF交于点F．①依题意补全图形；②直接用等式表示∠BFD与∠BED的数量关系．【解答】（1）∠B+∠BED+∠D＝360°．证明：过点E作EG∥AB．∴∠B+∠BEG＝180°．∵AB∥CD，EG∥AB，∴EG∥CD，∴∠DEG+∠D＝180°，∴∠B+∠BEG+∠DEG+∠D＝180°+180°．即∠B+∠BED+∠D＝360°；（2）解：①如图所示：②由（1）得∠ABC+∠BED+∠CDE＝360°，∵∠ABE，∠CDE的角平分线BF，DF交于点F，∴∠ABC＝2∠FBE，∠CDE＝2∠FDE，∴2∠FBE+∠BED+2∠CDE＝360°，即∠FBE+∠BED+∠CDE＝180°，∵∠BFD+∠FBE+∠BED+∠CDE＝360°，∴．4．(2023秋•九江期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射的光线为n．（1）当m∥n时，若∠1＝50°，则∠2＝，∠3＝；（2）当m∥n时，若∠1＝x°（0＜x＜90），则∠3＝；（3）根据（1）（2）结果，反过来猜想：当两平面镜a，b的夹角∠3为多少度时，m∥n．请说明理由（可以在图中添加适当的角度标记进行说明）【解答】解：（1）∵m∥n，∴∠4+∠2＝180°，∵∠5＝∠1＝50°，∴∠4＝80°，∴∠2＝100°，∴∠6＝∠7＝40°，∴∠3＝180°﹣∠5﹣∠6＝90°，故答案为：100°；90°；（2）∵m∥n，∴∠4+∠2＝180°，∵∠5＝∠1＝x°，∴∠4＝180°﹣2x°，∴∠2＝2x°，∴∠6＝∠7＝90°﹣x°，∴∠3＝180°﹣∠5﹣∠6＝180°﹣x°﹣90°+x°＝90°，故答案为：90°；（3）根据（1）、（2）猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3是90°时，总有m∥n，证明：∵∠3＝90°，∴∠5+∠6＝90°，∴∠1+∠7＝90°，∴∠1+∠5+∠6+∠7＝180°，又∵∠1+∠4+∠5+∠2+∠6+∠7＝360°，∴∠4+∠2＝180°，∴m∥n．5．(2023春•普兰店区期中）直线AB∥CD，点E在AB和CD之间任一点，射线EF经过点B．（1）如图1，若DE∥AC，∠CAB＝130°，∠ABF＝80°，求∠DEB的度数；（2）如图2，若∠CAB＝a，∠CDE＝2∠ACD，若∠BED＝140°，求∠ABE的度数（用含α式子表示）．（3）如图3，若∠ABE的角平分线与∠CDE的角平分线交于点Q，试找出∠E和∠Q的数量关系并说明理由．【解答】解：（1）过点E作EH∥AB，∴∠ABF＝∠BEH＝80°，∵AB∥CD，∠CAB＝130°，∴∠ACD＝180°﹣∠CAB＝50°，EH∥CD，∵AC∥DE，∴∠ACD＝∠EDG＝50°，∵EH∥CD，∴∠EDG＝∠HED＝50°，∴∠BED＝∠BEH+∠HED＝130°，∴∠DEB的度数为130°；（2）过点E作EP∥AB，∴∠ABE+∠BEP＝180°，∵AB∥CD，∴∠CDE+∠DEP＝180°，∴∠ABE+∠BEP+∠CDE+∠DEP＝360°，∴∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，∵AB∥CD，∴∠ACD＝180°﹣∠CAB＝180°﹣α，∵∠CDE＝2∠ACD，∴∠CDE＝2（180°﹣α）＝360°﹣2α，∵∠BED＝140°，∴∠ABE＝360°﹣∠BED﹣∠CDE＝360°﹣140°﹣（360°﹣2α）＝2α﹣140°，∴∠ABE的度数为2α﹣140°；（3）∠BED+2∠BQD＝360°，理由：延长BQ交直线CD于点K，设∠ABQ＝x，∠CDQ＝y，∵BQ平分∠ABE，DQ平分∠CDE，∴∠ABE＝2∠ABQ＝2x，∠CDE＝2∠CDQ＝2y，∵AB∥CD，∴∠BKD＝∠ABQ＝x，∴∠BQD＝∠BKD+∠CDQ＝x+y，由（2）得：∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，∴∠BED＝360°﹣∠ABE﹣∠CDE＝360°﹣2x﹣2y，∴∠BED+2∠BQD＝360°﹣2x﹣2y+2（x+y）＝360°，∴∠BED+2∠BQD＝360°．6.(2023春•宾阳县期中）如图，AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点O在直线AB，CD之间，∠EOF＝100°．（1）如图1，求∠BEO+∠DFO的值：（2）如图2，当∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点M时，求∠EMF的度数：（3）如图3，直线MN交∠BEO、∠CFO的角平分线分别于点M，N，求∠EMN﹣∠FNM的值．【解答】解：（1）过点O作OG∥AB，如图：∵AB∥CD，OG∥AB，∴AB∥OG∥CD，∴∠BEO+∠EOG＝180°，∠DFO+∠FOG＝180°，∴∠BEO+∠EOG+∠DFO+∠FOG＝360°，即∠BEO+∠EOF+∠DFO＝360°，∵∠EOF＝100°，∴∠BEO+∠DFO＝260°；（2）过点M作MH∥AB，如图：∵AB∥CD，MH∥AB，∴AB∥MH∥CD，∴∠EMH＝∠BEM，∠FMH＝∠DFM，∴∠EMF＝∠EMH+∠FMH＝∠BEM+∠DFM，由（1）中的结论可得：∠BEO+∠DFO＝260°，∵EM，FM分别平分∠BEO和∠DFO，∴∠BEM＝∠BEO，∠DFM＝∠DFO，∴∠BEM+∠DFM＝（∠BEO+∠DFO）＝×260°＝130°，∴∠EMF＝130°；（3）过点M作MK∥AB，过点N作NH∥CD，如图：∵EM平分∠BEO，FN平分∠CFO，设∠BEM＝∠OEM＝x，∠CFN＝∠OFN＝y，∵∠BEO+∠DFO＝260°，∴∠BEO+∠DFO＝2x+180°﹣2y＝260°，∴x﹣y＝40°，∵MK∥AB，NH∥CD，AB∥CD，∴AB∥MK∥NH∥CD，∴∠EMK＝∠BEM＝x，∠HNF＝∠CFN＝y，∠KMN＝∠HNM，∴∠EMN﹣∠FNM＝∠EMK+∠KMN﹣（∠HNM+∠HNF）＝x+∠KMN﹣∠HNM﹣y＝x﹣y＝40°，∴∠EMN﹣∠FNM的值为40°．7．(2023春•南昌期中）如图，已知AB∥CD，CP∥DN．（1）求证：∠BAP+∠APC+∠DCP＝360°；（2）求证：∠BAM+∠AMD﹣∠CDM＝180°；（3）当，，且∠AMD＝150°时，求∠APC的度数．【解答】（1）证明：过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠BAP+∠APE＝180°，∠CPE+∠DCP＝180°，∴∠BAP+∠APE+∠CPE+∠DCP＝360°，即∠BAP+∠APC+∠DCP＝360°；（2）证明：过点M作MQ∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥MQ∥CD，∴∠BAM+∠AMQ＝180°，∠CDM＝∠DMQ，∵∠AMD＝∠AMQ+∠DMQ，∴∠AMQ＝∠AMD﹣∠CDM，∴∠BAM+∠AMD﹣∠CDM＝180°；（3）解：延长AM交CD于点E，延长AP交CD的延长线于点F，∵AB∥CD，∴∠BAE+∠AED＝180°，∵∠AMD＝∠MED+∠MDE＝150°，∴180°﹣∠BAM+∠MDE＝150°，∵∠NDM＝∠NDC，∴∠MDE＝∠NDC，∵∠BAM＝∠BAP，∴∠BAP﹣∠NDC＝30°，∴∠BAP﹣∠NDC＝45°，∵AB∥CD，∴∠BAP+∠AFC＝180°，∵CP∥DN，∴∠PCF＝∠NDC，∴∠APC＝∠AFC+∠PCF＝180°﹣∠BAP+∠NDC＝180°﹣（∠BAP﹣∠NDC）＝180°﹣45°＝135°．【能力提升】8．(2023春•高淳区校级期中）对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k＞0，使得∠M+k∠N＝360°，则称∠N为∠M的k系补周角．若∠M＝90°，∠N＝45°，则∠N为∠M的6系补周角．（1）若∠H＝80°，则∠H的4系补周角的度数为°．（2）在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE、DE．①如图1，∠D＝60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数．②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF＝n∠ABE，∠CDF＝n∠CDE（其中n为常数且n＞1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，写出你的解题思路并求出此时的k值（用含n的式子表示）．【解答】解：（1）设∠H的4系补周角的度数为x°，根据新定义得：80+4x＝360，解得x＝70，∠H的4系补周角的度数为70°，故答案为：70；（2）①过E作EF∥AB，如图1，∴∠B＝∠BEF，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∠D＝60°，∴∠DEF＝∠D＝60°，∵∠B+60°＝∠BEF+∠DEF，即∠B+60°＝∠BED，∵∠B是∠BED的3系补周角，∴∠BED＝360°﹣3∠B，∴∠B+60°＝360°﹣3∠B，∴∠B＝75°；②如图2，当BG上的动点P为