第21讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式（原卷版）

第21讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式基础知识1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系:.

(2)商数关系:.

2.诱导公式公式一公式二公式三公式四公式五公式六公式七公式八角α+2kπ(k∈Z)-απ-απ+απ2π23π23π2与角α终边的关系相同关于x轴对称关于y轴对称关于原点对称关于y=x对称正弦sinα

sinα

cosαcosα

余弦cosαcosα

sinα

正切tanα

-tanα

口诀函数名不变,符号看象限函数名改变,符号看象限记忆规律奇变偶不变,符号看象限常用结论1.同角三角函数关系式的常用变形(1)sin2α=1-cos2α=(1+cosα)(1-cosα);cos2α=1-sin2α=(1+sinα)(1-sinα);(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα.(2)sinα=tanαcosα（α≠π2+kπ,k∈Z）(3)sin2α=sin2αcos2α=cos2α2.sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z);cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z).分类探究探究点一三角函数的诱导公式例1(1)cos23π12-sin17π12= (A.0 B.2C.2-62 (2)若角θ的顶点为坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点（-35,45）,则sin（π2+θ)+cos(π[总结反思](1)已知角求值问题,关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解.转化过程中注意口诀“奇变偶不变,符号看象限”的应用.(2)对给定的式子进行化简或求值时,要注意给定的角之间存在的特定关系,充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化.特别要注意每一个角为第几象限角,防止符号及三角函数名出错.(3)常见的互余的角:π3-α与π6+α,π3+α与π6-α,π4+α与π4-α等;常见的互补的角:π6+α与5π6-α,π3+α与变式题(1)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sinα=13,则sinβ=(2)若sin(α+15°)=23,则cos(α+105°)=探究点二同角三角函数的基本关系及应用角度1公式的灵活运用例2(1)若sinα=-513,且α为第四象限角,则tanα的值等于 (A.125 B.-12C.512 D.-(2)已知sinα1+cosα=2,则tanα= (A.-43 B.3C.43 [总结反思](1)同角三角函数的基本关系式的功能是根据角的一个三角函数值求其他三角函数值,主要利用商数关系sinαcosα=tanα和平方关系1=sin2α+cos2α(2)注意根据角的终边所在的象限选取正确的符号.角度2切弦互化例3(1)已知3sinα+cosα2sinα-3cosα=7,则函数f(x)=sin2x+2tanα|cosx|-6的最小值为 (A.-5 B.-3 C.-2 D.-1(2)若4sinα-3cosα=0,则sin2α+2cos2α= ()A.4825 B.C.85 D.[总结反思]把正弦、余弦化成正切的结构形式进行求值的常见结构有:①sinα,cosα的一次齐次分式（如asinα+bcosαcsinα+dcosα）,解决此类问题时,用分子分母同时除以cosα,将其转化为关于tanα的式子,进而求解②sinα,cosα的二次齐次式(如asin2α+bsinαcosα+ccos2α),解决此类问题时,将原式看成分母是1的表达式,把1换成“sin2α+cos2α”,然后分子分母同时除以cos2α,将其转化为关于tanα的式子,进而求解.角度3和积转换例4已知-π<x<0,sin(π+x)-cosx=-15,则sinx-cosx=[总结反思]sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα三者之间常利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα进行和积转换,可以知一求二.同步作业1.设α∈R,则下列结论中错误的是 ()A.sin(π+α)=-sinαB.cos(π-α)=-cosαC.cos（π2+α）D.tan(-α-π)=tanα2.sin1050°= ()A.12 B.-12 C.32 3.已知cosα=13,α∈（-π2,0）,则tanα等于 (A.-22 B.22 C.-24 D.4.已知tan（α+π4）=-3,则2sinα+cosαcosα-sinα= (A.-4 B.4 C.5 D.-55.已知α∈(0,π),sin（π2-α）=-13,则tan(α+π)= (A.24 B.-24 C.22 6.已知cos(α-π4）=45,则sin（α+π4）7.若sinα=31313,α∈(π2,π),则tan(3π-2α)8.已知α是第二象限角,且tan(π+α)=-34,则sin2α= (A.1225 B.-1225 C.2425 9.已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点P(sin132°,cos132°),则tan(α+12°)= ()A.3 B.3C.-3 D.-310.已知向量a=(13,tanα),b=(cosα,1),α∈(π2,π),且a∥b,则sin(α-π2)= A.-13 B.C.223 11.已知A是△ABC的一个内角,且sinA+cosA=a,其中a∈(0,1),则关于tanA的值,以下答案中,可能正确的是 ()A.-2 B.-1C.12 12.(多选题)已知f(α)=2sinαcosα-2sinα+cosα+1(0≤α≤π2),则下列说法正确的是A.f(α)的最小值为-2B.f(α)的最小值为-1C.f(α)的最大值为2-1D.