第19讲 函数的单调性、极值与最值【秋季讲义】（人教A版2019选择性必修第二册）（原卷版）

第19讲函数的单调性、极值与最值【人教A版2019】·模块一函数的单调性·模块二函数的极值与最值·模块三课后作业模块一模块一函数的单调性1．函数单调性和导数的关系(1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系

①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增；

②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.

③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数.

(2)函数值变化快慢与导数的关系

一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些.

常见的对应情况如下表所示.图象f'(x)变化规律f'(x)>0

且越来越大f'(x)>0

且越来越小f'(x)<0

且越来越小f'(x)<0

且越来越大函数值变化规律函数值增加

得越来越快函数值增加

得越来越慢函数值减小

得越来越快函数值减小

得越来越慢【考点1利用导数判断单调性、求单调区间】【例1.1】（2023上·北京通州·高三统考期中）下列函数中，在区间0,+∞上单调递减的是（

A．fx=x-1C．fx=-log【例1.2】（2023上·甘肃·高三校考阶段练习）函数f(x)=x-lnx的单调递减区间是（A．(-∞,1) B．(0,1) C．(1,+∞【变式1.1】（2023下·河北沧州·高二校考阶段练习）函数fx=2x-5lnA．0,3 B．3,+∞ C．-∞,【变式1.2】（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）下列函数中，既是偶函数又在0,+∞上单调递增的函数是（

A．fx=xlnC．fx=e【考点2由函数的单调性求参数】【例2.1】（2023下·湖北武汉·高二校联考期中）已知函数fx=2-xex-ax在A．-∞,2e B．e,+∞ C【例2.2】（2023下·四川成都·高二校联考期中）若函数f(x)=x3-3kx+1的单调递减区间为(-1,1)，则实数kA．1 B．-1 C．3 D．-3【变式2.1】（2023上·广东汕头·高三统考期中）设a∈0,1，若函数fx=ax+(1+a)A．5-12,5+12 B．5【变式2.2】（2023·全国·高三专题练习）若函数fx=ax3-3A．3,+∞ B．-∞,3 C．-模块二模块二函数的极值与最值1．函数的极值极值的相关概念

(1)极小值点与极小值：

如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.(2)极大值点与极大值：

如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.

(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.2．函数的最值(1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得.

(2)函数的极值与最值的区别

①极值是对某一点附近(即局部)而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的.

②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个.

③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点.【考点3利用导数求函数的极值】【例3.1】（2023·全国·模拟预测）函数f(x)=2x-tanx-π在区间-A．π2+1，-π2+1C．3π2-1，-π2【例3.2】（2023上·山西临汾·高三校联考期中）已知函数fx=x2-ax-lnx+2a∈R在区间A．2 B．1 C．0 D．-1【变式3.1】（2023·河南洛阳·校联考模拟预测）已知函数fx及其导函数f'x的定义域均为R，且f'xA．有一个极小值点，一个极大值点 B．有两个极小值点，一个极大值点C．最多有一个极小值点，无极大值点 D．最多有一个极大值点，无极小值点【变式3.2】（2023·全国·高三专题练习）设函数fx=exsinx-cosA．eπ1-e1010π1-eπ B【考点4根据极值（点）求参数】【例4.1】（2023上·四川遂宁·高三校考阶段练习）已知函数fx=xx-m2在x=1处有极大值，则A．1 B．2 C．3 D．1或3【例4.2】（2023·贵州遵义·统考三模）函数fx=ax+lnxb+1在x=1处取得极值A．0 B．12 C．1 D．【变式4.1】（2023下·山东烟台·高二校考开学考试）已知函数f(x)=ax2+bx+cex(a≠0)的两个极值点分别为-12和2A．-2 B．0 C．2 D．4【变式4.2】（2023上·河南·高三校联考阶段练习）函数fx=ax3+2x2+ax+1在-1,+∞上存在极大值fA．0,233 B．23,2【考点5利用导数求函数的最值】【例5.1】（2023·全国·模拟预测）函数fx=x2sinA．π24，-2π B．π24，-π24 C．【例5.2】（2023上·江苏无锡·高三统考期中）当x=2时，函数fx=x3+bx2A．8 B．12 C．16 D．32【变式5.1】（2023下·辽宁沈阳·高二校考阶段练习）函数fx=2sinA．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2C．奇函数；且最大值为332 D【变式5.2】（2023·广西南宁·统考模拟预测）若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在A．1 B．-4 C．-3 D．5【考点6已知函数最值求参数】【例6.1】（2023上·辽宁·高三校联考阶段练习）已知函数fx=13x3+12A．-2,12 BC．-74,【例6.2】（2023下·重庆江北·高二校考阶段练习）若函数fx=e2xx在区间14,aA．14<a≤1C．12≤a≤1 D【变式6.1】（2023上·山东潍坊·高三统考阶段练习）已知函数fx=ax-a+3x3在区间-1,1上的最小值为-3A．-92,+∞ B．-∞,9【变式6.2】（2023·甘肃金昌·统考模拟预测）已知函数fx=x3-ax2+3x在R上单调递增，且A．3,4 B．2,3 C．3,4 D．2,3模块三模块三课后作业1．（2022下·湖北·高二统考期末）函数fx=1A．-1,1 B．0,1 C．1,+∞ D．2．（2022上·陕西安康·高二校考期末）函数f(x)在R的导数为f'(x)，且f'(x)<f(x),A．ef1>C．e2f13．（2023上·上海松江·高三统考期末）函数y=fx的图象如图所示，y=f'x为函数y=fxA．(-3,-1) B．(0,1)C．(-3,-1)∪(0,1) D．(-4．（2023上·四川雅安·高三校联考期中）已知f'x是函数fx的导函数，若函数y=ef

A．a B．b C．c D．d5．（2023下·广西南宁·高二宾阳中学校联考期末）已知函数fx=aex-lnxA．2e-2 B．e C．e-16．（2023上·北京海淀·高三校考阶段练习）函数fx=32xA．0 B．12 C．1 D．7．（2023上·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考阶段练习）已知x=a是函数f(x)=12x2-(a+1)x+aA．(-∞,1) B．(1,+∞)8．（2023上·宁夏固原·高三校考阶段练习）已知函数fx=eA．函数fx极小值为B．函数fx在-1,+C．当x∈-2,2时，函数fxD．当k<3e时，方程fx9．（2023上·青海西宁·高三统考开学考试）已知直线y=ax+a与曲线y=lnx+b相切，则5a-b的最小值为（A．2ln2 B．2ln2-1 C．10．（2023·全国·模拟预测）已知函数fx=ex-mx2有两个极值点x1，x2（0<x1<xA．0<M<1e BC．M>e2+111．（2023上·贵州·高三校联考阶段练习）已知函数fx(1)求函数fx(2)若对于任意的x1,x2∈0,1，且12．（2023上·辽宁朝阳·高三校联考阶段练习）已知函数fx(1)若a=0，求函数