2023届高三数学二模试卷（附参考答案）

2023届高三数学二模试卷（附参考答案）

一、单选题

1.已知集合4={xWZ|x2-3WO},B={1,2},则AUB=（）

A.[0,1,2}B.{-2,-1,0,1,2}

C.{—2,—1,1,2}D.[-1,0,1,2)

2.已知复数z=Bcos。+isin。（OCR,i为虚数单位），则|z|的最大值为（）

A.2B.V2C.3D.V3

3.已知双曲线与一号=l（a>0,b>0）的离心率为挛，则双曲线的两条渐近线的夹角为（）

Q乙b3

A—R-C匹D—

A.6o.4j3H

4.已知某摩天轮的半径为60m,其中心到地面的距离为7（hn,摩天轮启动后按逆时针方向匀速转

动，每30分钟转动一圈.已知当游客距离地面超过100m时进入最佳观景时间段，则游客在摩天轮转

动一圈的过程中最佳观景时长约有（）

A.5分钟B.10分钟C.15分钟D.20分钟

5.现有一个轴截面是边长为4的等边三角形的倒置圆锥（顶点在下方，底面在上方），将半径为空

的小球放入圆锥，使得小球与圆锥的侧面相切，过所有切点所在平面将圆锥分割成两个部分，则分

割得到的圆台的侧面积为（）

A274555

A.-g-TTBR33n"CrD.

--8-8兀~8n

6.已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若4=1则荏•元的最大值为（）

A.1B.芋C.1D.V2

7.已知（17）2023=ao+a]%+a2/+...+a2O23%2°23,则/.+*+.•,+通总=（）

A.-1B.0C.1D.

8.已知a=竽，b=苧，c=\!,则（参考数据：ln2«0.7）（）

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

二、多选题

9.已知直线m与平面a有公共点，则下列结论一定正确的是（）

A.平面a内存在直线，与直线m平行

B.平面a内存在直线/与直线小垂直

C.存在平面y与直线加和平面a都平行

D.存在过直线小的平面0与平面a垂直

10.已知/(%)=cosx+tanx,则下列说法正确的是()

A.f(x)是周期函数B./(%)有对称轴

C./(%)有对称中心D./(%)在(0,刍上单调递增

11.现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续5场篮球比赛得分情况的记录数据，已知三位球员得分情

况的数据满足以下条件：

甲球员：5个数据的中位数是26,众数是24；

乙球员；5个数据的中位数是29,平均数是26；

丙球员：5个数据有1个是32,平均数是26,方差是9.6；

根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的是()

A.甲球员连续5场比赛得分都不低于24分

B.乙球员连续5场比赛得分都不低于24分

C.丙球员连续5场比赛得分都不低于24分

D.丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于24

12.在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD四边所在直线与x轴的交点分别为(0,0),(1,0),

(2,0),(4,0),则正方形ABCD四边所在直线中过点(0,0)的直线的斜率可以是()

A.2B.1C.|D.1

三、填空题

13.已知公比大于1的等比数列｛恤｝满足a2+&3=12,a4=16,则5｝的公比q=.

14.已知直四棱柱4BCD的棱长均为2,^BAD=60°,除面ABCD外，该四棱柱其余各

个面的中心分别为点E,F,G,H,I,则由点E,F,G,H,I构成的四棱锥的体积

为.

15.已知Fi，上分别是椭圆C：乌+4=l(a>b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF?与x轴

ab

垂直，直线Ma与C的另一个交点为N.若直线MN在y轴上的截距为3,且而=4互元，则椭圆

C的标准方程为.

16.已知/'(x)=%3-x,若过点p(m,n)恰能作两条直线与曲线y=f(x)相切，且这两条切线关于直

线久=加对称，则M的一个可能值为

四、解答题

17.已知等差数列｛a"的公差d>0,且满足%=1,即，a2,a4成等比数列•

(1)求数列｛an｝的通项公式;

2即，n为奇数

(2)若数列｛小｝满足“=,1人/国士求数列｛%｝的前2n项的和T2公

——，n为偶数

\anan+2

18.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=csinB.

(1)求C；

(2)若a+b=V5c，求sinA.

19.如图，在四棱锥P-ABCO中，底面ABCD是平行四边形，/.ABC=120°,AB=1,BC=2,

PD1CD.

(1)证明：AB1PB

(2)若平面PABJ>平面PCD,KPA=~求直线AC与平面PBC所成角的正弦值.

20.甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0

分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获

胜的概率为a,乙获胜的概率为0,两人平局的概率为y(a+/?+y=1,a>0,/?>0,y>0)，且

每局比赛结果相互独立.

⑴若a=|，6=|，y=求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率；

(2)当y=0时，

(i)若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望E(X)的最大值；

(ii)若比赛不限制局数，写出“甲学员赢得比赛”的概率(用a,0表示)，无需写出过程.

21.已知/(%)=/—ae*,存在均<%2<%3，使得/(%1)=/(%2)=/(必)=0.

(1)求实数a的取值范围；

(2)试探究/+工2+%3与3的大小关系，并证明你的结论.

22.已知A,B是抛物线E：y=/上不同的两点，点p在x轴下方，PA与抛物线E交于点C,PB

与抛物线E交于点D,且满足罂=愕|=九其中九是常数，且;1Ml.

(1)设AB,CD的中点分别为点M,N,证明：MN垂直于x轴;

(2)若点P为半圆好+产=1。＜0)上的动点，且4=2,求四边形ABDC面积的最大值.

参考答案

L【答案】D

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】A

8.【答案】B

9.【答案】B,D

10.【答案】A,C,D

11.【答案】A,D

12.【答案】A,B,D

13.【答案】2

14.【答案】卓

H【答案嗒+哥=]

16.【答案】孚(或_等或察或—察)

17.【答案】(1)解：因为⑥,a2,。4成等比数列，所以城=%&4,

即(l+d)2=lx(l+3d),

解得d=0或d=1.

因为d>0,所以d=1,

所以册=14-1x（n-1）=n.

2n,”为奇数,

(2)解：由(1)得bn=1

n为偶数、

n（n+2）'

2九，n为奇数,

所以勾=|1，11、的里需

(2(万一不力，n为偶数

所以72n=匕1+匕2+b3T---H62n-1+力2n=（仇+83---也n-l）+（。2+84-*--卜如）

1111111

=Q1+23+.••+223）+2［勺—4）+（4-6）+…+（而-2^r+2）］

=-~+2(-2~2^+2)，

_22n+115,

=-34n+4~12,

所以数列｛匕｝的前2n项的和72n=-4叫4一T2'

18.【答案】(1)解：由正弦定理得VJsinBcos4电=sinCsinB,

siriDsineL

因为B€(0,TT),则sinBW0,所以百cos"£=sinC,

因为4+B+C=TT,所以cos(4我)=cosg_3)=sin?

所以gsin?=2sin^cos苧.

因为CW(0,7i),则%(0,分可得sin>0,所以3苧=字，

则苧建，所以

(2)解：方法一：因为a+b=V3，由正弦定理益=4卷=就不得sin4+sinB=V3sinC=

因为4+B=yr-]=冬，

所以sinA4-sinB=sinA+sin(冬—4)

=sin>l+亨cos/+^sinA=|sin?l+苧cosA=V3sin(>l+1)=率

即sin(4+5)=学

因为AW(O办则4+狂季誓)，所以4+W或筝

所以/=看或先故sia44或1.

方法二：因为。=不由余弦定理得。2=次+反—叽*),

将。二孚9+与代入(*)式得W(a+b)2=a2+82-Qb，整理得2a2一5帅+2b2=0,

35

因式分解得(2Q-b)(a-2b)=0,解得a=2b或b=2a,

①当a=28时，c=V3h,

222222

grpiAh+c-ab+3b-46n

所以cosA=——----=--------o——=0,

2bc243b2

因为力£(0,n),所以

②当b=2a时，c=显。，

b2+c2—a24a2+3。2―。2

所以cosA=V3

2bc~4岛2~2,

因为aw(o,TT),所以A=*

所以sinA的值为④或1.

19.【答案】（1）证明：如图1,连接BD,

因为四边形ABCD是平行四边形，且NABC=120°,AB=1,BC=2,

所以CO=1,乙BCD=60°,AB||CD,

所以802=BC2+CD2-2BC-CDCEBCD=1+4-2X1X2X5=3,

所以BD=V3.

所以BC2=BD2+CD2,所以CD_LBD,

又因为CD_LPD,BDCPD=D,BD,PDu平面PBD,

所以CO_L平面PBD,

因为PBu平面PBD,所以CDJ.PB,

因为ABIICD,所以481PB.

(2)解：如图2,设平面PAB和平面PCD的交线为直线1,

因为CO||AB,CDC平面PAB,ABu平面PAB,所以CD||平面PAB,

因为CDu平面PCD,平面PADPADu平面PBC=I,

所以CDIII,

因为CDJL平面PBD,所以，_L平面PBD,

因为PB,PDu平面PBD,所以NBPD是平面PAB与平面PCD的二面角，

因为平面PAB_L平面PCD,所以ZBPD=9O。，即BP_LDP

在RSABP中，因为p4=争，AB=1,所以PB=好，

在RSBPD中，因为BD=V5，则po=乎，所以△BPD为等腰直角三角形，

方法一：由（1）得CD,平面PBD,如图3,以点D为坐标原点，DB所在直线为x轴，DC所在直

线为y轴，过点D垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，则做遮，-1,0）,

B（遮,0,0）,C（0,1,0），P（亨，0,亨）,

所以前=（一百，2,0）,BC=（-V3,1,0），丽=（-孚，0,字）,

设平面PBC的法向量为记=（%,y,z）,

n-BC=-V3x+y=0

则

一n-~BDP~D=-^店-x+I^门-z=O八

取％=1,则y=V5,z=l,得记=(1,V3,1),

记直线AC与平面PBC所成角为0,

-V^+2A/^+0.

则-3限硝能।V105

1=1171+5+1x73+41~35~,

所以直线AC与平面PBC所成角的正弦值为强.

方法二：在△ABC中，因为AB=1,BC=2,/.ABC=120°,贝U

AC=AB2+BC2-2AB-BC-cos/ABC=Jl+4-2x1x2x(-1)=V7,

设点A到平面PBC的距离为d,

由（1）知CD_L平面PBD,因为四边形ABCD是平行四边形，所以||BC,

又因为AOC平面PBC,BCu平面PBC,所以4D||平面PBC,

所以匕l-PBC=^D-PBC'

因为Vp_p8c=^C-BPD'所以匕4-PBC—^C-BPD'

设点A到平面PBC的距离为d,由（1）知CD_L平面PBD,

所以称'S“BC.d=g,S&BPD'CD，

在△PBC中，PB=孚，BC=2,PC=PA=~

因为PB?+PC2=BC?,所以PBJ.PC,

m所以9.1V6/10_715

队、APBC-2x丁x-7一（’

所以我半〃=品品/X坐XI，解得d=孚，

/15.——

记直线AC与平面PBC所成角为e,则sinO=旦=工=理,

ACyjy35

所以直线AC与平面PBC所成角的正弦值为理1

20.【答案】（1）解：用事件A,B,C分别表示每局比赛“甲获胜”“乙获胜”或“平局”，则

P⑷=a=(2,p(B)=0=g2,P(C)=y=g1,

记“进行4局比赛后甲学员赢得比赛”为事件N,则事件N包括事件ABAA,BAAA,ACCA,

CACA,CCAA共5种，

所以尸(N)=PQ4B44)+P但444)+P^ACCA)+P(C4c4)+P("44)

=2P(B)PQ4)PG4)PQ4)+3P(C)P(C)P(4)P(4)

=2x(|)4+3x(|)2x(|)2=是，

(2)解：(i)因为y=0,所以每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，即a+夕=1,

由题意得X的所有可能取值为2,4,5,则

P(X=2)=a2+p2,

P(X=4)=(邓+pa)a2+(邓+耻)俨=2aB(a2+俨),

P(X=5)=(耶+£a)•(丽+Ba)♦1=4a2尸.

所以X的分布列为

X245

pa2+1322a/?(a2+/72)4a2俨

所以X的期望E(X)=2(a2+俨)+8a6(a2+俨)+20a2p2

=2(1-2a0)4-8a0(1-2a/?)4-20a2/?2=4a2/?2+4邓+2,

因为a+^=1>2ja/?,所以a0<白，当且仅当a=0=寺时，等号成立，

所以a,6(0,/]'

所以E(X)=4a2俨+4邓+2=(2a0+I)2+1<(2xi+I)2+1=

故E(X)的最大值为苧.

22

(ii)记“甲学员赢得比赛”为事件M,则P(M)=罟a/=肃a册.

由(1)得前两局比赛结果可能有AA,BB,AB,BA,其中事件AA表示“甲学员赢得比赛”，事件

BB表示“乙学员赢得比赛”，事件AB,BA表示“甲、乙两名学员各得1分”，当甲、乙两名学员得分

总数相同时，甲学员赢得比赛的概率与比赛一开始甲学员赢得比赛的概率相同.

所以P(M)=P(AA)-1+P(BB)-0+P(AB)•P(M)+P(BA)•P(M)

=P(A)P(A)+P(A)P(B)P(M)+P(B)P(A)P(M)

=a2+a/3P(M)+paP(M)

=a2+2aBp(M)

“2

所以(1—2如)P(M)=戊2,即P(M)=/部,

因为a+夕=1,所以P(M)=——咚——=-——J——=4T.

(a+夕)—2a/?a2+2］夕+夕—2a/?a2+^S

21.【答案】(1)解：由题意得/(%)=/有三个零点，

所以方程/—。/=0有三个根，即方程a有三个根.

ex

7

所以函数y=Q与函数y=0的图象有三个公共点，

设gQ)=卷'则。'(久)=等之，

令g'(x)>0,解得0<x<2；令g'(x)<0,解得x<0或x>2,

所以g(x)在(0,2)上单调递增，在(一8,0)和(2,+8)上单调递减，

因为当％T-8时，g(%)T+8,当％T+8时，g(x)->0,

且g(0)=0,g(2)=当

4

所以g(0)VaVg(2),即实数a的取值范围为0<aV

(2)解：因为％i<x2<x3,由(1)得V0V相V2V%3，

由a

得21nx2—x2=21nx3—x3,

设九(%)=21nx—x,则九(%2)=九(%3)，

求导得1(%)=(-1，

令"(%)>0，解得0<%<2,令九'(x)<0,解得x>2,

所以h(x)在(0,2)上单调递增，在(2,+8)上单调递减，

设?n(%)=ft(4—%)—h(x),0<%<2,

则zn(X)=21n(4—%)—44-%—21nx+x=21n(4—x)—21nx+2x—4,0<%<2,

2

求导得m'(x)=刍--+2=2g-第<0恒成立，

v)%—4xx(x—4)

所以?n(%)在(0,2)上单调递减，

所以m(%)>m(2)=0,即九(4—x)>h(x),

因为0<x2<2,所以人(4-x2)>九。2)=33)，

又因为％3>2,4-％2>2,h(x)在(2,+8)上单调递减，

所以4-%2<x3,即牝+%3>4,

设g(%o)=,且沏v0，则gQi)=QV4

因为g（x）在（一8,0）上单调递减，所以％1>为，

因为e3>4,所以白>去

1A

所以g（-1）=-zi>荐=9（%o），

因为g（x）在（一8,0）上单调递减，所以配>-1,

所以％1>XQ>-1,

所以％1+%2+%3>4—1=3.

22.【答案】⑴