人教版七年级数学上册《绝对值的三种化简方法》训练-附带答案

人教版七年级数学上册《绝对值的三种化简方法》专题训练-附带答案

绝对值版块的内容在我们这学期比重较大尤其是绝对值的化简。并且在压轴题中常见的题型是

利用数轴化简绝对值和利用其几何意义化简绝对值本专题就这两块难点详细做出分析。

【知识点梳理】

1.绝对值的定义

一般地数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数。的绝对值记作同

2.绝对值的意义

①代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；。的绝对值是0;

②几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离离原点的距离越远绝对值越大；离

原点的距离越近绝对值越小。

a(a>0)

3•绝对值的化简：⑷=0(«=0)

-a(a<0)

类型一、利用数轴化简绝对值

例1.有理数a、b、c在数轴上位置如图则|。一。|一心+4+自一4的值为()•

IIII.

bc0

A.2aB.2a+26-2cC.0D.—2c

【答案】A

【详解】根据数轴上点的位置得：b<c<O<a且同〈同

则〃一。>0a+b<0b—c<0

则+0—c|—ci—c+a+Z?—Z?+c=2a.

故选A.

例2.有理数ab在数轴上对应的位置如图所示那么代数式忖+—一忖叫的值是()

ab-1a+b

-4ri

A.-1B.1C.3D.-3

【答案】D

【详解】解：根据数轴可知：一l<a<00<b<l\a\<\b\

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h—a1—ba+b_

回原式=—+1一7------r=-i-i-i=-3.

ab-1a+b

故选：D.

【变式训练1】已知数。、b、。的大小关系如图所示：化简式+c|—|6-a|-2|a-c|+3g—cb

b0ac

【答案】2a-2b+2c

【详解】由数轴可得：b<00<a<c

国(a+c)>0(b-a)<0(a-c)<0(b-c)<0

^\\ci+c\—\b-a\—21a—c|+31Z?—c|=a+c-(a-b)-2(c-ci)+3(c-b)

=a+c-a+b-2c+2a+3c-3b=2a-2b+2c

故答案为：2a-2b^2c.

【变式训练21有理数o、b、c在数轴上的位置如图.

___III_______I_>,

a__0b_____c

(1)判断正负用">"或填空：…0a+b0-a+c0.

(2)化简：\b-c\+\a+b\+\—a+c\

【答案】(1)<<>；(2)2c-2b-2a

【详解】解：由图可知a<0b>0c>0且|b|<|a|<©

(1)b-c<0a+b<0-a+c>0；故答案为：<<>；

(2)\b-c\+\a+b\-A-a+c\=c-b-a-b-a+c=2c-2b-2a.

【变式训练3】有理数ab在数轴上的对应点如图所示：

(1)填空：b-a0；b-\0；a+\0；(填“<"、">"或"=")

(2)化简:|/?—a|—-1|+|a+1|

，■」I」,

b-10a1

【答案】(1)<<>;(2)2a

【详解】(1)从数轴可知：-2<6<T<0<O<1.^-a<0^-l<0,«+l>0故答案为：<<>；

(2)-2</?<-1<0<a<1,|£>|>|a|

-a|-|b-1|+|a+1|=-(&-«)-(1-fe)+(o+1)=-b+a-l+b+a+l=2a.

【变式训练4】有理数a、b、c在数轴上的位置如图：

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a0bc

⑴用">"或填空a0b0c-b0ab0.

(2)化简：|a|+1b+c|-\c-a\.

【答案】⑴<>><；(2)6

【解析】⑴解：由有理数a、b、c在数轴上的位置可知a<0<b<c

0c-b>0ab<0

故答案为：<>><;

(2)由有理数a、b、c在数轴上的位置可得

b+c>0c-a>0

El|a|+|6+c|-\c-a\=-a+b+c-c+a=b.

类型二、利用几何意义化简绝对值

例L同学们都知道|5-(-2)|表示5与-2之差的绝对值实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两

点之间的距离.试探索

(1)求|5-(-2)|=；

(2)同样道理卜+1008|=卜-1005|表示数轴上有理数*所对点到-1008和1005所对的两点距离相等则

x=；

(3)类似的|x+5|+|x-2|表示数轴上有理数x所对点到-5和2所对的两点距离之和请你找出所有符合条件

的整数x使得|x+5|+|x-2|=7这样的整数是.

(4)由以上探索猜想对于任何有理数x|x-3|+|x-6|是否有最小值？如果有写出最小值；如果没有说

明理由.

3

【答案】(1)7；(2)--；(3)-5-4-3-2-1012；(4)有最小值最小值为3.

【详解】⑴|5-(-2)|=|5+2]=7故答案为:7

(2)国卜+1008|=/；005|表示数轴上有理数*所对点到；008和1005所对的两点距离相等

取所对点为-1008和1005所对点的中点取+1008>0x-1005<0

33

El|x+1008|=|x-1005|0x+lOO8=-(x-1005)解得：x=--答案为：

(3)当x+5=0时x=-5当x-2=0时x-2

当x<-5时|x+5|+|x-2|=-(x+5)-(x-2)=7-x-5-x+2=7解得：x=5(范围内不成立舍去)

当-5Vx<2时(3|x+5|+|x-2|=(x+5)-(x-2)=7x+5-x+2=77=7

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取为整数0x=-5-4-3-2-101

当X22时EJ|x+5|+|x-2|=(x+5)+(x-2)=7x+5+x-2=72x=4解得：x=2

综上所述：符合条件的整数为-5-4-3-2-1012

故答案为：-5-4-3-2-1012

(4)国|x-3|+|x-6|表示数轴上有理数x所对点到3和6所对的两点距离之和

自由(2)得3女46时|x-3|+|x-6|的值最小

El|x-3|+|x-6|=x-3-(x-6)=3E]|x-3|+|x-6|有最小值最小值为3.

【变式训练1】阅读下面的材料：

点4、3在数轴上分别表示实数a、b43两点之间的距离表示为0A7迥当A、3两点中有一点在原点时不

妨设点A在原点如图1朋8回=回。施=团6国=团a-6回；当A、B两点都不在原点时：

O(A)BOABBAoBOA

0b0ab，ba0'b0a

图1图2图3图4

①如图2点A、8都在原点的右边:

RL48回二回03回-回04团二团。回-回。回二二回Q-Z?回；

②如图3点A、B都在原点的左边：

0AB[a=[3(9BEI-[a(9A0=ElZ?0-[aa[a=-Z>-Ga)=团。-〃3；

③如图4点A、8在原点的两边：

M3团二团。4团+团03团二团〃团+勖回二。+(-Z?)二团施

综上数轴上A、8两点之间的距离13A3回=加功回.

回答下列问题：

⑴数轴上表示2和5的两点之间的距离是数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是数

轴上表示1和-3的两点之间的距离是；

⑵数轴上表示x和-1的两点A和8之间的距离是如果她施=2那么x为.

⑶当代数式取+1国+配-2回取最小值时相应的x的取值范围是.

【答案】⑴334；(2)|x+l|1或-3；(3)-14x42

【解析】(1)解：数轴上表示2和5的两点之间的距离为|5-2|=3

数轴上表示-2和-5的两点之间的距离为卜2-(-5)|=3

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数轴上表示1和-3的两点之间的距离为1-(-3)|=4；

故答案为：334；

⑵解：数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是,-(-l)|=|x+l|

根据题意得|无+1|=2即尤+1=土2所以x=l或-3

故答案为卜+1|1或3

⑶解：代数式取+1团+盟-2团可以看成x到-1和2的距离和只有在：和2之间才会有最小距离3所以x的

取值为-14尤V2

故答案为：-l<x<2.

【变式训练2］结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

-4-3-2-101234567

(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是;数轴上表示-3和2两点之间的距离是;一般地数

轴上表示数m和数"的两点之间的距离可以表示为那么数轴上表示数x与5两点之间的距离可

以表示为表示数y与-1两点之间的距离可以表示为.

(2)如果表示数a和-2的两点之间的距离是3那么a=；若数轴上表示数a的点位于-4与2

之间求|a+4|+|a-2|的值;

(3)当。=时|a+5|+|a-l|+|a-4|的值最小最小值是.

【答案】(1)35|x-5||y+l|；(2)1或-5；|a+4|+|a-2|=6；(3)19.

【详解】(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是4-1=3；表示-3和2两点之间的距离是2-(-3)=5；一

般地数轴上表示数m和数。的两点之间的距离可以表示为|m-n|.那么数轴上表示数x与5两点之间的

距离可以表示为Ix-51表示数y与-1两点之间的距离可以表示为|y+11.

故答案为：35|x-5||y+l|；

(2)如果表示数。和-2的两点之间的距离是3那么|a-(-2)|=3

即a+21=3回。+2=3或a+2=-3解得a=1或a=-5；

国|a+41+1a-21表示数a与-4的距离与。和2的距离之和

若数轴上表示数a的点位于-4与2之间则|a+4|+|a-2|的值等于2和-4之间的距离等于6.

即|a+4|+|a-2|=6故答案为：1或-5；

(3)|。+5|+|。-1|+|。-4|表示一点到-514三点的距离的和

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团当a=l时该式的值最小最小值为6+0+3=9.

团当。=1时|。+5|+|°-1|+仆4|的值最小最小值是9.故答案为：19.

【变式训练3】（问题提出）I。一』+|。-2|+k一3|+…+|〃-2021|的最小值是多少?

（阅读理解）为了解决这个问题我们先从最简单的情况入手.14的几何意义是。这个数在数轴上对应的

点到原点的距离那么可以看作。这个数在数轴上对应的点到1的距离；斗就可以看作。这

个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和.下面我们结合数轴研究-2|的最小值.

我们先看。表示的点可能的3种情况如图所示：

11.1I1I1.]_________11________I•1_______I_______].

-2-1a01234-2-10la234

图①图②

-2-1~0~1~2~3a4^

图③

（1）如图①。在1的左边从图中很明显可以看出。到1和2的距离之和大于1.

（2）如图②。在12之间（包括在12上）看出。到1和2的距离之和等于1.

（3）如图③。在2的右边从图中很明显可以看出。到1和2的距离之和大于1.因此我们可以得出

结论：当。在12之间（包括在12上）时有最小值1.

（问题解决）

（1）4|+k-7|的几何意义是请你结合数轴探究：4|+|a-7|的最小值是.

（2）请你结合图④探究|"l|+|"Z+|a-3|的最小值是由此可以得出“为.

II1II11.

-2-101234

图④

（3）+|a-2|+|a-3|+,-4|+|a-5|的最小值为.

（4）|a-l|+|a-2|+p-3|+…-n|a-2021|的最小值为.

（拓展应用）如图已知。使到-12的距离之和小于4请直接写出。的取值范围是

-5-4-3-2-10I2345

图⑤

【答案】（1）a这个数在数轴上对应的点到4和7两个点的距离之和3；（2）22；（3）6；（4）1021110；

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拓展应用—1.5<a<2.5.

【详解】(1)-7|的几何意义是。这个数在数轴上对应点到4和7两个点的距离之和;

当。在4和7之间时(包括47上)

4-±_=46123567t

可以看出a到4和7的距离之和等于3此时|。-4|+卜-7|取得最小值是3；

故答案为：a这个数在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和最小值是3.

(2)当a取中间数2时绝对值最小|"T|+|”2|+|a-3|的最小值是1+0+1=2；

如图所示：

a

-2-10~r~i34>

故答案为：22；

(3)当a取最中间数时绝对值最小

|<2—1|+|<2—2|+|a—3|+|tz—4|+|a—5|的最<］、值是2+1+0+1+2=6；

(4)当。取中间数1011时绝对值最小|。-1|+|。-2|+k-3|+…+|a-2021|的最小值为:

1010+1009+1008+1007+......+1+0+1+2+3+......+1010=1010x(1010+1)=1021110；

拓展应用

如使它到-12的距离之和小于4ffl|a-(-l)|+|a-2|<4

田①当时则有a-(一1)+a-2<4解得：a<2.502<a<2.5；

(2)当—1<a<2时则有a—(—1)+2—a=3<40—7<a<2

③当aW—1时则有—1—a+2-a<4解得：a>-1.50-1.5<a<-1

综上：-L.5<a<2.5数轴上表示如下：

;*IIIII1

-5-4-3-2-10123456

0B⑤

类型三、分类讨论法化简绝对值

例L化简：|x—2|—|x+l|+|x—4|.

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7—x,x<-1

,।।।II5-3x,—1Wx<2

【答案】归_2|++[+卜-4]={；

1-X,1〈今

x—7,x>4

【解析】试题解析：①当％<—1时原式=（2—尤）—（—1—1）+（4-幻=7—兄

（2）当一1<兄v2时原式=（2—%）—（x+l）+（4—%）=5—3x

当2<xv4时原式=（九一2）—（x+l）+（4—尤）=1—%

0）当％24时原式=（x-2）-（X+1）+（JV-4）=%-7

7—x,x<—1

,,,,,,5-3x,-1<x<2

综上所述：|x-2|-|x+l|+|x-4|={

1—A,4

x—7,x>4

a2ab3abc

【变式训练1】若4+HC<0,MC>。贝|1同+南+'[^|■的值为-

【答案】0或2或4

【详角军】^\a+b+c<0,abc>0

团〃、。、c三个数中必定是一正两负

团当〃<0*<0,。>。时ab>0此时?+;―~~--1+2+3=4

|a\|ab\|abc\

当Q<0,Z?>0,c<0时ab<0此时7^7+^^+；^^=—1—2+3=0

|a\|abIIabc\

当Q>0,Z?<0,C<0时ab<Q止匕时~~-+T~T~.+f=l-2+3=2

故答案为：0或2或4

【变式训练2】⑴数学小组遇到这样一个问题：若ab均不为零求x=@+例的值.

ab

请补充以下解答过程（直接填空）

①当两个字母ab中有2个正0个负时x=；②当两个字母ab中有1个正1个负时

x=；③当两个字母ab中有0个正2个负时x=；综上当ab均不为零求x的值

为.

（2）请仿照解答过程完成下列问题：

①若abc均不为零求.忖+也-目的值.

abc

…b+ca+ca+b

②若abc均不为零且a+b+c=O直接写出代数式丁厂+B+B的值.

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【答案】(1)①2②0③-22或0或-2；(2)①1或3或-3或-1；②：或1

【详解】⑴①团a、b都是正数