中考数学几何模型专项复习 模型32 平行四边形-对角互补模型-（原卷版+解析）

平行四边形模型（三十二）——对角互补模型◎结论1：如图，∠ABC=∠ADC=90°，AD=DC，则①BC+AB=2BD，②S四边形ABCD=12BD2，【证明】【关键：把互补转化成相等，看到互补的条件，找其中一角的邻补角，转化成相等】旋转相等边的夹角⑴AD.CD夹角90°,旋转90°,延长BC至E，使CE＝AB,连接DE，∵∠DAB＋∠DCB＝180°∠DCE＋∠DCB＝180°∴∠DAB＝∠DCE在△DAB和△DCE中DA＝DC,∠DAB＝∠DCE,AB＝CE∴△DAB≌△DCE∴BD＝ED，∠1＝∠2∵∠1＋∠3＝90°∴∠2＋∠3＝90°∴△BED是等腰直角三角形BE＝2BD,BC＋CE＝2BD，BC＋AB＝2BD⑵S四边形ABCD=S△ABD＋S△BCD＝S△CED由⑴得，BD=DE，∴S四边形ABCD＝12BD·DE＝12⑶由⑴得，△BDE是等腰直角三角形，∴∠DBC=45º，∴BD是角平分线.◎结论2：如图，∠ABC=60º，∠ADC=120°，AD=DC，则①BC+AB=3BD，②S四边形ABCD=34BD2【证明】⑴满足对角互补，邻边相等AD.CD夹角120°，旋转120°延长BC至点E，使CE＝AB，连接DE∵∠DAB＋∠DCB＝180°∠DCE＋∠DCB＝180°∴∠DAB＝∠DCE在△DAB和△DCE中DA＝DC,∠DAB＝∠DCE,AB＝CE∴△DAB≌△DCE∴BD＝ED，∠1＝∠2∵∠1＋∠3＝120°∴∠2＋∠3＝120°过D作DM⊥BE于M，∴∠BDM＝60°，BM＝ME∴sin60°＝BMBD∴BMBD＝∴2BMBD＝3，即BE＝3BD，∴BC＋AB＝⑵由⑴得DM=12BD，BE=3S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝S△CED＋＝12·3BD·12BD＝3⑶由⑴得BD＝DE，∠BDE＝120º，∴∠B＝∠E＝30º，∴BD是角平分线补充：图形如果是下图这样，结论会稍有不同【结论】∠AOB=120º，∠DCE＝60º，OC平分∠AOB，D、E在OA、OB上，则，①CD=CE②OD+OE=OC①在OB上取一点F，连结CF，使△OCF为等边三角形，∵∠FCE＋∠OCE＝∠DCO＋OCE＝∠DCE＝60°∴∠FCE＝∠DCO∵△OCF为等边三角形∴∠CFE＝∠COD，且CF＝CO，易证△CDO≌△CEF∴CD＝CE②∵△CDO≌△CEF∴DO＝EF，∴OD＋OE＝OE＋EF＝OF∴OD＋OE＝OC◎结论3：如图，∠ABC=α，∠ADC=180º－α，AD=DC，则①BC+AB=2BDcos12α，②S四边形ABCD=3①【证明】满足对角互补，邻边相等AD,CD夹角180－a,旋转180－a延长BC至点E，使CE＝AB，连接DE∵∠DAB＋∠DCB＝180°∠DCE＋∠DCB＝180°∴∠DAB＝∠DCE在△DAB和△DCE中DA＝DC,∠DAB＝∠DCE,AB＝CE∴△DAB≌△DCE∴BD＝ED，∠1＝∠2∵∠1＋∠3＝180－a∴∠2＋∠3＝180－a（把图形抽离出来）过D作DM⊥BE于M，∴∠BDM＝90°－12∴∠DBM＝12a，BE＝2BM，cos12a＝∴2cos12a＝2BMBD＝BE＝2BDcos12∴BC＋AB＝2BDCOS12②【证明】由上可知△DAB≌△DCE，所以△DAB的面积＝△DCE的面积∴S四边形ABCD＝（把图形抽离出来）由①过程可知BE＝2BDcos12DM＝BDsin12∴S△BDE＝12BEDM＝2BDcos12aBDsin12∴S四边形ABCD＝34③∵BD＝ED∴∠E＝∠DBE∵△DAB≌△DCE∴∠ABD＝∠E∴∠ABD＝∠DBE∴BD为角平分线。1．(2023·全国·八年级专题练习）如图，为等边三角形，以为边向外作，使，再以点C为旋转中心把旋转到，则给出下列结论：①D，A，E三点共线；②平分；③；④．其中正确的有（

）．2．(2023·重庆·西南大学银翔实验中学八年级阶段练习）如图，在四边形中，于，则的长为__________1．(2023·江苏南京·八年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A,B两点分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=OB，点C在第一象限，OC=3，连接BC，AC，若∠BCA=90°，则BC+AC的值为_________．2．(2023·全国·八年级专题练习）如图，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，若四边形ABCD的面积为4，则AC＝_____．3．(2023·陕西·交大附中分校八年级开学考试）问题探究（（1）如图①，已知∠A=45°，∠ABC=30°，∠ADC=40°，则∠BCD的大小为___________；（2）如图②，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线BD=6．求四边形ABCD的面积；小明这样来计算．延长DC，使得CE=AD，连接BE，通过证明△ABD≌△CBE，从而可以计算四边形ABCD的面积．请你将小明的方法完善．并计算四边形ABCD的面积；问题解决（3）如图③，四边形ABCD是正在建设的城市花园，其中AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，DC=40米，AD=30米．请计算出对角线BD的长度．1．（2012·黑龙江黑河·中考真题）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论①(BE+CF)=BC，②，③AD·EF，④AD≥EF，⑤AD与EF可能互相平分，其中正确结论的个数是【

】A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．(2023·江苏常州·一模）我们定义：有一组对角为直角的四边形叫做“对直角四边形”．（1）如图①，四边形ABCD为对直角四边形，∠B=90°，若AB2-AD2=4，求CD2-BC2的值；（2）如图②，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC，若BD平分∠ADC，求证：四边形ABCD为对直角四边形；（3）在（2）的条件下，如图③，连结AC，若，求tan∠ACD的值．平行四边形模型（三十二）——对角互补模型◎结论1：如图，∠ABC=∠ADC=90°，AD=DC，则①BC+AB=2BD，②S四边形ABCD=12BD2，【证明】【关键：把互补转化成相等，看到互补的条件，找其中一角的邻补角，转化成相等】旋转相等边的夹角⑴AD.CD夹角90°,旋转90°,延长BC至E，使CE＝AB,连接DE，∵∠DAB＋∠DCB＝180°∠DCE＋∠DCB＝180°∴∠DAB＝∠DCE在△DAB和△DCE中DA＝DC,∠DAB＝∠DCE,AB＝CE∴△DAB≌△DCE∴BD＝ED，∠1＝∠2∵∠1＋∠3＝90°∴∠2＋∠3＝90°∴△BED是等腰直角三角形BE＝2BD,BC＋CE＝2BD，BC＋AB＝2BD⑵S四边形ABCD=S△ABD＋S△BCD＝S△CED由⑴得，BD=DE，∴S四边形ABCD＝12BD·DE＝12⑶由⑴得，△BDE是等腰直角三角形，∴∠DBC=45º，∴BD是角平分线◎结论2：如图，∠ABC=60º，∠ADC=120°，AD=DC，则①BC+AB=3BD，②S四边形ABCD=34BD2【证明】⑴满足对角互补，邻边相等AD.CD夹角120°，旋转120°延长BC至点E，使CE＝AB，连接DE∵∠DAB＋∠DCB＝180°∠DCE＋∠DCB＝180°∴∠DAB＝∠DCE在△DAB和△DCE中DA＝DC,∠DAB＝∠DCE,AB＝CE∴△DAB≌△DCE∴BD＝ED，∠1＝∠2∵∠1＋∠3＝120°∴∠2＋∠3＝120°过D作DM⊥BE于M，∴∠BDM＝60°，BM＝ME∴sin60°＝BMBD∴BMBD＝∴2BMBD＝3，即BE＝3BD，∴BC＋AB＝⑵由⑴得DM=12BD，BE=3S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝S△CED＋＝12·3BD·12BD＝3⑶由⑴得BD＝DE，∠BDE＝120º，∴∠B＝∠E＝30º，∴BD是角平分线补充：图形如果是下图这样，结论会稍有不同【结论】∠AOB=120º，∠DCE＝60º，OC平分∠AOB，D、E在OA、OB上，则，①CD=CE②OD+OE=OC①在OB上取一点F，连结CF，使△OCF为等边三角形，∵∠FCE＋∠OCE＝∠DCO＋OCE＝∠DCE＝60°∴∠FCE＝∠DCO∵△OCF为等边三角形∴∠CFE＝∠COD，且CF＝CO，易证△CDO≌△CEF∴CD＝CE②∵△CDO≌△CEF∴DO＝EF，∴OD＋OE＝OE＋EF＝OF∴OD＋OE＝OC◎结论3：如图，∠ABC=α，∠ADC=180º－α，AD=DC，则①BC+AB=2BDcos12α，②S四边形ABCD=3①【证明】满足对角互补，邻边相等AD,CD夹角180－a,旋转180－a延长BC至点E，使CE＝AB，连接DE∵∠DAB＋∠DCB＝180°∠DCE＋∠DCB＝180°∴∠DAB＝∠DCE在△DAB和△DCE中DA＝DC,∠DAB＝∠DCE,AB＝CE∴△DAB≌△DCE∴BD＝ED，∠1＝∠2∵∠1＋∠3＝180－a∴∠2＋∠3＝180－a（把图形抽离出来）过D作DM⊥BE于M，∴∠BDM＝90°－12∴∠DBM＝12a，BE＝2BM，cos12a＝∴2cos12a＝2BMBD＝BE＝2BDcos12∴BC＋AB＝2BDCOS12②【证明】由上可知△DAB≌△DCE，所以△DAB的面积＝△DCE的面积∴S四边形ABCD＝（把图形抽离出来）由①过程可知BE＝2BDcos12DM＝BDsin12∴S△BDE＝12BEDM＝2BDcos12aBDsin12∴S四边形ABCD＝34③∵BD＝ED∴∠E＝∠DBE∵△DAB≌△DCE∴∠ABD＝∠E∴∠ABD＝∠DBE∴BD为角平分线。1．(2023·全国·八年级专题练习）如图，为等边三角形，以为边向外作，使，再以点C为旋转中心把旋转到，则给出下列结论：①D，A，E三点共线；②平分；③；④．其中正确的有（

）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个答案:D分析①设∠1=x度，把∠2=（60-x）度，∠DBC=∠4=（x+60）度，∠3=60°加起来等于180度，即可证明D、A、E三点共线；②根据△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，判断出△CDE为等边三角形，求出∠BDC=∠E=60°，∠CDA=120°-60°=60°，可知DC平分∠BDA；③由②可知，∠BAC=60°，∠E=60°，从而得到∠E=∠BAC．④由旋转可知AE=BD，又∠DAE=180°，DE=AE+AD．而△CDE为等边三角形，DC=DE=DB+BA．【详解】解：如图，①设∠1=x度，则∠2=（60-x）度，∠DBC=（x+60）度，故∠4=（x+60）度，∴∠2+∠3+∠4=60-x+60+x+60=180度，∴D、A、E三点共线；故①正确；②∵△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，∴CD=CE，∠DCE=60°，∴△CDE为等边三角形，∴∠E=60°，∴∠BDC=∠E=60°，∴∠CDA=120°-60°=60°，∴DC平分∠BDA；故②正确；③∵∠BAC=60°，∠E=60°，∴∠E=∠BAC．故③正确；④由旋转可知AE=BD，又∵∠DAE=180°，∴DE=AE+AD．∵△CDE为等边三角形，∴DC=DB+DA．故④正确；故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质等相关知识，要注意旋转不变性，找到变化过程中的不变量．2．(2023·重庆·西南大学银翔实验中学八年级阶段练习）如图，在四边形中，于，则的长为__________答案:分析过点B作交DC的延长线交于点F，证明≌推出，，可得，由此即可解决问题；【详解】解：过点B作交DC的延长线交于点F，如右图所示，∵，，∴≌，，，即，，故答案为．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．1．(2023·江苏南京·八年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A,B两点分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=OB，点C在第一象限，OC=3，连接BC，AC，若∠BCA=90°，则BC+AC的值为_________．答案:分析可将△OBC绕着O点顺时针旋转90°，所得的图形与△OAC正好拼成等腰直角三角形BC+AC等于等腰三角形的斜边CD.【详解】解：将△OBC绕O点旋转90°，∵OB=OA∴点B落在A处，点C落在D处且有OD=OC=3，∠COD=90°，∠OAD=∠OBC，在四边形OACB中∵∠BOA=∠BCA=90°，∴∠OBC+∠OAC=180°，∴∠OAD+∠OAC=180°∴C、A、D三点在同一条直线上，∴△OCD为等要直角三角形，根据勾股定理CD2=OC2+OD2即CD2=32+32=18解得CD=即BC+AC=.【点睛】本题考查旋转的性质，旋转前后的图形对应边相等，对应角相等.要求两条线段的长，可利用作图的方法将两条线段化成一条线段，再求这条线段的长度即可，本题就是利用旋转的方法做到的，但做本题时需注意，一定要证明C、A、D三点在同一条直线上.本题还有一种化一般为特殊的方法，因为答案一定可考虑CB⊥y轴的情况，此时四边形OACB刚好是正方形，在做选择或填空题时，也可以起到事半功倍的效果.2．(2023·全国·八年级专题练习）如图，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，若四边形ABCD的面积为4，则AC＝_____．答案:4．分析将△ACD绕点A顺时针旋转60°，得到△ABE．证明△AEC是等边三角形，四边形ABCD面积等于△AEC面积，根据等边△AEC面积特征可求解AC长．【详解】解：将△ACD绕点A顺时针旋转60°，得到△ABE．∵四边形内角和360°，∴∠D+∠ABC＝180°．∴∠ABE+∠ABC＝180°，∴E、B、C三点共线．根据旋转性质可知∠EAC＝60度，AE＝AC，∴△AEC是等边三角形．四边形ABCD面积等于△AEC面积，等边△AEC面积，解得AC＝4．故答案为4．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质、旋转的性质，解题的关键是根据AB=AD及∠BAD=60°，对△ACD进行旋转，把四边形转化为等边三角形求解．3．(2023·陕西·交大附中分校八年级开学考试）问题探究（（1）如图①，已知∠A=45°，∠ABC=30°，∠ADC=40°，则∠BCD的大小为___________；（2）如图②，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线BD=6．求四边形ABCD的面积；小明这样来计算．延长DC，使得CE=AD，连接BE，通过证明△ABD≌△CBE，从而可以计算四边形ABCD的面积．请你将小明的方法完善．并计算四边形ABCD的面积；问题解决（3）如图③，四边形ABCD是正在建设的城市花园，其中AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，DC=40米，AD=30米．请计算出对角线BD的长度．答案:（1）115°；（2）S四边形ABCD=18；（3）对角线BD的长度为米．分析（1）利用外角的性质可求解；（2）延长DC，使得CE=AD，连接BE，通过证明△ABD≌△CBE，从而可以计算四边形ABCD的面积；（2）将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，由旋转的性质可得BF=BD，AF=CD=40，∠BDC=∠BFA，由三角形内角和定理可求∠FAD=90°，由勾股定理可求解．【详解】解：（1）如图1，延长BC交AD于E，∵∠BCD=∠BED+∠D，∠BED=∠A+∠ABC，∴∠BCD=∠A+∠ABC+∠D=45°+30°+40°=115°，故答案为：115°；（2）延长DC，使得CE=AD，连接BE，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠BCE+∠BCD=180°，∴∠A=∠BCE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE，∴BE=BD，∠ABD=∠CBE，S△ABD=S△CBE，∵∠ABC=90°，即∠ABD+∠DBC=90°，∴∠CBE+∠DBC=90°，即∠DBE=90°，

∵BD=BE=6，∠DBE=90°，∴S△BDE=×BE×BD=18，∴S△BDE=S△CBE+S△DBC=S△ABD+S△DBC=S四边形ABCD=18；（4）如图，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，∴△BCD≌△BAF，∠FBD=60°，∴BF=BD，AF=CD=40，∠BDC=∠BFA，∴△BFD是等边三角形，∴BF=BD=DF，∵∠ADC=30°，∴∠ADB+∠BDC=30°，∴∠BFA+∠ADB=30°，∵∠FBD+∠BFA+∠BDA+∠AFD+∠ADF=180°，∴60°+30°+∠AFD+∠ADF=180°，∴∠AFD+∠ADF=90°，∴∠FAD=90°，∴DF=，∴BD=(米)．答：对角线BD的长度为米．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加辅助线构造全等三角形是本题的关键．1．（2012·黑龙江黑河·中考真题）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论①(BE+CF)=BC，②，③AD·EF，④AD≥EF，⑤AD与EF可能互相平分，其中正确结论的个数是【

】A．1个 B．2个 C．3个 D．4个答案:C【详解】解:∵Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∴AD=DC，∠EAD=∠C=45°，∠EDA=∠MDN－∠ADN=90°－∠ADN=∠FDC．∴△EDA≌△FDC（ASA）．∴AE=CF．∴BE+CF=BE+AE=AB．在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB=BC．∴(BE+CF)=BC．∴结论①正确．设AB=AC=a，AE=b，则AF=BE=a－b．∴．∴．∴结论②正确．如图，过点E作EI⊥AD于点I，过点F作FG⊥AD于点G，过点F作FH⊥BC于点H，ADEF相交于点O．∵四边形GDHF是矩形，△AEI和△AGF是等腰直角三角形，∴EO≥EI（EF⊥AD时取等于）=FH=GD，OF≥GH（EF⊥AD时取等于）=AG．∴EF=EO＋OF≥GD＋AG=AD．∴结论④错误．∵△EDA≌△FDC，∴．∴结论③