中考数学知识点与经典题型练习 最值问题中的瓜豆原理模型(解析版)

专题22最值问题中的瓜豆原理模型

【模型展示】

瓜豆原理

若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。主

动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线上运动；瓜在圆周上运动，

豆的轨迹也是圆。

模型总结：

条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量；

主动点、从动点到定点的距离之比是定量.

如图，点C为定点，点P、Q为动点，CP=CQ,且NPCQ为定值，当点P在直

线AB上运动，Q的运动轨迹是？

结论：

①主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角；

②当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运

动路径长；

③主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形；

如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP,Q为AP中点.

考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

分析：观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什

么关系？

考虑到Q点始终为AP中点，连接AO,取AO中点M,则M点即为Q点轨迹

圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有AAMQSAA0P,

QM:PO=AQ:AP=I:2.

v√

结论：确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、

M、O三点共线，

由Q为AP中点可得：AM=1∕2AO.Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放.根

据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系

分析轨迹圆半径数量关系.

结论主动点、从动点到定点的距离之比是定量

【模型证明】

如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP,作AQ_LAP且AQ=AP.

考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

解

决

方

案

分析：Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90。得AQ,故Q点轨

迹与P点轨迹都是圆.接下来确定圆心与半径.考虑APJ_AQ,可得Q点轨迹圆圆

心M满足AMJ_AO;考虑AP=AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO,且可

得半径MQ=PO.即可确定圆M位置，任意时刻均有△APOgZiAQM.

如图，AAPQ是直角三角形，ZPAQ=90°且AP=2AQ,当P在圆O运动时，Q点就

迹是？

分析考虑APJ_AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM_LAO;考虑AP:AQ=2:1,可

得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1.即可确定圆M位置，任意时刻均有

ΔAPoSAkAQM,且相似比为2.

模型总结

为了便于区分动点P、Q,可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”.此类问题的必要

条件：两个定量

主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（NPAQ是定值）；

主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）.

结论:

（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：

ZPAQ=ZOAM;

（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：

AP:AQ=AO:AM,也等于两圆半径之比.

按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩.

古人云：种瓜得瓜，种豆得豆.“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”.

【题型演练】

一、单选题

1.如图，在矩形纸片A8CZ）中，AB=2,Ao=3,点E是AB的中点，点厂是AO边上的

一个动点，将3心沿E尸所在直线翻折，得到，跖，则4C的长的最小值是（）

AF______________D

C.√H-1D.√io-ι

【答案】D

【分析】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE,当点A，在线段CE上时，AC的长

取最小值，根据折叠的性质可知AE=I,在RtBCE中利用勾股定理可求出CE的长度，用

CE-A'E即可求出结论.

【详解】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE,当点A，在线段CE上时，Ae的长

取最小值，如图所示，

根据折叠可知：AE=AE=gAB=I

在RtBCE中，BE=-AB=I,BC=3,4=90,

.∙.CE=√BE2+BC2=√iθ-

.•从©的最小值=©£-6£=屈-1.

故选D.

【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质以及勾股定理，利用作圆，找出AC取最小值时

点A，的位置是解题的关键.

2.如图，在Rt△ABC中，ZABC=90o,ZACB=30o,BC=2√3,ZSADC与AABC关

于AC对称，点E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且DE=CF,BE、DF相交于点P,

则CP的最小值为()

3

A.ɪB.√3C.-D.2

2

【答案】D

【分析】连接BD,证明AEDBTaFCD,可得/BPD=120。，山于BD的长确定，贝IJ点P

在以A为圆心，AD为半径的弧BD上，当点A,P,C在一条直线上时，CP有最小值.

【详解】解：连接AD,因为NACB=30。，所以NBCD=60。，

因为CB=CD,所以ACBD是等边三角形，

所以BD=DC

因为DE=CF,ZEDB=ZFCD=60o,

所以AEDB丝ZXFCD,所以∕EBD=∕FDC,

因为NFDC+NBDF=60。，

所以∕EBD+∕BDF=6()o,所以NBPD=I20。，

所以点P在以A为圆心，AD为半径的弧BD上，

直角AABC中，ZACB=30o,BC=2√3,所以AB=2,AC=4,

所以AP=2

当点A,P,C在一条直线上时，CP有最小值，

CP的最小值是AC-AP=4-2=2

故选D.

F

【点睛】求一个动点到定点的最小值，一般先要确定动点在一个确定的圆或圆弧上运动，当

动点与圆心及定点在一条直线上时，取最小值.

3.如图，等腰RSABC中，斜边AB的长为2,O为AB的中点，P为AC边上的动点，

OQLOP交BC于点Q,M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路

线长为（）

A.旦兀B.也万C.1D.2

42

【答案】C

【分析】连接OC,作PEJ_AB于E,MHj_AB于H,QFJ_AB于F,如图，利用等腰直角

三角形的性质得AC=BC=0,ZA=ZB=45o,0C±AB,OC=OA=OB=LNC）CB=45。，再

证明Rl∆AOP丝ACOQ得至IJAP=CQ,接着利用^APE和^BFQ都为等腰直角三角形得到

PE=巫AP=也CQ,QF=也BQ,所以PE+QF=巫BC=1,然后证明MH为梯形PEFQ的

2222

中位线得到MH=T，即可判定点M到AB的距离为T,从而得到点M的运动路线为△ABC

的中位线，最后利用三角形中位线性质得到点M所经过的路线长.

【详解】连接OC,作PE_LAB于E,MH_LAB于H,QF_LAB于F,如图，

∙∕∆ACB为等腰直角三角形，

ΛAC=BC=-AB=√2.ZA=ZB=45o,

2

为AB的中点，

ΛOC±AB,OC平分/ACB,OC=OA=OB=L

ZOCB=45o,

∙/ZPOQ=90o,ZCOA=90o,

ΛZAOP=ZCOQ,

在Rt∆AOP和^COQ中

ZA=ZOCQ

<AO=CO,

ZAOP=ZCOQ

ΛRt∆AOP^ACOQ,

ΛAP=CQ,

易得△APE和aBFQ都为等腰直角三角形，

PE=巫AP=立CQ,QF=受BQ,

222

.∙.PE+QF=①(CQ+BQ)=也BC=EX√∑=1,

222

：M点为PQ的中点，

.∙.MH为梯形PEFQ的中位线，

.∙.MH=g(PE+QF)=g,

即点M到AB的距离为3,而CO=I,

点M的运动路线为△ABC的中位线，

当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长=TAB=I,

故选C.

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、梯形的中位线、点运动的轨迹，通过计

算确定动点在运动过程中不变的量，从而得到运动的轨迹是解题的关键.

4.如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=-∕x+2上的一个动点，将Q绕点P（1，0）顺

时针旋转90。，得到点。，连接OQ',则OQ'的最小值为（）

Q,

A.—B.√5C.—D.—

535

【答案】B

【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q'的坐标，然后根据勾股定理

并利用二次函数的性质即可解决问题.

【详解】解：作QMLX轴于点M,QfNLx轴于N,

,.∙NPMQ=NPNQ，=NQPQ三90。，

JNQPM+NNPQ，=NPQN+NNPQ，,

AZQPM=ZPQfN,

在^PQM和^QTN中，

NPMQ=NPNQ=90。

<ZQPM=∕PQ'N,

PQ=Q'P

：.∆PQM^∆QTN(AAS),

ΛPN=QM=--∕H+2,Q'N=PM=机T,

.∙.ON=l+PN=3-%

2

.'.Q'(3-g,w,1-m),

∙".OQ'2=(3--W≈)2+(1-∕H)2≈-m2-5m+10=-(m-2)2+5,

244

当m=2时，OQe有最小值为5,

；•OQ'的最小值为行，

故选：B.

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和

性质，坐标与图形的变换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关

键.

二、填空题

5.如图，正方形ABC。的边长为4,E为BC上一点，且BE=I,尸为AB边上的一个动点,

连接EF,以EF为边向右侧作等边ΔEFG,连接CG,则CG的最小值为

【答案】I

【分析】由题意分析可知，点尸为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等

关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值.

【详解】由题意可知，点尸是主动点，点G是从动点，点尸在线段卜.运动，点G也一定在

直线轨迹上运动

将ΔEEB绕点E旋转60°,使E尸与EG重合，得到ΔEEβ=ΔEWG,

从而可知ΔE8H为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上,

作CMLHN,则CM即为CG的最小值,

作EPLCΛ∕,可知四边形//EPM为矩形,

135

则CM=MP+CP="E+-EC=1+-=-

222

【点睛】本题考查了线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出

点G的运动轨迹，是本题的关键.

6.如图，等边三角形ABC中，AB=A,高线AH=2Q,。是线段A4上一动点，以BO为边

向下作等边三角形BOE,当点。从点A运动到点”的过程中，点E所经过的路径为线段

CM,则线段CM的长为,当点。运动到点H,此时线段BE的长为.

【分析】由“SAS'可得△A8Dg∕∖CBE,推出AD=EC,可得结论，再由勾股定理求解班?=2,

当DH重合时，BE=BH=2,从而可得答案.

【详解】解：如图，连接EC

:AABC,A8OE都是等边三角形，

：.BA=BC,BABE,∕A8C=/OBE=60°,

.∙.ZABD=ZCBE,

在△48。和4CBE中，

BA=BC

-NABD=NCBE,

BD=BE

：.∆ΛBD^∆CβE(SAS),

：.AD=EC,

;点。从点A运动到点H，

/.点E的运动路径的长为CM=AH=20

当。,H重合，而△%)E(即aB∕∕E)为等边三角形,

∖BE=BH,

QAB=4,AH=2y∕3,AHλBC,

8"="-(2可=2,

.∖BE=2,

故答案为：2ʌ∕5,2.

【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，动点的轨迹等知识，解题

的关键是正确寻找全等三角形解决问题.

7.如图，在平面内，线段A8=6,P为线段AB上的动点，三角形纸片CoE的边CO所在的

直线与线段AB垂直相交于点P,且满足PC=∕¾∙若点P沿AB方向从点A运动到点8,则

点E运动的路径长为.

【答案】6√2.

【详解】解：如图，由题意可知点C运动的路径为线段AC,点E运动的路径为EF,由平

移的性质可知在中，易知o2

AC=EE,Rtz∖48CA3=BC=6,ZABC'=90,：.EE'=AC=y∣β+(^

=6√2.故答案为6夜.

点睛：主要考查轨迹、平移变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问

题，属于中考填空题中的压轴题.

8.如图，在RtAABC中，ZACB=90,NBAC=30,BC=2,线段BC绕点B旋转到BD,

连AO,E为A。的中点，连接CE,则CE的最大值是—.

【答案】3

【分析】通过已知求得。在以B为圆心，80长为半径的圆上运动，∖∙E为的中点，

.∙.E在以BA中点为圆心，；加长为半径的圆上运动，再运用圆外一定点到圆上动点距离的

最大值=定点与圆心的距离+圆的半径，求得CE的最大值.

【详解】解：∙.∙BC=2,线段BC绕点B旋转到BZX

.∙.8O=2,

.∖-BD=∖.

2

由题意可知，。在以8为圆心，8。长为半径的圆上运动,

为AO的中点，

.∙.E在以BA中点为圆心，；劭长为半径的圆上运动，

CE的最大值即C到BA中点的距离加上!BD长.

VZΛCB=90，NBAC=30,BC=2,

C到BA中点的距离即∙∣AB=2,

又∙.JBQ=I,

2

ACE的最大值即:48+38。=2+1=3.

故答案为3.

【点睛】本题考查了与圆相关的动点问题，正确识别E点运动轨迹是解题的关键.

9.如图，在矩形ABC。中，对角线AC,8。相交于点。，Aβ=4,N∩4C=60。，点F沿

线段4?从点A至点。运动，连接。尸，以。尸为边作等边三角形DFE,点E和点A分别位

于。尸两侧，连接OE.现给出以下结论：

①NBDE=NEFC；②ED=EC；③直线。£_La＞；④点E运动的路程是2√L

其中正确的结论是.(写出所有正确结论的序号)

【答案】①②③

【分析】①根据NDAC=60°,OD=OA,得出aQ4D为等边三角形，再由ADFE为等边三

角形，得NEDF=NDEF=60",即可得出结论①正确；

②如图，连接OE,利用S45证明产四Z∖3OE,再证明坦丝VOC£,即可得出结论

②正确；

③通过等量代换即可得出结论③正确：

④如图，延长OE至E',使OE=OO,连接DE,通过ADA尸丝△")£,ZDOE=60°,

可分析得出点F在线段AO上从点A至点。运动时，点E从点0沿线段OE运动到E',从

而得出结论④错误.

【详解】解：①∙.∙∕Λ4C=6()o,OO=OA,

为等边三角形，

：.ZDOA=ZDAO=ZODA=60o,AD=OD,

•；ADFE为等边三角形,

二ZEDF=ZEFD=ZDEF=GO0,DF=DE,

'：∕BDE+NFDO=/AO尸+/尸。。=60°,

."BDE=NADF,

'：ZADF+ZAFD+ZDAF=180°,

ZADF+ZAFD=180°-ZZ?AF=120%

,/ZEFC+ZAFD+ZDFE=180°,

/.NEFC+/AFZ)=I80°-ZDFE=120°,

ZADF=ZEFC,

：.NBDE=NEFC,

故结论①正确；

②如图，连接OE,

在4DΛF⅛ΔDoE中,

AD=OD

•NADF=NODE,

DF=DF

.•.△OAF丝ZXOOE(SAS),

，/OOE=/£>"=60。，

VZCOD=180o-NAoO=I20°,

NCoE=NCoD-ZDOE=120o-60°=60°,

：.ACOE=ZDOE,

在^ODE和4OCE中，

OD=OC

<NDoE=NCOE,

OE=OE

ΛΔΔOCE(SAS),

：.ED=EC,ZOCE=ZODE,

故结论②正确；

③；NOOE=NADF,

ΛZADF=ZOCE,即NAZ)F=/ECF,

故结论③正确；

④如图，延长OE至£,使OE=OD,连接£>£,

'：∆DAF^∆DOE,NDoE=60。，

•••点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点。沿线段OE运动到E,,

,.∙OE=00=40=A8∙tan∕A80=4∙tan3(Γ=—,

.∙.点E运动的路程是迪,

3

故结论④错误.

故答案为①②③.

【点睛】本题主要考查了矩形性质，等边三角形判定和性质，全等三角形判定和性质，等腰

三角形的判定和性质，点的运动轨迹等，熟练掌握全等三角形判定和性质、等边三角形判定

和性质等相关知识是解题关键.

10.如图，已知AC=2AO=8,平面内点P到点。的距离为2,连接4P,若NAPB=60。且

BP=^AP,连接AB,BC,则线段BC的最小值为

【答案】2√7-√3

【分析】如图所示，延长PB到。使得PB=OB,先证明AAPD是等边三角形，从而推出

o

ABP=90。，ZBAP=TlO,以AO为斜边在AC下方作放△AMO,使得NM4O=30。，连接CM,

过点M作AC于4,解直角三角形得到&i=4g=1,从而证明4AMBSA4OP,

AOAP2

得到网.=组=且，则BM=G,则点8在以M为圆心，以石为半径的圆上，当例、8、

OPAP2

C三点共线时，即点8在点8'的位置时，BC有最小值，据此求解即可.

【详解】解：如图所示，延长PB到Q使得PB=C8,

∙.∙BP=LAP,

2

：.AP=PD=IPB,

又∙.∙NAPB=60°,

ZiAPD是等边三角形，

X为PO的中点，

：.ABLDP,即NABP=90°,

ZBAP=30o,

以Ao为斜边在AC下方作RfAAM。，使得NMAo=30。，连接CM,过点M作M//_LAC于

H,

.∕CA1"_AM

•∙cos/OAivl-------------，

AO2

同理可得竺二正，

AP2

'/ZOΛM=30o=Z∕¾B,

.'.ZBAM=ZPAOt

0・eAMAB出

乂-----==—•>

AOAP2

.*.4ΛMBSXROP,

.BMAB6

••-------——,

OPAP2

:点P到点O的距离为2,即OP=2,

二BM=5

点8在以M为圆心，以名为半径的圆上，

连接CM交圆M(半径为G)于8'，

当例、B、C三点共线时，即点3在点"的位置时，BC有最小值,

VAC=2AO=8,

：.AO=4,

AM=AOcosZOAM,

∙"∙AH=AM-cosZMAH=3,HM=AMsinXMAH->∣3，

：.CH=5,

CM=4HM-+CH-=2√7，

，BlC=CM-MB'=2百-曰

."C的最小值为2√7-√5,

故答案为：2√7-√i.

D

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判

定，勾股定理，圆外一点到圆上一点的最值问题，解题的关键在于能够熟练掌握瓜豆模型即

证明点8在以例为圆心，半径为名的圆上运动.

三、解答题

11.在平面直角坐标系中，A(a,0)、B(b,0),且a,J满足片一6a+9+怜+3卜0,C、D

两点分别是y轴正半轴、X轴负半轴上的两个动点；

(1)如图1,若C(O,4),求AABC的面积；

(2)如图1,若C(O,4),BC=5,BD=AE,且NtB4=NzCZ)E,求。点的坐标；

(3)如图2,若484=60。，以CD为边,在CO的右侧作等边△CDE,连接OE,当OE

最短时，求A,E两点之间的距离.

【答案】(1)4ABC的面积为12；(2)。点的坐标为(-2,0)；(3)A,E两点之间的距离

【分析】(1)利用完全平方式和绝对值的性质求出a,b,然后确定A、8两点坐标，从而利

用三角形面积公式求解即可；

(2)根据题意判断出ACBO丝4RAE,从而得到CB=AO,然后利用勾股定理求出CB,

及可求出结论；

(3)首先根据“双等边”模型推出。CB式,EC4,得到NDBC=ZEAC=120。，进一步推出

AE//BC,从而确定随着D点的运动，点E在过点A且平行于BC的直线PQ上运动，再

根据点到直线的最短距离为垂线段的长度，确定OE最短时，各点的位置关系，最后根据含

30。角的直角三角形的性质求解即可.

【详解】解：(1)∙.2-6α+9+∣b+3∣=0,

Λ(t∕-3)2+∣⅛+3∣=O,

fa—3=0fa=3

由非负性可知，，1八，解得：八Q，

[8+3=0[⅛=-3

.∙.A(3,0),8(-3,0),Afi=3-(-3)=6,

VC(0,4),

.∙.0C=4,

S=-AB.OC=-×6×4=↑2;

λΛBbcC22

(2)由(1)知A(3,0),B(-3,0),

.,.OA=OB,

∙.∙OCA.AB,

：.ZAoC=NBOC=90。，

在JAOC和80C中，

OA=OB

<ZAOC=ZBOC

OC=OC

：.∕∖AOC^∕∖BOC(SAS),

：・ZCBO=ZCAOf

•：/CDA=∕CDE+ZADE=/BCD+/CBA,/CBA=/CDE,

JZADE=ZBCD,

在Z∖3CO和VAoE中，

/BCD=NADE

,NCBD=ZDAE

BD=AE

：..ADE(AAS)9

：.CB=ADf

VB(-3,0),C(0,4),

Λ0B=3,OC=4,

[BC=yJθB2+OC2=5

：∙AD=BC=5,

・・,A(3,0),

・•・。(-2,0)；

(3)由(2)可知CB=CA,

,.∙NCBA=60。，

；・AABC为等边三角形,NJBC4=60。，ZDBC=120°,

•••△COE为等边三角形，

o

：.CD=CE,ZDCE=60f

・：∕DCE=∕DCB+∕BCE,/BCA=/BCE+NECA,

.'.ZDCB=ZECAf

在^OcB和^ECA中，

CD=CE

ZDCB=ZECA

CB=CA

：.iDCB^.ECA(SASy

：.NDBC=NEAC=I20。,

,.∙ZEAC+ZACB=120o+60o=l80o,

.*.AE//BC,

即：随着。点的运动，点E在过点A且平行于3C的直线PQ上运动,

Y要使得OE最短，

，如图所示，当如PQ时,满足OE最短，此时NOE4=90。,

VZDBC=ZEAC=∖20o,ZCAB=60o,

o

：.ZOAE=ZEAC-ZCAB=ωfZAOE=30。，

VA(3,0),

Λ0A=3,

13

.・・AE=-OA=-

22f

3

当。E最短时，A,E两点之间的距离为5.

【点睛】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形和等边三角形的判定

与性质等，理解平面直角坐标系中点坐标的特征，掌握等腰或等边三角形的性质，熟练使用

全等三角形的判定与性质是解题关键.

12.如图所示，在RtZXABC中，AB=BC=2,点。是AC上一点，以BD为一边向右下方

作等边当。由点A运动到点C时，求点E运动的路径长.

【答案】点E运动的路径长为2立.

【分析】根据4BDE是等边三角形，得出点E运动的路径长等于点。运动的路径长，即为

AC的长，根据勾股定理即可得出答案

【详解】点B为定点，

.∙.BE可以看作是80绕点B顺时针旋转60。而来，

，点E运动的路径长等于点0运动的路径长，即为AC的长，

AB=BC=2,ZABC=90°,

AC=2√2.

，点E运动的路径长为2夜.

【点睛】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是

正确寻找点E的运动轨迹，属于中考常考题型.

13.如图，等边三角形ABC的边长为4,点D是直线AB上一点.将线段CD绕点D顺时

针旋转60。得到线段DE,连结BE.

（I）若点D在AB边上（不与A,B重合）请依题意补全图并证明AD=BE;

（2）连接AE,当AE的长最小时，求CD的长.

【答案】（1）见解析：（2）2√7

【分析】（1）根据题意补全图形，由等边三角形的性质得出AB=BC=AC,ZA=ZB=60o,

山旋转的性质得：/ACB=NDCE=60。,CD=CE,得出NACD=NBCE,证明△ACD⅛∆BCE,

即可得出结论；

（2）过点A作AF1.EB交EB延长线于点F.由△ACD丝ABCE,推出NCBE=NA=60。,

推出点E的运动轨迹是宜线BE,根据垂线段最短可知：当点E与F重合时，AE的值最小，

此时CD=CE=CF,利用勾股定理求出CF即可.

【详解】解：（1）补全图形如图1所示，AD=BE,理由如下：

V∆ABC是等边三角形，

ΛAB=BC=AC,NA=NB=60°,

由旋转的性质得：NACB=NDCE=60。，CD=CE,

ZACD=ZBCE,

.,.∆ACD^∆BCE（SAS）,

AD=BE.

C

E

B

(2)如图2,过点A作AFJ_EB交EB延长线于点F.

：△ACDdBCE,

ΛZCBE=ZA=60o,

点E的运动轨迹是直线BE,

根据垂线段最短可知：当点E与F重合时，AE的值最小,

此时CD=CE=CF,

∙/ZACB=ZCBE=60o,

，AC/7EF,

VAF±BE,

ΛAF±AC,

在Rt∆ACF中,

2222

•，•CF=yJAC+AF=^4+(2√3)=2√7,

ΛCD=CF=2√7.

【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最

短等知识；熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等是解题关键.

14.如图①，在ΔABC中，AB=AC=3,ZBAC=1OO°.D是BC的中点.

小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P,连接PB,将线段PB绕点P按逆时

针方向旋转80',点B的对应点是点E,连接BE,得到ΔBPE∙小明发现，随着点P在线段

AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD

上，还可能在直线AD的右侧.请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：

(1)当点E在直线AD上时，如图②所示.

ΦZBEP=；②连接CE,直线CE与直线AB的位置关系是.

(2)请在图③中画出MP£,使点E在直线AD的右侧，连接CE,试判断直线CE与直线

AB的位置关系，并说明理由.

(3)当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值.

【答案】(1)①50°；@EC//ABi(2)AB//ECi(3)AE的最小值3.

【分析】(1)①利用等腰三角形的性质即可解决问题.②证明ZABC=40°,NECB=40",

推事NABC=NEce即可.

(2)如图③中，以P为圆心，PB为半径作。P.利用圆周角定理证明NBCE=；ZBPE=40'

即可解决问题.

(3)因为点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，所以当点P运动到与点A重合

时，AE的值最小，此时AE的最小值=AB=3.

「N8PE=80",PB=PE，

-".NPEB=NPBE=50",

②结论：AB//EC.

理由：VAB=ACfBD=DCt

：.ADlBC,

NBDE=90,

.*.ZEBD=90°-50°=40∖

∙∙∙AE垂直平分线段BC,

・•・EB=EC,

NECB=NEBC=40°，

VAB=AC9NBAC=100",

.*.NAbC=NAC3=40°,

二ZABC=∕ECB,

：•AB//EC.

故答案为50,AB//EC.

ΛPB=PC,

：.NBCE=LNBPE=40°,

2

,.'NABC=40°,

：,AB//EC.

(3)如图④中，作4/_LCE于H,

；点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，

二当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值=AB=3.

【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，平行线的判定，圆周角定理

等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，学会利用辅助圆解

决问题，属于中考压轴题.

y=1χ2-IX

15.如图，过抛物线.•»上一点A作二轴的平行线，交抛物线于另一点B,交J

轴于点C,已知点A的横坐标为-2.

(1)求抛物线的对称轴和点B的坐标；

(2)在AB上任取一点P,连结OP,作点C关于直线OP的对称点D；

①连结BD,求BD的最小值；

②当点D落在抛物线的对称轴上，且在•'轴上方时，求直线PD的函数表达

425

【答案】(l)x=4;B(10,5).(2)①诲T.②y=-Sχ+3.

【详解】试题分析：(1)确定点A的坐标，利用对称轴公式求出对称轴，再根据对称性可

得点B坐标；

(2)①由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上，推出当O、D、B共线时，BD的最

小值=OB-OD；

②当点D在对称轴上时，在Rt△OD=OC=5,0E=4,可得DE=M/一贮

=3,求出P、D的坐标即可解决问题.

2×i

试题解析：(1)由题意A(-2,5),对称轴X=-4=4,

■:卜、B关于对称轴对称，

.∙.B(10,5).

由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上，

当O、D、B共线时，BD的最小值=OB-OD=Vs1+10*-5=5∙Λ-5.

当点D在对称轴上时，在RtAODE中，OD=OC=5,OE=4,

：.DE=JO庐-将=Ei-4*=3,

二点D的坐标为(4,3).

设PC=PD=x,在Rt∆PDK中，X2=(4-x)2+22,

5

Xx—-2J，

5

.∙.P(2,5),

425

.∙.直线PD的解析式为y=-彳χ+3.

考点：抛物线与X轴的交点；待定系数法求二次函数解析式.

16.如图所示，在等腰RtZXABC中，AC=BC=2&，点P在以斜边AB为直径的半圆上,

M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，求点M运动的路径长.

【答案】点M运动的路径长为》.

【分析】取AB的中点0、AC的中点E、BC的中点F,连结OC、OP、OM、0E、OF、EF,

如图，利用等腰直角三角形的性质得到AB=&BC=4,则OC=TAB=2,OP=TAB=2,再

根据等腰三角形的性质得OM_LPC,则/CMO=90。，于是根据圆周角定理得到点M在以

OC为直径的圆上，由于点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，

则利用四边形CEOF为正方得到EF=OC=2,所以M点的路径为以EF为直径的半圆，然后

根据圆的周长公式计算点M运动的路径长.

【详解】解：如图所示，取AB的中点0,AC的中点E,BC的中点尸，连接OC、OP、

OM.OE、OF、EF,

「在等腰RtZSABC中，AC=BC=2叵,

:.AB=√2BC=4-

.∙.OC=OP=-AB=2.

2

M为PC的中点,

.∙.OMA.PC.

:.NCMO=90°.

点M在以OC为直径的圆上，

当点P与点A重合时，点M与点E重合：当点尸与点8重合时，点拉与点步重合，易得四

边形CEOF为正方形，EF=OC=2,

，点M运动的路径为以EF为直径的半圆.

，点“运动的路径长为!∙2"∙1=7.

2

【点睛】本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹.解决此题的关

键是利用等腰三角形的性质和圆周角定理确定M点的轨迹为以EF为直径的半圆.

17.如图所示，点P(3,4),P的半径为2,A(2.8,0),8(5.6,0),点M是：P上的动点，

3

【答案】AC的最小值为鼻.

【分析】如图，连接OP交OP于Ml连接0M.因为OA=AB,CM=CB,所以AC=gθM,

所以当OM最小时，AC最小，M运动到M，时，OM最小，由此即可解决问题.

【详解】解：如图所示，连接。尸交。尸于点M',连接BM',

P(3,4),

，由勾股定理得：OP=J3?+4?=5,

OA=AB,CM=CB,

.∙.AC=LOM.

2

二当。“最小时，AC最小

，当M运动到Af时，OM最小.

111ɜ

此时AC的最小值为5OM'=2（OP—PM，）=]X（5-2）='.

【点睛】本题考查点与圆的位置关系、坐标与图形的性质、三角形中位线定理、最小值问题

等知识，解题的关键是理解圆外一点到圆的最小距离以及最大距离，学会用转化的思想思考

问题，所以中考常考题型.

18.如图所示，ABO为等腰直角三角形，A（Y,0）,直角顶点8在第二象限，点C在y轴

上移动，以BC为斜边向上作等腰直角ABCD,我们发现直角顶点。点随着C点的移动也在

一条直线上移动，求这条直线的函数解析式.

【答案】直线的函数解析式为y=-χ+2.

【分析】抓住两个特殊位置：当BC与X轴平行时，求出D的坐标；C与原点重合时，D在

y轴上，求出此时D的坐标，设所求直线解析式为y=kx+b,将两位置D坐标代入得到关于

k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，即可确定出所求直线解析式.

【详解】如图所示.当BC与X轴平行时，过点8作BEJLX轴丁点E,过点。作OF_Lx轴于

点F,交BC于点G,

ABO是等腰直角三角形，点A的坐标是(-4,0),

.∙.AO=4,

.∙.BC=BE=AE=Eo=GF=LOA=2,

2

又∙.Bz)C是等腰直角三角形，

：.OF=DG=BG=CG=-BC=I,DF=DG+GF=3,

2

∙∙.点。的坐标为(-1,3).

当C与原点。重合时，。在y轴上,

设所求直线解析式为：y=kx+b(k≠O),

将(-1,3)、(0,2)代入得

g=2,[b=2,

•••直线的函数解析式为y=-χ+2.

【点睛】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，等腰

直角三角形的性质，坐标与图形性质，熟练运用待定系数法是解本题的关键.

19.如图1,在ABC中，ZACB=90。，AC=2,BC=2√3,以点B为圆心，白为半径作

圆.点尸为B上的动点，连接PC,作P'CJ,PC,使点P，落在直线BC的上方，且满足

P,C:PC=1:√3,连接BP,AP.

(1)求/54C的度数，并证明

(2)如图2,若点P在AB上时，连接BP',求Bp的长；

(3)点P在运动过程中，3P是否有最大值或最小值？若有，请求出当8P取得最大值或

最小值时，NP8C的度数；若没有，请说明理由.

【答案】(1)见解析；(2)BP'=历;(3)有.①当BP取得最大值时，NPBC=I20°；

②当BP取得最小值时，NPBC=60°.

【分析】(1)利用锐角三角函数求出NBAC,先判断出Ag=空=正，再判断出

BCPC3

ZP,CA=NPCB,即可得出结论;

(2)先求出NPSC,进而得出NP，AB=90。，再利用相似求出APl即可得出结论；

(3)先求出AP,=1是定值，判断出点F在以点A为圆心，1为半径的圆上，分当点P，在

84的延长线上时和当点P'在线段AB上时，两种情况讨论即可.

【详解】（1）在RtAABC中，AC=2,BC=2√3，

Rr

tanZBAC=——=√3,

AC

ZMC=60°,

,

AC_2-√3PC_1√3

,βC^2^r-T,PC

.ACPC

'~BC~~PC1

PC上PC,

.∙.Z∕yCP=ZACB=90°,

.∙.NPCA=NPCB,

.'.ΔA7yC∞ΔBPC：

（2）由（1）知，Zβ4C=60o,

.∙.ZABC=90°-ZBAC=30°,

.∖AB=2AC=4,

:.4APCS∕∖BPC,

∆p,p,r

.∙.ZPfAC=ZPBC=30°,—=—ɪɪ,

PBPC3

BP=B

.∙.APf=∖,

.ZP,AB=ZCAP,+ABAC=3>0°+60°=90°,

.1在Rt△尸A8中，AΓ=1.AB=4,

由勾股定理得BP=∖∣AP,2+AB2=√∏；

（3）有.由（1）知，AAPICSABPC,

.AP'_P'Cy/3

'^βF^7c-T'

AP'_也

yr丁

.∙.A产=1是定值，

，点P'是在以点A为圆心，半径为AP=I的圆上，

①如图所示，当点P，在B4的延长线上时，BP取得最大值,

.∙.APAC=180o-ZBAC=120o.

△APCSABPC,

.∙.NpAC=NPBC=I20。.

.∙∙当BP'取得最大值时，NPBC=120°；

②如图所示，当点P，在线段AB上时，3尸取得最小值,

.∙.NPBC=ZBAC=60。,

•••当BP'取得最小值时，ZPBC=60°.

【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，直角三

角形的判定和性质，圆的性质，判断出AAPysZXBPC是解本题的关键.

20.如图所示，在扇形AoB中，OA=3,Z4OB=120。，点C是AB上的动点，以8C为边作

正方形88E,当点C从点A移动至点8时，求点。经过的路径长.

【答案】点。经过的路径长为2√∑τr.

【分析】如图，由此20交OO于F,取5F的中点，，连接切、HB、BD.易知△FHB是

等腰直角三角形，HF=HB,NFHB=90。,山/尸。8=45。=//尸〃8,推出点。在。，上

运动，轨迹是GB（图中红线），易知/HFG=NHGF=15。,推出NF”G=150。，推出NGH8

=120°,易知，8=3正，利用弧长公式即可解决问题.

【详解】解：如图，由此80交。O于尸，取BF的中点H,连接尸H、HB、BD.

易知△FH8是等腰直角三角形，HF=HB,NFHB=90。,

'：NFDB=45°=-NFHB,

二点/）在。”上运动，轨迹是GB（图中红线），

易知NHFG=NHGF=15°,

；.NFHG=I50。,

.∙.NGHB=I2。。,易知Hβ=3√2，

♦••点D的运动轨迹的长为坦士生g=2√2π.

180

【点睛】本题考查轨迹、弧长公式、圆的有关知识、正方形的性质等知识，解题的关键是学

会添加常用辅助线，正确寻找点。的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题.

21.如图所示，在矩形ABa）中，A8=4,AO=2,E为AB的中点，F为EC上一动点,

P为OZ7的中点，连接P8,求心的最小值.

【答案】总的最小值为

【分析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段PP2,再根据垂线段最短可得当

BPlP1P2⅛,PB取得最小值;由矩形的性质以及已知的数据即可知BPlJ_P|P2,故BP的最

小值为BPl的长，由勾股定理求解即可.

【详解】解：如图：

当点F