浙教版八年级数学下册基础知识专项讲练 专题2.24 一元二次方程（全章复习与巩固）（知识讲解）（附参考答案）

专题2.24一元二次方程（全章复习与巩固）（知识讲解）【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

2.一元二次方程的一般式：

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

特别说明：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．要点二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程一元一次方程2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．特别说明：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.特别说明：一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解 决以下问题：

(1)不解方程判定方程根的情况；

(2)根据参系数的性质确定根的范围；

(3)解与根有关的证明题．

2.一元二次方程根与系数的应用很多：

(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；

(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；

(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．要点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：

一是整体地、系统地审题；

二是把握问题中的等量关系；

三是正确求解方程并检验解的合理性.

2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.

3.解决应用题的一般步骤：

审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；

设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；

列(根据题目中的等量关系，列出方程)；

解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验(检验方程的解能否保证实际问题有意义）；

答(写出答案，切忌答非所问).

4.常见应用题型

数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.

特别说明：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程➽➼概念✬✬方程的解✬✬整体思想✬✬韦达定理1．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（

）A． B．且 C．且 D．【答案】B【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，再求出即可．解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x-1=0有两个不相等的实数根，∴a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，解得：a＞-1且a≠0，故选：B．【点拨】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0），当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根．举一反三：【变式1】若关于的方程有实数根，则的取值范围是（）A． B． C．且 D．且【答案】B【分析】本题分两种情形讨论：当k=0时，判断此时方程是否有根；当k≠0时，根据判断判别式列出不等式求解即可.解：当k=0时，方程为-6x+9=0，此时方程的解为，符合题意；当k≠0时，∵关于的方程有实数根，∴，∴，又k≠0，∴且k≠0，综上所述，当时，关于的方程有实数根.故选：B.【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，以及分类讨论数学思想，进行分类讨论是解题的关键.【变式2】已知关于x的一元二次方程标有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A． B．C．且 D．且【答案】C【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围．解：由题可得：,解得：且；故选：C．【点拨】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求．2．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（

）A．4045 B．4044 C．2022 D．1【答案】A【分析】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．解：∵，是方程的两个实数根，∴，，故选A【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．举一反三：【变式1】已知m为方程的根，那么的值为（

）A． B．0 C．2022 D．4044【答案】B【分析】根据题意有，即有，据此即可作答．解：∵m为的根据，∴，且m≠0，∴，则有原式=，故选：B．【点拨】本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值，由m为得到是解答本题的关键．【变式2】若m、n是一元二次方程x2＋3x﹣9＝0的两个根，则的值是（

）A．4 B．5 C．6 D．12【答案】C【分析】由于m、n是一元二次方程x2＋3x−9＝0的两个根，根据根与系数的关系可得m＋n=−3，mn=−9，而m是方程的一个根，可得m2＋3m−9=0，即m2＋3m=9，那么m2＋4m＋n=m2＋3m＋m＋n，再把m2＋3m、m＋n的值整体代入计算即可．解：∵m、n是一元二次方程x2＋3x−9＝0的两个根，∴m＋n＝−3，mn＝−9，∵m是x2＋3x−9＝0的一个根，∴m2＋3m−9＝0，∴m2＋3m＝9，∴m2＋4m＋n＝m2＋3m＋m＋n＝9＋（m＋n）＝9−3＝6．故选：C．【点拨】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）两根x1、x2之间的关系：x1＋x2=−，x1•x2=．类型二、解一元二次方程➽➼直接开平方法✬配方法✬因式分解法✬公式3．用适当的方法解方程（1）；（配方法）（2）；（公式法）（3）；（因式分解法）（4）．（选择适当的方法）【答案】(1)， (2)， (3)， (4)，【分析】（1）利用配方法求解，先将常数项移到等号右边，再利用完全平方公式进行配方，最后两边同时开方即可；（2）利用公式法求解，先计算的值，再根据公式求解；（3）先移项，再利用提取公因式法进行因式分解，即可求解；（4）利用因式分解法求解．（1）解：移项得，配方得，即，两边开方，得，，；（2）解：，，，，，，，；（3）解：，，，或，，；（4）解：，去括号、移项得，因式分解得，或，，．【点拨】本题考查解一元二次方程，涉及公式法、配方法、因式分解法等，能够根据方程特点选择合适的方法是解题的关键．举一反三：【变式1】（1）用配方法解方程：；（2）公式法解方程：．【答案】（1），；（2），．【分析】（1）先将二次项的系数化为，然后根据配方法的步骤求解即可；（2）先确定一元二次方程中、、的值，然后代入求根公式求解即可．解：（1）两边都除以2，得：，移项，得，配方，得，，∴或，∴，；（2）∵，∴，，，∴，∴，∴，．【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用配方法和公式法解方程．【变式2】按照指定方法解下列方程：（公式法）；（配方法）；（因式分解法）．【答案】(1)， (2)， (3)，【分析】（1）根据公式法解一元二次方程；（2）根据配方法解一元二次方程；（3）根据因式分解法解一元二次方程．（1）解：，，，，，；（2）解：方程整理得：，配方得：，即，开方得：，解得：，；（3）解：方程整理得：，分解因式得：，可得或，解得：，．【点拨】本题主要考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．4．用适当的方法解下列方程 (2)【答案】(1)， (2)【分析】（1）直接利用因式分解法，即可求解；（2）先移项，再利用因式分解法，即可求解．（1）解：∴，即，解得：，；（2）解：∴，∴，即解得：．【点拨】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．举一反三：【变式1】用适当的方法解下列方程； (2)．【答案】(1)， (2)，【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）求出的值，再代入公式求出即可．解：（1），，或，，；（2），△，，，．【点拨】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，此题是一道中档题目，难度适中．【变式2】解方程：x2－2x－3＝0 (2)【答案】(1)， (2)【分析】（1）先把方程的左边分解因式，再得到两个一次方程，再解一次方程即可；（2）先把方程化为再把左边分解因式，再解方程即可．（1）解：x2－2x－3＝0，∴或解得：，（2）整理得：∴∴或解得：【点拨】本题考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“因式分解法解方程的基本步骤”是解本题的关键．类型三、解一元二次方程➽➼换元法✬✬分式方程✬✬无理方程5．阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出的值．【问题】解方程：【提示】可以用“换元法”解方程．【答案】见分析；，是原方程的根．【分析】设，则原方程可变形为：，利用因式分解法解一元二次方程，然后根据二次根式的非负性可得，再利用配方法解方程，最后注意方程的根要进行检验．解：设，∴原方程可变形为：，，，，∴，即，∵，∴，则有，配方，得：，解得：，，经检验：，是原方程的根．【点拨】本题考查了解一元二次方程，解无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．注意：用乘方法来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．举一反三：【变式1】解方程：.【答案】或．【分析】利用换元法，根据方程的特点设，则原方程可化为，解方程求y，再求x即可.解：设，则原方程可化为解得，或．当时，，解得,.当时，，方程无解．经检验,都是原方程的根，∴原方程的根是,.【点拨】本题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根【变式2】解方程：.【答案】或．【分析】根据方程的特点用完全平方公式将分式化为，设，原方程化为解一元二次方程求y，再求x即可.解：.，，设，原方程化为解得，.当时，，方程无解，后者解得或．当时，，解得或．经检验：或都是原方程的根，∴原方程的根是,.【点拨】本题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．6．阅读下面材料，解答后面的问题．解方程：－＝0.解：设y＝，则原方程可化为y－＝0，方程两边同时乘y，得y2－4＝0，解得y1＝2，y2＝－2.经检验，y1＝2，y2＝－2都是方程y－＝0的解．当y＝2时，＝2，解得x＝－1；当y＝－2时，＝－2，解得x＝.经检验，x1＝－1，x2＝都是原分式方程的解．所以原分式方程的解为x1＝－1，x2＝.上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题：若在方程－＝0中，设y＝，则原方程可化为________________；若在方程－＝0中，设y＝，则原方程可化为________________；模仿上述换元法解方程：－－1＝0.【答案】（1）；（2）；（3）x＝－.【分析】（1）将所设的y代入原方程即可；（2）将所设的y代入原方程即可；（3）利用换元法解分式方程，设y＝，将原方程化为y−＝0，求出y的值并检验是否为原方程的解，然后求解x的值即可．解：（1）将y＝代入原方程，则原方程化为−＝0；（2）将y＝代入方程，则原方程可化为y−＝0；（3）原方程可化为－＝0，设y＝，则原方程可化为y－＝0，方程两边同时乘y，得y2－1＝0，解得y1＝1，y2＝－1，经检验，y1＝1，y2＝－1都是方程y－＝0的解；当y＝1时，＝1，该方程无解；当y＝－1时，＝－1，解得x＝－，经检验，x＝－是原分式方程的解，所以原分式方程的解为x＝－.【点拨】本题考查了分式方程的解法，关键是如何换元，题目比较好，有一定的难度．举一反三：【变式1】解方程：【答案】无解【分析】通过去去分母把分式方程化成整式方程，再求解整式方程，最后把解代入最简公分母进行检验即可解答．解：两边同乘得：，去括号得：，移项合并得：，解得：．检验：经检验是方程的增根，原方程无解．【点拨】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．求出解后的检验是本题的易错点．【变式2】阅读理解∶转化思想是常用的数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问题来解决．如解一元二次方程是转化成一元一次方程来解决的；解分式方程是转化为整式方程来解决的．由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．利用转化思想，我们还可以解一些新的方程，如无理方程(根号下含有末知数的方程)．解无理方程关键是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方程也必须检验．例如：解方程．解：两边平方得：．解得：，经检验，是原方程的根，∴代入原方程中不合理，是原方程的增根．原方程的根是．解决问题∶填空∶已知关于x的方程＝x有一个根是，那么a的值为_____；求满足x的x的值．【答案】(1)2 (2)【分析】（1）把代入方程得，然后解关于的无理方程即可；（2）利用乘方把无理方程转化为得，解得，，然后进行检验确定原方程的根；（1）解：把代入方程得，两边平方得，解得，经检验是方程的解；所以的值为2；故答案为：2；（2）解：，方程两边平方得，解得，，经检验，代入原方程中不合理，是原方程的增根，是原方程的根，原方程的根是；【点拨】本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．类型三、一元二次方程➽➼韦达定理✬✬根的判别式7．已知关于x的一元二次方程．（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）如果方程的两个实数根为，，且k与都为整数，求k所有可能的值．【答案】（1）见分析；（2）0或-2或1或-1【分析】（1）计算判别式的值，然后根据判别式的意义得到结论；（2）先利用因式分解法得出方程的两个根，再结合k与都为整数，得出k的值；解：（1）∵△==∴无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）∵∴∴=0∴，或，当，时，∵k与都为整数，∴k=0或-2当，时，∴，∵k与都为整数，∴k=1或-1∴k所有可能的值为0或-2或1或-1【点拨】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不等的实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的解．举一反三：【变式1】已知关于的方程有实数根．求的取值范围；设方程的两根分别是、，且，试求k的值．【答案】(1)；(2).【分析】(1)根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到，求出的取值范围即可；(2)根据根与系数的关系得出方程解答即可．(1)解：∵原方程有实数根，∴，∴，∴.(2)∵，是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：，，又∵，∴，∴，∴，解之，得：，．经检验，都符合原分式方程的根，∵，∴．【点拨】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出k的取值范围，此题难度不大．【变式2】已知关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．【答案】（1）见详解；（2）4＋或4＋.【分析】（1）根据关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0的根的判别式的符号来证明结论.（2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根.分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是2、3时，②当该直角三角形的直角边和斜边分别是2、3时，由勾股定理求出得该直角三角形的另一边，再根据三角形的周长公式进行计算.解：（1）证明：∵△=[-（m＋2）]2－4（2m－1）=（m－2）2＋4，∴在实数范围内，m无论取何值，（m－2）2+4≥4＞0，即△＞0.∴关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0恒有两个不相等的实数根.（2）∵此方程的一个根是1，∴12－1×（m＋2）＋（2m－1）=0，解得，m=2，则方程的另一根为：m＋2－1=2+1=3.①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为，该直角三角形的周长为1＋3＋=4＋.②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；则该直角三角形的周长为1＋3＋=4＋.8．已知关于x的一元二次方程有，两实数根．（1）若，求及的值；（2）是否存在实数，满足？若存在，求出求实数的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1），；（2）存在，【分析】（1）根据题意可得△＞0，再代入相应数值解不等式即可，再利用根与系数的关系求解即可；（2）根据根与系数的关系可得关于m的方程，整理后可即可解出m的值．解：（1）由题意：Δ=(−6)2−4×1×(2m−1)>0，∴m<5，将x1=1代入原方程得：m=3，又∵x1•x2=2m−1=5，∴x2=5，m=3；（2）设存在实数m，满足，那么有，即，整理得：，解得或．由（1）可知，∴舍去，从而，综上所述：存在符合题意．【点拨】本题主要考查了根的判别式，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．以及根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，．举一反三：【变式1】若是关于x的一元二次方程的两个根，则．现已知一元二次方程的两根分别为m，n．（1）若，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）-1．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到．（1）把，代入，即可求出的值；（2）把，代入，得到．利用整体代入即可求解．解：∵已知一元二次方程的两根分别为m，n，∴．（1）当时，，解得，经检验，是方程的根，∴；（2）当时，．∴．【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得到是解题关键．【变式2】已知关于的一元二次方程．（1）求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根，满足，求的值．【答案】（1）见分析

（2）0，-2【分析】（1）根据根的判别式即可求证出答案；（2）可以根据一元二次方程根与系数的关系得与的、的关系式，进一步可以求出答案.解：(1)证明：∵，∵无论为何实数，，∴，∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)由一元二次方程根与系数的关系得：，，∵，∴，∴，∴，化简得：，解得，．【点拨】本题主要考查根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握概念和运算技巧即可解题.类型四、一元二次方程的应用9．为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2018年该市投入基础教育经费5000万元，2020年投入基础教育经费7200万元．求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；如果按（1）中基础教育经费投入的年平均增长率计算．该市计划2021年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村学校．若购买一台电脑需3500元，购买一台实物投影需2000元，则最多可购买电脑多少台？【答案】(1)该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20% (2)2021年最多可购买电脑880台【分析】（1）设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x，根据2018年及2020年投入的基础教育经费金额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据年平均增长率求出2021年基础教育经费投入的金额，再根据总价＝单价×数量，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，取其中的最大值即可．（1）解：设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x，根据题意得：5000（1＋x）2=7200，解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2（舍去）．答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%；（2）解：2021年投入基础教育经费为7200×（1＋20%）=8640（万元），设购买电脑m台，则购买实物投影仪（1500−m）台，根据题意得：3500m＋2000（1500−m）≤86400000×5%，解得：m≤880，答：2021年最多可购买电脑880台．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据2018年及2020年投入的基础教育经费金额，列出关于x的一元二次方程；（2）根据总价＝单价×数量，列出关于m的一元一次不等式．举一反三：【变式1】某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．求4月份再生纸的产量；若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加．5月份每吨再生纸的利润比上月增加，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求的值；若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？【答案】(1)4月份再生纸的产量为500吨 (2)的值20(3)6月份每吨再生纸的利润是1500元【分析】（1）设3月份再生纸产量为吨，则4月份的再生纸产量为吨，然后根据该厂3，4月份共生产再生纸800吨，列出方程求解即可；（2）根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可；（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为，5月份再生纸的产量为吨，根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可；（1）解：设3月份再生纸产量为吨，则4月份的再生纸产量为吨，由题意得：，解得：，∴，答：4月份再生纸的产量为500吨；（2）解：由题意得：，解得：或（不合题意，舍去）∴，∴的值20；（3）解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为，5月份再生纸的产量为吨，∴答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．【点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意，列出方程求解是解题的关键．【变式2】某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．（1）求该商品每次降价的百分率；（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？【答案】（1）10%；（2）6件【分析】（1）根据某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同，可设每次降价的百分率为x，从而可以列出方程60（1-x）2=48.6，然后求解即可；（2）根据题意和（1）中的结果，可以列出相应的不等式，然后即可求得第一次降价出售的件数的取值范围，再根据件数为整数，即可得到第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价．解：（1）设该商品每次降价的百分率为x，60（1-x）2=48.6，解得x1=0.1，x2=1.9（舍去），答：该商品每次降价的百分率是10%；（2）设第一次降价售出a件，则第二次降价售出（20-a）件，由题意可得，[60（1-10%）-40]a+（48.6-40）×（20-a）≥200，解得a≥，∵a为整数，∴a的最小值是6，答：第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价．【点拨】本题考查一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系和不等关系，列出相应的方程和不等式，第一问是典型的的下降率问题，是中考常考题型．10．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量（桶）与每桶降价（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求与之间的函数关系式；（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？【答案】（1）y=10x+100；（2）这种消毒液每桶实际售价43元【分析】（1）设与之间的函数表达式为，将点、代入一次函数表达式，即可求解；（2）根据利润等于每桶的利润乘以销售量得关于的一元二次方程，通过解方程即可求解．解：（1）设与销售单价之间的函数关系式为：，将点、代入一次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：；（2）由题意得：，整理，得．解得，（舍去）．所以．答：这种消毒液每桶实际售价43元．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用以及用待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量每件的利润总利润得出一元二次方程是解题关键．举一反三：【变式1】直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？【答案】（1）50元；（2）八折【分析】（1）设每件的售价定为x元，根据利润不变，列出关于x的一元二次方程，求解即可；（2）设该商品至少打m折，根据销售价格不超过（1）中的售价列出一元一次不等式，解不等式即可．解：（1）设每件的售价定为x元，则有：，解得：(舍)，答：每件售价为50元；（2）设该商品至少打m折，根据题意得：，解得：，答：至少打八折销售价格不超过50元．【点拨】本题主要考查一元二次方程的实际应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系列出方程是解决问题的关键．【变式2】重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份，为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加．求a的值．【答案】（1）每份“堂食”小面价格是7元，“生食”小面的价格是5元．（2）a的值为8．【分析】（1）设每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是x、y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可．解：（1）设每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是x、y元，根据题意列方程组得，，解得，，答：每份“堂食”小面价格是7元，“生食”小面的价格是5元．（2）根据题意得，，解得，（舍去），，答：a的值为8．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用和一元二次方程的应用，解题关键是找准题目中的等量关系，列出方程，熟练运用相关知识解方程．11．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m）